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湖南省湘潭市大学子弟学校2022-2023学年高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.(本小题满分12分)一个平面用条直线去划分,最多将平面分成个部分.(1)求(2)观察有何规律,用含的式子表示(不必证明);(3)求出.参考答案:解:(1)易知-----------------4分(2)猜想

--------------------------8分(3)把(2)中的个式子相加得,故

----------------------------12分

略2.若正数满足,则的最小值是(

)A.

B.

C.5

D.6参考答案:C3.若的值为

)A.-2

B.-1

C.2

D.1参考答案:B4.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象如图所示,则tanφ=()A. B.1 C. D.

参考答案:C5.某工厂生产某种零件,零件质量采用电脑自动化控制,某日生产100个零件,记产生出第n个零件时电脑显示的前n个零件的正品率为f(n),则下列关系式不可能成立的是() A. f(1)<f(2)<…<f(100) B. 存在n∈{1,2,…,99},使得f(n)=2f(n+1) C. 存在n∈{1,2,…,98},使得f(n)<f(n+1),且f(n+1)=f(n+2) D. f(1)=f(2)=…=f(100)参考答案:C略6.用反证法证明命题:“设大于0,则、、中至少有一个不小于2.”时,假设的内容是(

)

A.都不小于2

B.至少有一个不大于2

C.都小于2

D.至少有一个小于2参考答案:C略7.一个盒子里装有标号为,1,2,3,4,5,的5张标签,随机地选取两张标签,若标签的选取是有放回的,则标签上的数字为相邻整数的概率是()ABCD参考答案:D略8.已知数列的前n项和为,且则等于()

A.4

B.2

C.1

D.-2参考答案:A9.若,则双曲线的离心率的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A10.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.圆锥曲线)双曲线的渐近线方程为________.参考答案:略12.已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,则p=.参考答案:2【考点】双曲线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】求出双曲线(a>0,b>0)的渐近线方程与抛物线y2=2px(p>0)的准线方程,进而求出A,B两点的坐标,再由双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,列出方程,由此方程求出p的值.【解答】解:∵双曲线(a>0,b>0),∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=﹣,故A,B两点的纵坐标分别是y=±,又由双曲线的离心率为2,所以,则,A,B两点的纵坐标分别是y=±=±,又△AOB的面积为,x轴是角AOB的角平分线∴××=,得p=2.故答案为:2.【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解题的关键是求出双曲线的渐近线方程,解出A,B两点的坐标,列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键,有一定的运算量,做题时要严谨,防运算出错.13.函数的定义域为_________;值域为_______.参考答案:(1,+∞)

(0,+∞).【分析】根据根式及分式的要求即可求得定义域;由函数解析式即可求得值域。【详解】函数所以定义域为,即所以定义域为因为所以,即值域为【点睛】本题考查了二次根式及分式的定义域和值域问题,属于基础题。14.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)=.参考答案:0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【分析】根据随机变量X服从正态分布N(2,σ2),看出这组数据对应的正态曲线的对称轴μ=2,根据正态曲线的特点,即可得到结果.【解答】解:∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,∵P(ξ≤4)=0.84,∴P(ξ≥4)=1﹣0.84=0.16,∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=1﹣P(ξ≤4)=0.16,故答案为:0.16.【点评】本题考查正态分布,正态曲线的特点,若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似的服从正态分布.15.若为虚数单位,则的值为_______.参考答案:-4

略16.过点A(2,0)的直线把圆x2+y2≤1(区域)分成两部分(弓形),它们所包含的最大圆的直径之比是1∶2,则此直线的斜率是

。参考答案:±17.设随机变量的分布列为P()=,(k=1,2,3),其中c为常数,则E

.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.复数z=(1﹣i)a2﹣3a+2+i(a∈R),(1)若z=,求|z|;(2)若在复平面内复数z对应的点在第一象限,求a的范围.参考答案:【考点】复数求模;复数的基本概念.【专题】数系的扩充和复数.【分析】(1)根据z=,确定方程即可求|z|;(2)利用复数的几何意义,即可得到结论.【解答】解

z=(1﹣i)a2﹣3a+2+i=a2﹣3a+2+(1﹣a2)i,(1)由知,1﹣a2=0,故a=±1.当a=1时,z=0;当a=﹣1时,z=6.(2)由已知得,复数的实部和虚部皆大于0,即,即,所以﹣1<a<1.【点评】本题主要考查复数的几何意义,以及复数的有关概念,比较基础.19.已知关于x的不等式,其中.

(Ⅰ)当k变化时,试求不等式的解集A;

(Ⅱ)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B(其中Z为整数集),试探究集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的值,并用列举法表示集合B,若不能,请说明理由.参考答案:(1)当时,;当且时,;当时,;(不单独分析时的情况不扣分)当时,.

………………8分(2)由(1)知:当时,集合B中的元素的个数无限;当时,集合B中的元素的个数有限,此时集合B为有限集.因为,当且仅当时取等号,

所以当时,集合B的元素个数最少.此时,故集合.

………………12分20.设是定义在正整数集上的函数,且满足:“当成立时,总可推出成立”.那么下列命题总成立的是()

A.若成立,则成立

B.若成立,则成立

C.若成立,则当时,均有成立

D.若成立,则当时,均有成立参考答案:D略21.我国《算经十书》之一《孙子算经》中有这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?答曰:二十三.”你能用程序解决这个问题吗?参考答案:设物共m个,被3,5,7除所得的商分别为x、y、z,则这个问题相当于求不定方程

的正整数解.m应同时满足下列三个条件:(1)mMOD3=2;(2)mMOD5=3;(3)mMOD7=2.因此,可以让m从2开始检验,若3个条件中有任何一个不成立,则m递增1,一直到m同时满足三个条件为止.程序:m=2f=0WHILE

f=0IF

mMOD3=2

AND

mMOD5=3AND

mMOD7=2

THENPRINT

“物体的个数为:”;mf=1ELSEm=m+1END

IFWENDEND【答案】22.某厂使用两种零件A、B装配两种产品P、Q,该厂的生产能力是月产P产品最多有2500件,月产Q产品最多有1200件;而且组装一件P产品要4个A、2个B,组装一件Q产品要6个A、8个B,该厂在某个月能用的A零件最多14000个;B零件最多12000个。已知P产品每件利润1000元,Q产品每件2000元,欲使月利润最大,需要组装P、Q产品各多少件?最大利润多少万元?参考答案:解:设分别生产P、Q产品x件、y件,则有设利润z=1000x+2000y=1000(x+2y)要使利润

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