教室座位合理安排方式的探究

教室座位合理安排方式的探究【摘要】教室座位的合理安排对学生的学习、心理及人际关系的培养都会产生较大的影响.本课题针对时常令老师及同学感到烦恼的排座位问题，通过数学建模的手段，得出了较为优化的座位安排方式.本课题考虑了安排座位时最重要的四个影响因素：身高、视力、成绩和性格：(1)通过调查及层次分析法得出各个因素的影响权重；(2)以逆序数的方法对身高和视力进行量化，以分类赋值的方法对成绩和性格进行量化，使其尽可能达到优势互补；(3)结合各因素的影响权重建立座位安排的最优化模型，通过模型求解得出座位合理安排的方式并提出调整趋于最优化的合理建议.在建立模型时，充分考虑了学生个体的主观和客观条件，并选取了一个班级所有同学的数据资料进行模型检验，通过反馈调查证明了模型具有一定的可行性，并且有广泛的应用前景.关键词：座位安排最优化,数学建模【Abstract】Reasonableclassroomseatingarrangementswillhaveagreatimpactonstudents'learning,psychology,andinterpersonaltraining.Thisprojectsolvedproblemwhichtroublesteachersandstudentsoftenbymeansofmathematicalmodeling.Thisprojecttakesthemostimportantfourfactorsofstudentsintoconsideration:height,eye-sight,academicperformanceandcharacter.(1)Gettheweightofeveryfactorthroughinvestigationandanalytichierarchyprocess;(2)Quantifytheheightandeye-sightbythemethodofinversenumber;Quantifytheacademicperformanceandcharacterbymethodofclassificationassignmentinordertoachievethecomplementaryadvantagesasmuchaspossible;(3)Establishthemathematicalmodelwiththeweightofeachfactor.ThenIgottheseatingarrangementintheoptimizationbysolvingthemodelandmadereasonablesuggestions.WhenIwasestablishingthemodel,Itookfullaccountofthesubjectiveandobjectiveconditionsoftheindividualstudentinmodeling.AndIchoseaclasswithallstudents'datatocheckthefeasibilityofthemodel.Throughfeedback,theinvestigationprovedthatthemodelisfeasible,andhasbroadapplicationprospects.目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1前言 3课题由来 3研究现况 4\o"CurrentDocument"2模型部分 4模型假设 4模型假设 4模型变量符号 4模型一的变量符号： 4模型二的变量符号： 5(1)n:表示座位编号€，1,240)； 5模型建立 5模型一:层次分析法加权 5运用层次分析法考虑 5构造成对比较阵 6成对比较阵的一致性检验 7模型一的应用 8根据调查结果构造成对比较阵 8计算权向量 8一致性检验 8计算权重系数k,k,k,k 91234模型二：衡量座位安排最优度模型 9\o"CurrentDocument"模型二的分析及近似最优的座位安排方式 11模型建立分析 11模型求解分析 12模型二的求解 12模型求解 12求解过程及模型编程算法 13模型二的应用 14收集样本资料 14近似最优的座位安排及改进方式 15教室座位合理性调查 18将本课题所选取的班级按上述座位安排方式进行座位调整，实行一个月后发放调查问卷，共收回有效答卷30份，结果如下： 18\o"CurrentDocument"3．讨论 19课题研究意义 193.2模型的优缺点分析 19课题的创新之处 20课题的改进方向 204．致谢 205．参考文献： 211前言课题由来教室座位的安排是每个学校每个班级的老师都会关注和烦恼的问题.合理的座位安排可以使同学们的教学环境最优化，使班级和谐稳定，形成良好的班级学风.如何安排和调换学生座位，看似小而简单，却是班主任常常要面对和作出判断的工作，对学生的学习心理和正常的人际关系的培养将产生长期，深远的影响.因此，班级座位的编排必须建立在学生个体的主观和客观条件上，综合各个因素，得出最有利于学习，有利于班级稳定，有利于团结和谐的座位安排方式，从而达到教育最优化的效果.目前关于教室座位的合理安排方式都是定性的研究，所以本文考虑运用数学建模方法，综合以上各个定性的因素进行定量分析，从而得出最优安排方式.研究现况目前关于教室座位安排的文献大都是定性的研究.较多见的合理安排座位的方式主要有以下三种类型：“效率型”座位编排模式这种座位的安排，一般主要考虑优秀学生之间的强弱搭配，或是成绩很好但不大守纪与成绩稍差但非常守纪的两人搭配坐在一起.“专制型”座位编排模式这种模式被许多具有专断作风的班主任运用.其具体做法主要是各种学生的合理搭配，如男生与女生的搭配，热爱劳动与不爱劳动的搭配，勤快与懒惰的搭配等等.“民主型”座位编排模式主要按照学生自己的意愿组合座位的一种座位编排模式.首先是学生之间的相互熟悉，然后在学生中培养出一批具有组织能力、品学兼优的“民主型”中坚.再采取竞选或者推选的程序，根据班级设立组数，由学生选出四至八位组长，再由选出的组长招集人马组成本组.但是在搜索了中国知网，百度文献等研究成果后，未查到有关教室座位定量分析的论文，即与本课题类似或相关的研究很少.2模型部分模型假设模型假设假设一间普通教室上课的人数恒为40人，座位恒为40个，教室座位的排列方式为：每排8人，共5排.按从左至右从上到下的顺序给教室里40个座位编号，规定每两列为一组，讲台如下图所示：第一组第二组第三组第四组12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940模型变量符号模型一的变量符号

