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总分：100分 诊断设计者：7

x3133.302775231211111 x 3 3

x3 3

x23x10．他首先用x遍除各项，接着把这个方程式写成形式x31x

1.4 13吗2b

a1 1a

2a3x3133x

13

a4 的表达式叫做连分数．在一般的情况下，数a,a,a,，b,b,b 反复几次用3

x

12

12x3

1 33x

a1

a2

，a3a44

因为

这里第一项a通常是正的或负的整数，项a,a,a

23

当在（1.6）中仅含有有限个项a，a，a，„„，

3，31，33

33

333

3，10=3.333，33=3.3，109=3.30303

1/a,a ,aa ．

ca 11 1

3a2a31

a2

1a3

a2a31a4 a1an1a1n

p3q3p4q4„„．

现在让我们来更仔细地看看得到的pi与qi，可以看到，pi与qi是由a1、a2„„、ai（i1,2, ,n）确定的，与a、„„、a无关，并且这样算得的p与q一定是互质的．直观上，计算p的连分数表示 i34,5,,npa,a ,a

pica,a ,aqq

1

1 i有ca1，ca1，ca ，„„， 1 1a2a3 2a3个、第二个、第三个、„„渐近分数，第n 1ca1p11

．

成b1,b2,,

012k12mfxa,a ,a,b,b,,b012k12maaqca1a1a21p2 aaq

1 ca a1a2a3a1a3a1a21a3a1p3，

1 1

aa aa

, aa2 2a3

2

ak1a,a ,a,aa,a ,a,aa 1 kk kk1

2/利用这个引理，我们来证明定理1．

推论连分数a,a ,a（a0）的第i个渐近分数c的分子p与分母q满

xa1a a1 1

1

pia,

,,a

a2 a23

1 4与

ii

xa1,a2,a3,a4,qia,a ,a

i

21,2,2,2,153,1,6,1,6,i i1pqpq1i，其中ii i11xa1，011

定理3任何一个二次无理数的连分数展式子都在某一点后是循环的．xa1,a2,a3,a4,

的渐近分数cn

x122

pqpq1nn2． 这是在2中已经证明的，证明与连分数是否有限无关．n n1n n1

pp n1 ，n2 x2xa1，011，ax2

3x3

x2

3/

因为cpnqnnqn1q4cncn1qn

，n2

1pqpq5cncn2

nan

，n3

问题1将67写成a,a

1

n

．x．有关极限的理论这里就不详述了，我们只讨论这些理论的初等部分．引理2设fxa,a ,a,x，其中n2，则fxpnxpn1，其中pna,a ,a

6p1p2，„„，pn是1,2,3,,n的渐近分数（n6 pnn1pn1n1pn2n2pn3 nq 1 nq

qnx

1 n

xpnqn1xpn1

由xa,a ,a,

q

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