湖南省永州市耀祥中学高三数学理联考试题含解析

湖南省永州市耀祥中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的渐近线方程为（

）A．B．C．D．参考答案：B考点：双曲线试题解析：因为，所以，渐近线方程为

故答案为：B2.如果f'(x)是二次函数，且f'(x)的图像开口向上，顶点坐标为(1,－)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（

）A．(0,]B．[0,)∪[，）C．[0,]∪[，）D．[,]参考答案：B3.已知函数,若，则的最小值为（

） A．12 B．9 C．8 D．6参考答案：A略4.已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】设点，要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，然后表示出关于的方程，利用基本不等式即可求出的最小值。【详解】设点，由于点是抛物线上任意一点，则，点，则，由于点是圆上任意一点，所以要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，则，，，经检验满足条件，的最小值为，故答案选A。【点睛】本题考查圆与抛物线的综合应用，以及基本不等式求最值问题，属于中档题。5.若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于（）A.34π B.32π C.17π D.参考答案：A【分析】根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，根据勾股定理列出方程即可.【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，由勾股定理得到故选A.【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。一般三试图还原的问题，可以放到特殊的正方体或者长方体中找原图。找外接球的球心，常见方法有：提圆心；建系，直角三角形共斜边则求心在斜边的中点上。6.记等差数列的前n项和为,若则该数列的公差d=（

）

A.7

B.6

C.3

D.2参考答案：D7.不等式＞0的解集是

A．（-2，1）（2，+）

B．（2，+）

C．（-2，1）

D．（-，-2）（1，+）

参考答案：A略8.函数的图象的大致形状是（）参考答案：C9.若表示直线，表示平面，且，则“”是“”的

（

）A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D10.已知函数(，，)的部分图象如图所示，考察下列说法：①的图象关于直线对称;②的图象关于点对称;③若关于的方程在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为;④将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象.其中正确的个数是（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n=________.参考答案：12.设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，则f（n）=（n∈N*）的最小值为

．参考答案：

【考点】数列的求和．【分析】对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则﹣an=2，利用等差数列的求和公式可得Sn．f（n）===n+1+﹣1，令g（x）=x+（x≥1），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∵对任意p、q∈N*，都有ap+q=ap+aq，令p=n，q=1，可得an+1=an+a1，则﹣an=2，∴数列{an}是等差数列，公差为2．∴Sn=2n+=n+n2．则f（n）===n+1+﹣1，令g（x）=x+（x≥1），则g′（x）=1﹣=，可得x∈[1，时，函数g（x）单调递减；x∈时，函数g（x）单调递增．又f（7）=14+，f（8）=14+．∴f（7）＜f（8）．∴f（n）=（n∈N*）的最小值为．故答案为：．13.等差数列{an}的前项的和为Sn，若，则

_．参考答案：614.设f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x．记f（x）在[﹣10，10]上零点的个数为m，方程f（x）=﹣1在[﹣10，10]上的实数根和为n，则有（）A．m=20，n=10 B．m=10，n=20 C．m=21，n=10 D．m=11，n=21参考答案：C【考点】函数与方程的综合运用．【分析】利用函数的对称性，函数的奇偶性求解函数的周期，画出函数的图象，然后求解函数的零点个数．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2﹣x）=f（x），又y=f（x）为奇函数，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x）的周期为4，又定义在R上的奇函数，故f（0）=0，当0＜x≤1时，f（x）=log3x．可得x=1，f（1）=0，f（x）在[﹣10，10]上图象如图：可得m=21，方程f（x）=﹣1在[﹣10，10]上的实数根分别关于x=﹣7；﹣3，1，5，9对称，实数根的和为n，n=﹣14﹣6+2+10+18=10．故选：C．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的图象与零点的个数问题，考查数形结合思想以及转化思想的应用．15.已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有．给出下列命题：①f（3）=0；②直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数；④函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）参考答案：①②④【考点】函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数的周期性；对称图形．【分析】（1）、赋值x=﹣3，又因为f（x）是R上的偶函数，f（3）=0．（2）、f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），又因为f（x+6）=f（x），得周期为6，从而f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴（3）、有单调性定义知函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．（4）、f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0．【解答】解：①：对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，令x=﹣3，则f（﹣3+6）=f（﹣3）+f（3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．②：由（1）知f（x+6）=f（x），所以f（x）的周期为6，又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（﹣x），而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），所以：f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），所以直线x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．③：当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[﹣3，0]上为减函数而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为减函数．④：f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0函数y=f（x）在[﹣9，9]上有四个零点．故答案为：①②④．16.若函数f（x）=|2sinx+a|的最小正周期为π，则实数a的值为

．参考答案：017.如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为

．参考答案：4考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题．分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BE⊥AE，直线l是过C的切线，故OC⊥直线l，△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30°所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长．解答： 解：连接OC，BE，如下图所示：则∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l又∵AD⊥直线l∴AD∥OC故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°∴AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出△ABE是一个∠B=30°的直角三角形是解答本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-5:不等式选讲设.（1）求不等式的解集S；(2)若关于x不等式有解，求参数t的取值范围.参考答案：略19.(本小题满分12分)直棱柱中，底面是直角梯形，，．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）在上是否存一点，使得与平面与平面都平行？证明你的结论．参考答案：证明：（Ⅰ）直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．…2分又∠BAD＝∠ADC＝90°，，∴，∠CAB＝45°，∴，

BC⊥AC．

…4分又，平面BB1C1C，

AC⊥平面BB1C1C．

……6分（Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点．

………………7分证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB．……8分又∵DC‖AB，DC＝AB，DC∥PB1，且DC＝PB1，∴DCB1P为平行四边形，从而CB1∥DP．

………………10分又CB1面ACB1，DP面ACB1，DP‖面ACB1．

……11分同理，DP‖面BCB1．

…………12分略20.（本小题满分12分）

已知函数R，是函数的一个零点.

（1）求的值，并求函数的单调递增区间；

（2）若，且，，求的值.参考答案：（1）解：∵是函数的一个零点，

∴.

…………1分

∴.

………………2分

∴

………………3分

.

………………4分

由，Z，

得，Z，………………5分

∴函数的单调递增区间是Z.…6分

（2）解：∵，

∴.

∴.

………………7分

∵，

∴.

………………8分

∵，

∴.

∴.

………………9分

∵，

∴.

……………10分

∴…………11分

.

………………12分21.已知椭圆的右顶点、上顶点分别为坐标原点到直线的距离为且（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，且该椭圆上存在点,使得四边形图形上的字母按此顺序排列）恰好为平行四边形，求直线的方程.参考答案：（1）直线的方程为坐标原点到直线的距离为又解得故椭圆的方程为(2)由（1）可求得椭圆的左焦点为易知直线的斜率不为0,故可设直线点因为四边形为平行四边形，所以联立,因为点在椭圆上，所以那么直线的方程为22.如图所示的多面体中，正方形BB1C1C所在平面垂直平面ABC，△ABC是斜边的等腰直角三角形，B1A1∥BA，．（1）求证：C1A1⊥平面ABB1A1；（2）求直线BC1与平面AA1C1所成的角的正弦值．参考答案：考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：解法1：（1）证明C1A1⊥平面ABB1A1，利用线面垂直的判定定理，只需证明A1C1⊥A1O，A1C1⊥AB；（2）作BD⊥直线AA1于D，连接C1D，∠BC1D即为直线BC1与平面AA1C1所