1)N：影响座位安排的因素个数(本文考虑4个因素：身高、视力、成绩、性格，即N€4)；C1,...,C：影响座位安排的因素；W(C)：影响因素C(k€1,2,N)所对应的影响权重；TOC\o"1-5"\h\zkk kA:表示全部C,...,C两两比较结果的成对比较矩阵，A=()；1N ijw:权向量w€(w,w )；1 2N久(A)：A的最大特征根；(7)CI：一致性指标；RI:随机一致性指标；CR：一致性比率.模型二的变量符号：n:表示座位编号(€1,2,...,40)；a”:表示第n号座位同学身高的逆序值(定义见)统一范围后的合"理性指标(a€0,4,8,12,16)；nb:表示第n号座位同学视力的逆序值统一范围后的合理性指标"(€0,4,8,12,16)；cnd：nS：kA：kB：k(4)(5)(6cnd：nS：kA：kB：k(4)(5)(6)(7(8(9(10)D：编号为S的学生的活跃程度等级kk常量符号：第k个学生的编号；编号为S的学生的身高；k编号为S的学生的视力；kC:编号为S的学生的成绩等级；kkk：表示身高对于座位安排影响力的权重；1k：表示视力对于座位安排影响力的权重；2k：表示成绩对于座位安排影响力的权重；3k：表示活跃程度对于座位安排影响力的权重.4模型建立模型一：层次分析法加权运用层次分析法考虑为了确定各因素对于安排座位时的重要性、影响力或优先程度，考虑用层次分析法通过两两相互比较得出各因素对于目标的权重，将定性条件定量分析计算.其采用相对尺度，能够尽可能地减少性质不同的诸因素相

互比较的困难，提高准确度.构造成对比较阵反之则相反，全部比较结果假设要比较N个因素Cr…,CN对决策的影响，可以将C和C相对的ij反之则相反，全部比较结果重要性记为aj,a€1表示C比C重要,ij i可用成对比较阵A表示.„1a

ij„1a

ijA„aijNxN在进行成对比较时，人们脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可a€0，

ijaji以方便地表示如下：尺度含义1C与C影响相同i j3C比C影响稍强i j5C比C影响强i j7C比C影响明显强i j9C比C影响绝对强i j2，4，6，8C与C影响比在上述i j两个相邻等级之间1，1/2......1/9C与C影响比为上面i j的相反数将各个因素CC两两比较可以得到成对比较阵如下:1N'aiia €12a、1N…A„a21a •…22a…2N…€€ aij€,aN1a •…N2a .NN上述成对比较阵A满足a<a„a，i,j,k„1,2,・・・,Nijjkik

