湖南省郴州市同善中学2022-2023学年高一数学理上学期摸底试题含解析

湖南省郴州市同善中学2022-2023学年高一数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=lgx2，那么，f（﹣10）=（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．10参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先利用奇函数的定义，将所求函数值转换为求f（10），再利用已知函数解析式，求得f（10），进而得所求函数值【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣10）=﹣f（10），∵x∈（0，+∞）时，f（x）=lgx2，∴f（10）=2，∴f（﹣1）=﹣2，故选：B．【点评】本题考查了奇函数的定义及其应用，利用函数的对称性求函数值的方法，转化化归的思想方法．2.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个题目：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.其大意是“今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺.蒲的生长逐日减其一半，莞的生长逐日增加一倍.问几日蒲、莞长度相等？”若本题改为求当蒲、莞长度相等时，莞的长度为（

）A.4尺 B.5尺 C.6尺 D.7尺参考答案：B【分析】先分别记蒲每日长的长度构成的数列记为，莞每日长的长度构成的数列记为，由题意得到其首项与公比，再设日后它们的长度和相等，由题意，列出方程，求解，即可得出结果.【详解】设蒲每日长的长度构成的数列记为，则，公比；莞每日长的长度构成的数列记为，则，公比，设日后它们的长度和相等，则有，即，令，得，所以或（舍去），所以莞的长度为.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.3.对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（

）A．0.09

B．0.20C．0.25

D．0.45参考答案：D由题意得，产品长度在区间[25,30)上的频率为，所以，从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的频率为，即所求概率为0.45．故选D．

4.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是＝0（x∈R），其中正确命题的个数是

（

）（A）4（B）3

（C）2

（D）1参考答案：D5.二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，则当x=1时，y的值为(

)A．﹣7 B．1 C．17 D．25参考答案：D【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知中二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，我们可以构造关于m的方程，解方程后，即可求出函数的解析式，代入x=1后，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数y=4x2﹣mx+5的对称轴为x=﹣2，∴=﹣2∴m=﹣16则二次函数y=4x2+16x+5当x=1时，y=25故选D【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，其中根据已知及二次函数的性质求出m的值，进而得到函数的解析式是解答本题的关键．6.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象A．关于点对称

B．关于直线对称C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：A7.当时，函数有最小值是，则的值为（

）A．1

B．3

C．1或3

D．参考答案：A8.在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是()A．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D．与第几次抽样无关，与抽取几个样本有关参考答案：C略9.在中，若,,,则等于

(

)A．

B．或

C．

D．或参考答案：B10.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）．A． B． C． D．参考答案：D因为函数的定义域为，所以，解得，所以函数的定义域为，故答案为．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知f（x）=在区间（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，则实数m的取值范围为

．参考答案：（1，3]考点： 函数的最值及其几何意义．专题： 计算题；作图题；函数的性质及应用．分析： 作函数f（x）=的图象，结合图象及指数函数与二次函数的性质可得，从而解得．解答： 作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，；解得，1＜m≤3；故实数m的取值范围为（1，3]；故答案为：（1，3]．点评： 本题考查了基本初等函数的图象的作法及数形结合的应用，同时考查了函数的最值，属于中档题．12.已知集合，，若，则由的值构成的集合为_________.参考答案：略13.若，则=．参考答案：2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得所给式子的值．【解答】解：若，则===2，故答案为：2．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．14.在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则的最大值为__________.参考答案：15.若，且，则的最小值为

▲

．参考答案：

16.若等边的边长为2，平面内一点满足，则______。参考答案：略17.在△ABC中，∠C是钝角，设则的大小关系是___________________________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知其中为锐角，求证：参考答案：证明：由得即而，得，即得而为锐角，19.已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．参考答案：【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】（Ⅰ）由1﹣3x≠0得x≠0，求得函数f（x）的定义域，由3x=＞0，求得f（x）的范围，可得f（x）的值域．（Ⅱ）因为函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．解：（Ⅰ）由1﹣3x≠0得x≠0，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．由f（x）=，可得3x=＞0，求得f（x）＞1，或f（x）＜﹣1，f（x）的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（Ⅱ）f（x）为奇函数，理由如下：因为函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且，所以，f（x）为奇函数．20.求关于x不等式：（）的解集.参考答案：见解析【分析】将不等式左式因式分解，对以及两根的大小分类讨论，即可求解.【详解】a=0时，不等式变为，解得；则不等式解集为当时，，的根为若a＞2，则＜1，解得x＞1或x＜若a=2，则=1，，解得若0＜a＜2，则＞1，解得或

a＜0时，不等式变为），解得＜x＜1综上所述，a=0时，不等式的解集为（-∞，1）；0＜a＜2时，不等式的解集（-∞，1）∪（，+∞）；a=2时，不等式的解集（-∞，1）∪（1，+∞）；a＞2时，不等式的解集（-∞，）∪（1，+∞）；a＜0时，不等式的解集（，1）；【点睛】本题考查一元二次不等式的解，涉及分类讨论思想，属于中档题.21.（1）

(2)已知０＜α＜，sin（α+）=，的值参考答案：(1)

(2)略22.如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，点E在棱PC上．（1）问点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明；（2）求二面角C﹣PA﹣B的余弦值．参考答案：【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由已知，只需证明PA与面EDB内一条直线平行即可，因此连接AC，EO，AC∩BD=O，则O为AC的中点，证出PA∥EO，则PA∥平面EBD（2）取PA的中点F，连接OF，BF，证出∠BFO为二面角C﹣PA﹣B的平面角，解△BOF即可．【解答】解：（1）当E为PC中点时，PA∥平面EBD连接AC，EO，且AC∩BD=O∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC的中点，又E为中点，∴OE为△ACP的中位线，∴PA∥EO又PA?面EBD，