平面应力和平面应变讲解课件

弹性力学的平面问题要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；边界条件的描述等弹性力学的平面问题要点——建立平面问题的基本方程包括：平衡一平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何特征xyyztba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z

方向不变化。一平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。xyyztba(3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒

一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。

——近似认为无限长(2)外力特征

外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。

约束——沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题——平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：——仅为xy的函数。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面平面应力问题平面应变问题非平面问题√平面应力问题平面应变问题非平面问题√3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；3.平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件二平面问题基本方程PBACxyODXY二平面问题基本方程PBACxyODXY平面问题的平衡微分方程：（2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、v，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODXY平面问题的平衡微分方程：（2）说明：（1）两个平衡微分方程，——平面问题的应力边界条件斜面上的应力——平面问题的应力边界条件斜面上的应力xyOPAdxBdyuv——几何方程说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当u、v

已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）——以两线段夹角减小为正，增大为负。xyOPAdxBdyuv——几何方程说明：（1）反映任一点的2.刚体位移物体无变形，只有刚体位移。即：

(a)(b)(c)由(a)、(b)可求得：(d)将(d)代入(c)，得：或写成：∵上式中，左边仅为y的函数，右边仅x的函数，∴两边只能等于同一常数，即

(d)积分(e)，得：(e)其中，u0、v0为积分常数。（x、y方向的刚体位移），代入（d）得:(10)——刚体位移表达式2.刚体位移物体无变形，只有刚体位移。即：讨论：

——刚体位移表达式（1）仅有x方向平移。（2）仅有y方向平移。（3）xyOPyxr说明：——P点沿切向绕O点转动ω——绕O点转过的角度（刚性转动）讨论：——刚体位移表达式（1）仅有x物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1.各向同性弹性体的物理方程在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。（13）其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；v为侧向收缩系数，又称泊松比。物理方程建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方（1）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中（15）——

平面应力问题的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式（1）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中（15）——（2）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中（16）——

平面应变问题的物理方程注：(2)平面应变问题物理方程的另一形式：由式（13）第三式，得(1)平面应变问题中，但？（2）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中（16）——（3）两类平面问题物理方程的转换：（16）——

平面应变问题的物理方程——

平面应力问题的物理方程（15）(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：（3）两类平面问题物理方程的转换：（16）——平面应变问题边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）（2）几何方程：（9）（3）物理方程：（15）未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（22.边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。xyOqP是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界——三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界——位移边界用us

、

vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：（17）——

平面问题的位移边界条件说明：称为固定位移边界。2.边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理xyOqP（2）应力边界条件给定面力分量边界——应力边界xyOdxdydsPABXNYNN由前面斜面的应力分析，得式中取：得到：（18）式中：l、m为边界外法线关于x、y轴的方向余弦。如：——

平面问题的应力边界条件垂直x轴的边界：垂直y轴的边界：xyOqP（2）应力边界条件给定面力分量例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)说明：x=0的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3内容回顾：1.两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征;受力特征;应力特征。几何特征;受力特征;应变特征。xyyztba水坝滚柱内容回顾：1.两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征——位移边界条件2.平面问题的基本方程：（1）平衡方程：（2）（2）几何方程：（9）（3）物理方程：（15）（4）边界条件：1）2）——应力边界条件——平面应力问题——位移边界条件2.平面问题的基本方程：（1）平衡方程：（2例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（y=0）：代入边界条件公式，有(2)BC段（x=l）：(3)AC段（y=xtan

β）:N例2如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，有右侧面：例3图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：由应力边界条件公式，例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。解：——平面应力问题，在AC、AB边界上无面力作用。即AB边界：由应力边界条件公式，有（1）AC边界：代入应力边界条件公式，有（2）∵A点同处于AB和AC的边界，∴满足式（1）和（2），解得∴A点处无应力作用例4图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例6例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件例5图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：例5图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：下侧：图示构件，试写出其应力边界条件。例6上侧：下侧：N图示构件，试写出其应力边界条件。例6上侧：下侧：N（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体