则A称为一致性矩阵，简称一致阵.一致阵的性质：A的任一列向量都是对应特征根N的特征向量.证明：W矿"7WNW矿N

也ww2-W.2W矿2=A，则向量W矿"7WNW矿N

也ww2-W.2W矿2=A，则向量w=…W,1W2„WN丿满足：一Aw=fWW1WNI可即：(A-N)W=02・.・N■.・WN .WnW2wNW1W1=Nw归一化：

将A的每一列向量归一化得W=a/迓a.ijijij

i=1

对W按彳丁求和得：W=迓W.ijiij

j=1

将W归一化w=W疋w，w=(w,w,...,w)Ti ii i 1 2Ni=1所以，N个因素的权重可用向量W=(w,w,・・・,w)t表示，且迓w=1.1 2N ii=1但在一般情况下，成对比较阵不是一致阵。此时，在满足一致性检验的前提下，可以用对应于A最大特征根(记作A(A))的特征向量经归一化后作为权向量W.成对比较阵的一致性检验成对比较阵通常是不一致的，但是为了能用它的对应于特征根的特征向量经归一化后作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许的范围内.一致性指标：CI=4AWN-1CI=0时，A一致；CI越大，A的不一致性程度越严重.一致性比率(用于确定A的不一致性的容许范围)RI当CR<0.1时，A的不一致性程度在容许范围内，此时可用A的特征N12N1234567891011RI00向量经归一化后作为权向量.其中RI的取值与N有关，具体如表一:表一：RI取值模型一的应用根据调查结果构造成对比较阵随机抽取10名学生进行调查，得到10份样本.抽取其中一份为例.身高视力成绩性格身高11/41/61/7视力411/21/3成绩6211性格7311根据调查结果，得到成对比较阵如下：r1……41/411/61/21/7、1/3A€……6211j7311丿计算权向量运用数学软件求解矩阵的特征根及特征向量，结果如下：>>A=[11/41/61/7411/21/362117311];>>[d,v]=eig(A);可以得到：久（AL4.0325.对应于A（A）的归一化的特征向量为:w€(0.0535,01749,0.3575,0.4141\一致性检验前述计算得到了最大特征根：久（A）€4.0325

II，噌，，001083查表1知平均随机一致性指标RI，0.9,从而可检验矩阵一致性:CR，Il，讐，0012037<01所以，成对比较阵的一致性检验通过.计算权重系数k,k,k,k1234同理对于10份样本的数据进行处理，得到身高、视力、成绩和性格的权重系数如下表:影响因素符号权重影响因素符号权重身高k1视力k2成绩k3性格k4取平均值并保留两位小数后得到:模型二：衡量座位安排最优度模型身高视力成绩性格样本1样本2样本3样本4样本5样本6样本7样本8样本9样本10（1）定义1:在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个“逆序”.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的“”.（2）理想的座位安排应该是尽可能按身高从矮到高的次序编排，于是将第n号座位同学身高因素的合理性指标记为：定义2：an对于每列的五个座位及相对应的五位同学，规定座位从前到后同学从矮到高排序为理想次序，则对于一列座位中的一位

