2022年广东省汕头市潮阳城郊中学高三数学理上学期摸底试题含解析

2022年广东省汕头市潮阳城郊中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为，弦AP的长度为，则函数的图象大致是（

）参考答案：C略2.如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是A.B.C.D.参考答案：A略3.若复数z满足,则()A. B. C. D.参考答案：C【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由，得，∴．故选：C．4.某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（）A．120种 B．156种 C．188种 D．240种参考答案：A【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，由于节目甲必须排在前三位，对甲的位置分三种情况讨论，依次分析乙丙的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于节目甲必须排在前三位，分3种情况讨论：①、甲排在第一位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有4×2×6=48种编排方法；②、甲排在第二位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；③、甲排在第三位，节目丙、丁必须排在一起，则乙丙相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A33=6种安排方法，则此时有3×2×6=36种编排方法；则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种；故选：A．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素．5.已知等差数列的前n项和为，，，为等比数列，且，，则的值为

(

)A.64

B.128

C.

D.参考答案：A6.已知是坐标原点，点，若为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：A略7.函数的图象大致是参考答案：C8.设是上的奇函数，，当时，，则等于

(

）A．0.5

B．

C．1.5

D．

参考答案：A9.在数列中，则的值为

A．7

B．8

C．9

D．16参考答案：B因为点生意，即数列是公比为2的等比数列，所以，选B.10.设二次函数的值域为，则的最小值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列的前10项的和等于

参考答案：略12.已知函数的图象经过点A，则不等式的解集为

参考答案：13.在数列{an}中，a1=2，a2=10，且，则a4=

，数列{an}的前2016项和为

．参考答案：﹣2，0．【考点】数列的求和．【分析】a1=2，a2=10，且，可得a3=a2﹣a1=10﹣2=8，同理可得：a4=﹣2，a5=﹣10，a6=﹣8，a7=2，an+6=an．即可得出．【解答】解：∵a1=2，a2=10，且，∴a3=a2﹣a1=10﹣2=8，同理可得：a4=8﹣10=﹣2，a5=﹣10，a6=﹣8，a7=2，a8=10，…．∴an+6=an．则a4=﹣2，数列{an}的前2016项和=（a1+a2+…+a6）×336=（2+10+8﹣2﹣10﹣8）=0．故答案为：﹣2，0．14.若定义在[﹣m，m]（m＞0）上的函数f（x）=+xcosx（a＞0，a≠1）的最大值和最小值分别是M、N，则M+N=

．参考答案：6【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】f（x）可化为3++xcosx，令g（x）=+xcosx，则f（x）=g（x）+3，根据函数的奇偶性可得g（x）在[﹣1，1]上关于原点对称，再根据函数的单调性可得．【解答】解：函数f（x）=+xcosx（﹣1≤x≤1）=3++xcosx，令g（x）=+xcosx，则f（x）=g（x）+3，因为g（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣g（x），且x∈[﹣1，1]，所以g（x）在[﹣1，1]上关于原点对称，即为奇函数，因为f（x）和g（x）单调性相同，所以f（x）取到最大值M时，相对应的x下的g（x）也取最大值M﹣3，同理f（x）有最小值m时，g（x）也取最小值N﹣3，g（x）最大值M'=M﹣3，最小值N'=N﹣3，因为g（x）关于坐标原点对称可得所以（M﹣3）+（N﹣3）=0，所以M+N=6．故答案为：6．15.设直线,直线,若,则

,若,则

．参考答案：试题分析:因,故,即;若,则,故.故应填答案.考点：两直线平行与垂直条件的运用．16.已知函数f（x）=，若f（x）+f（）=3，则f（x）+f（2﹣x）=

．参考答案：6【考点】3T：函数的值．【分析】由函数f（x）=，f（x）+f（）=3，求出a=3，从而f（x）=，由此能求出f（x）+f（2﹣x）的值．【解答】解：∵函数f（x）=，f（x）+f（）=3，∴===3，解得a=3，∴f（x）=，∴f（x）+f（2﹣x）===6．故答案为：6．17.如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.（Ⅰ）设,当矩形的面积最大时，求的值；（Ⅱ）求按这种裁剪方法的原材料利用率．参考答案：解：（Ⅰ）先求矩形面积的最大值：设，，则，，∴当，即时，此时，，

……6分（Ⅱ）过Q点作垂足为S，设在中，有，则，∴

………………8分令，∵，∴，此时，则，当时，的最大值为

……………10分∴方案裁剪出内接五边形面积最大值为

，即利用率=……12分三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1~6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.（I）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（II）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.参考答案：19.在△ABC中，角A，B，C的对角分别为a，b，c且cosC+cosB=3cosB．（1）求sinB；（2）若D为AC边的中点，且BD=1，求△ABD面积的最大值．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可求cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．（2）由已知可求||=|2|=2，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式可求||||≤，由三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵cosC+cosB=3cosB．∴由正弦定理可得：==3cosB，∴cosB=，sinB==．（2）由BD=1，可得：||=|2|=2，∴2+2+2=4，∴||2+||2+2||||cosB=4，可得：||2+||2=4﹣||||，∵||2+||2≥2||||，∴4﹣||||≥2||||，可得：||||≤，（当且仅当||=||时等号成立）∴S△ABD=||||sinB≤=．20.（13分）已知向量且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角。（1）求角C的大小；（2）若，求c边的长。参考答案：（1）

（2）由，由正弦定理得

，即

由余弦弦定理，

，21.投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具,它的六个面中,有两个面的数字是0,有两个面的数字是2,有两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次,以两次朝上一面出现的数字分别作为点的横坐标和纵坐标.

(1)求点落在区域上的概率;

(2)若以落在区域上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域.在区域上随机撒一粒豆子,求豆子落在区域上的概率.参考答案：解:(1)点的坐标有:,

,共9种,其中落在区域上的点的坐标有:,共4种.故点落在区域上的概率为……6分

(2)区域为一边长为2