同学，其前方座位坐有比他高的同学的人数(即这位同学与理想次序相差的人数)，称为这位同学的身高“逆序值”，则每位学生的身高逆序值最大为4,最小为0.考虑到后文中成绩和性格合理性指标的最大取值为16,所以为了统一范围，将第n号座位同学身高逆序值均乘以4，则为合理性指标a.n可以得到：(a) ，0，(a) ，4x4，16.nmin nmax ( 、可以得到每一列的逆序数最小为0，最大为(4„3„2„1)x4，40.则每两列的逆序数最小为0，最大为40x2，80.理想的座位安排应该是尽可能按视力从低到高的次序编排，于是第n号座位同学视力因素的合理性指标可记为：bn定义3：对于每列的五个座位及相对应的五位同学，规定座位从前到后同学视力从低到高排序为理想次序，则对于一列座位中的一位同学，其前方座位坐有比他视力好的同学的人数(即这位同学与理想次序相差的人数)，称为这位同学的视力“逆序值”，则每位学生的视力逆序值最大为4，最小为0.考虑到后文中成绩和性格合理性指标的最大取值为16，所以为了统一范围，将第n号座位同学视力逆序值均乘以4,则为合理性指标b.n可以得到：()，0，.() ，4x4，16.nmin nmax ( 、可以得到每一列的逆序数最小为0，最大为(4„3„2„1)x4，40则每两列的逆序数最小为0，最大为40x2，80.理想的座位安排应该是尽可能将成绩好的和不好的同学安排在同桌，于是第2k-1号与第2k号座位同学同桌安排的成绩因素的合理性指标可表达为：(c „c》,k，1,2,...,20.2k-1 2k可以得到：将所有同学按学习成绩平均分为五个档次，优秀计为“+2”，较优秀计为“+1”，中等计为“0”，中下计为“-1”，下计为“-2”，则两者和的平方越小越好.可以得到：优秀较优秀中等中下下210-1-2C+c》，0C+c》，162k-1 2kmin 2k-1 2kmax

所以每两列最小值为(0,0)x5€0,最大值为(2,2)2x5€80理想的座位安排应该是尽可能将活跃的和不活跃的同学安排在同桌，于是第2k-1号与第2k号座位同学同桌安排的活跃因素的合理性指标可表达为：„ ,d\,k二1,2,...,20.2k-1 2k将所有同学按活跃程度平均分为五个档次，非常活跃计为“+2”，较活跃计为“+1”，中等计为“0”，较不活跃计为“-1”，非常不活跃计为“-2”，则两者和的平方越小越好.可以得到：„+d》=0(d+d》=162k-12kmin 2k-12kmax所以每两列最小值为„0,0)2X5€0，最大值为„2,2》x5€80由上述(1)－(5)可以得到整个教室座位安排的目标函数为€minvk€minvk艺a+k艺b1 n 2n€1 n€1+k艺„d +d4 2k-1 2kb,16],agN.

b,16],bgN.n-2,-1,0,1,2.+k艺(c +c3 2k-1 2kk€1、(*…ckd€-2,-1,0,1,2.k模型二的分析及近似最优的座位安排方式模型建立分析此模型主要目的在于将影响教室座位安排的主要四个因素量化.确立最优座位安排和最差座位安排的界限，并划定范围，再将四个因素统一确立目标函数.其中身高的理想座位安排应该是尽可能按从矮到高的次序编排，视力的理想座位安排应该是尽可能按视力从低到高的次序编排.由于身高和视力的理想座位安排条件相同，因而决定采用相同的方法，即用逆序数将其量化.其中成绩的理想座位安排应该是尽可能将成绩好的和不好的同学安排在同桌，性格的理想座位安排应该是尽可能将活跃的和不活跃的同学安排在同桌.由于成绩和性格的理想座位安排条件相同，因而两者也采用相同的方法，即将同学分类赋值，尽可使两者优势互补.然后通过模型一得到的四个因素的权重，建立含有全部四个因素的

目标函数，得出目标函数的范围及最优解.模型求解分析由目标函数得出：当F为最小值0时，教室座位的安排为理想中的最优情况.当F为最大值320时，教室座位的安排为最不理想情况.由于现实生活中每位同学的身高、视力、成绩和性格的差异很大，有很多不确定性，要完全达到理想座位安排，即使得F=0的座位安排几乎不存在.所以，教室座位的安排应使得目标函数最趋近于0，则为最优座位安排.但由“排列组合”得到40人的教室座位安排共有：P40=40€39€38€...€2€1=40!=8.12€104740种排列方式。要找到完全意义上的最优座位安排工程量巨大。因而，本课题主要考虑从以下步骤入手进行模型求解，使得目标函数尽可能趋近最小，得到近似最优的座位安排方式：（1） 先根据4个因素的权重确立优先考虑顺序，即为性格、成绩、视力、身高；（2） 再从同桌入手，根据成绩、性格及视力因素筛选组合最优同桌对；（3） 根据身高次序排列得出可行解；（4） 考虑每两列（即一组）的最优安排，进行优化；（5） 整体间两两对换进一步调整优化.模型二的求解模型求解对目标函数（*）进行求解:由可以得到：（1） 对于8列的座位有„0,320nn=1因b&+c/G„0,320…2k-1 2kk=1艺（d +dyG„0,3202k-1 2kk=12）由模型一可以得到：k=；k=；k=；k=.1234

代入目标函数得到：+0.37艺（c2k<1k=111+0.37艺（c2k<1k=111nn=1+0.38艺（d +d2k<1 2kk=1综上所述，Fe（0,320]目标函数最小值F=0；min目标函数最大值F=320；max即当F取最小值0时，教室座位的安排为理想中的最优情况，这种情况几乎是不存在的.当F取最大值320时，教室座位的安排为最不理想情况.求解过程及模型编程算法（1） 确立考虑因素优先次序：依次为性格、成绩、身高、视力；（2） 筛选组合最优同桌对：由于调查得出成绩和性格的影响权重较大，且非常接近（成绩为，性格为），所以在安排教室座位时应该先将（C2k<1…C2k）2和（d2k-1…d2k）2值均可达到最小且a值最相近的两位同学设置为同桌，

n在此将其命名为“最优同桌对”.最优同桌对的安排可以大大减小目标函数的值.（3）根据身高次序排列得出可行解：将同桌对中身高较小的同学安排在左侧，身高较高的同学安排在右侧，并根据左侧同学的身高从小到大排列，再依次按照1至40的座位号安排入座,从使得每一列同学的相对身高差较小.（4）考虑每两列（即一组）的最优安排，以及整体间的两两对换进行再优化.面给出模型求解算法（具体程序代码见附件1）：Step1:寻找同桌对C,j）使得G+C）+G+D）最小，同时ij ijijA-A尽可能的小，且使A<A，即S与S同桌且S同学的身高低于S同学.ijjStep2：将Step1中的同桌对G,j）按照S同学的身高从低到高顺序i排序，把排序后的同桌对，共K2个同桌对分成m个集合，再依次把这m11个集合中的同学按照相同的方法（从左到右或者从右到左）安排在第1排到第m排,且身高较高的同学总是坐在左边或者右边•1Step3：按照Step2中的方法，所有的同学正好排列成m,的矩阵M，M（i,j）表示第i排第j列的同学。计算矩阵M中每一列同学身高和视力的逆序值，并计算此时的F.Step4：对于矩阵M中任意第i排第j列的同学，寻找第P排第q列的同学，使得交换这两个同学的位置后F的值减小.Step5：重复Step4,直到F的值不再减小为止.模型二的应用选取一个40人的班级，得到每个人的身高、视力、成绩、性格的具体情况，带入模型，得出近似最优的座位安排表.收集样本资料学生S1至S40的样本情况如表.学生身高视力成绩性格S11730-1S216622S31680-1S417401S5182-12S6184-1-1S7174-2-2S817500S9171-1-1S1018200S11173-12S12175-11S1318420S14183-20S15168-20S1617422S1718311S181720-1

近似最优的座位安排及改进方式（1）由于性格及成绩因素影响权重较大，所以首先考虑将€c2k_]+c2k'和€d2k_1+d2k'值均可达到最小且a值最相近的两位同学设置为同桌，即为最优同桌对，最优同桌对安排如下：S1S4S9S34S33S36S24S31S25S29S2S20S13S14

S37S40S11S18S12S32S6S17S21S26S3S8S19S27S15S35S7S16S22S28S5S10S23S30S38S39若将最优同桌对任意安排入座，可得座位表如下:

讲台第一组S1S4S9第一组S1S4S9S34S33S36S24S31S25S29第二组S2S20S13S14S37S40S11S18S12S32第三组S6S17S21S26S3S8S19S27S15S35第四组S7S16S22S28S5S10S23S30S38S39此时可得F€60.1200.（2） 确定同桌对后，根据身高次序排列得出可行解.将同桌对中身高较小的同学安排在左侧，身高较高的同学安排在右侧，并根据左侧同学的身高从小到大排列，再依次按照1至40的座位号安排入座。座位安排如下：讲台第一组S24S31S33S36S25S29S34S9第二组S37S40S20S2S18S11S32S12第三组S26S21S35S15S19S27S3S8第四组S30S23S38S39S28S22S7S16S1S4S14S13S17S6S5S10此时可得:F€31.9200.从第一排第一列同学开始，寻找与之对换后可使F值减小的同学，两两对换，重复操作直到的值不再减小为止.最终可以得到近似最优的座位安排表.讲台第一组S39S11S18S24S6S29S32S36S8S4第二组S23S40S20S2S19S5S1S31S13S15第三组S30S35S37S14S25S27S34S3S17S9第四组S26S21S33S38S7S16S28S22S12S10此时可得：F€12.4800.将(3)中得出的近似最优的座位安排表与现实生活中此班班主任凭经验安排的座位表进行对比.班主任凭经验安排的座位表为：讲台S33S5S29S39S32S15S13S21S10S28S26S30S19S8S35S38S27S3S6S17S14S24S40S20S7S9S4S2S22S18S16S1S31S11S12S36S25S23S37S34F€min<0.1 a+0.15 b+0.37艺(c +c,2TOC\o"1-5"\h\zn n 2k一1 2kn€1 n€1 k€1+0.38艺(d +d)2„.2k-1 2kk€1可以得到F'€0.1x31+0.15X43+0.37x102+0.38x77=76.55.所以F€12.48<F'€76.55，可见班主任凭经验安排的座位也较趋近于最优座位安排，但是通过建模计算得到的座位安排更加优于班主任凭经验的安排方式，具有一定的优势.教室座位合理性调查将本课题所选取的班级按上述座位安排方式进行座位调整，实行个月后发放调查问卷，共收回有效答卷30份，结果如下：（1） 身高：以身高因素为标准，同学们认为原先教室座位安排的合理性平均分为分，认为调整后的教室座位安排的合理性平均分为分（1分：很不合理；2分：不合理；3分：一般；4分：合理；5分：很合理）.（2） 视力：以视力因素为标准，同学们认为原先教室座位安排的合理性平均分为分，认为调整后的教室座位安排的合理性平均分为分（1分：很不合理；2分：不合理；3分：一般；4分：合理；5分：很合理）.（3）成绩：调整座位后，你的学习成绩是否有所提高？

本题有效填写人次本题有效填写人次3．讨论课题研究意义本课题所研究的问题虽然很小，却十分常见与普遍，的的确确是每个学校每个班级的老师都在关注和烦恼的问题.合理的座位安排可以使教学环境最优化，使班级和谐稳定，形成良好的班级学风.对同学们来说，可以学得更舒适、更自在，也可以在身边各具特点的同学的耳濡目染下迅速提高人格品行学业等各个方面.对老师来说，也可以拥有一个良好的教学氛围，使得教育更加得心应手，管理班级时也可少操劳伤神.也可给年轻且经验较少的老师提供高效、可靠的座位安排方式。而本