二次函数中线段最值问题

二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c-3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-3（2）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1。设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2。因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3。练习1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+3（2）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1。设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。对其求导并令其为0，可得x=1/2。因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。练习2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C（0，-3），顶点为D。点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c-3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-3（2）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。对其求导并令其为0，可得x=-1/2。因此M的坐标为（-1/2，-5/4）。练习3：如图，抛物线L1：y=x^2-x-2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C。抛物线L2与L1是共根抛物线，其顶点为P。若抛物线L2经过点（2，-12），求L2对应的函数表达式；当BP-CP的值最大时，求点P的坐标。解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c-2=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-2由L1与L2为共根抛物线可知，它们的顶点坐标相同，即P的横坐标为1/2。代入L2的解析式可得纵坐标为-3/2。因此P的坐标为（1/2，-3/2）。（2）设P的横坐标为x，则BP-CP=sqrt[(x-1)^2+1]-sqrt[(x+1)^2+1]。对其求导并令其为0，可得x=0。因此P的坐标为（0，-2）。练习4：如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上。求m的值及这个二次函数的关系式；P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x。求h的表达式。解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(3)^2+b(3)+c4=a(1)^2+b(1)+cy=x^2+mx+1化简后可得：y=x^2-2x+1由题意可知，B点在y轴上，因此A、B在直线y=x+m上的纵坐标相等，即4=3+m。解得m=1。因此这个二次函数的关系式为y=x^2-2x+1。（2）设P的横坐标为x，则PE的长为h=abs(y-0)=abs(x^2+mx+1)。E点的纵坐标为0，因此E的横坐标为（-m/2，0）。将E的横坐标代入二次函数的关系式可得E的纵坐标为（m^2/4-1）。因此PE的长为abs(x^2+mx+1-m^2/4+1)。对其求导并令其为0，可得x=-m/2。因此P的横坐标为-m/2，PE的最大值为abs(m^2/16+1)。练习5：已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图像与$x$轴交于点$A$、$C$，与$y$轴交于点$B$，直线$y=x+3$经过$A$、$B$两点。(1)求$b$、$c$的值。由已知，$A$、$C$在$x$轴上，因此有：$$\begin{cases}-x_A^2+b\cdotx_A+c=0\\-x_C^2+b\cdotx_C+c=0\end{cases}$$代入$A$、$C$的坐标可得：$$\begin{cases}b-4c=-3\\b+4c=1\end{cases}$$解得$b=-1$，$c=1$。因此，二次函数的解析式为$y=-x^2-x+3$。(2)若点$P$是直线$AB$上方抛物线上的一动点，过点$P$作$PF\perpx$轴于点$F$，交直线$AB$于点$D$，求线段$PD$的最大值。由于抛物线开口向下，因此最大值一定存在。设点$P$的坐标为$(m,0)$，则点$F$的坐标为$(m,-m+3)$，点$D$的坐标为$\left(\dfrac{m+3}{2},\dfrac{m+3}{2}\right)$。根据勾股定理可得：$$PD^2=\left(\frac{m+3}{2}-m\right)^2+\left(\frac{m+3}{2}-m+3\right)^2=\frac{1}{2}(m^2-2m+13)$$因此，$PD$的最大值为$\sqrt{\dfrac{13}{2}}$，此时$x$的值为$1$。练习6：如图，二次函数$y=x^2+bx+c$的图像交$x$轴于点$A(-3,0)$、$B(1,0)$，交$y$轴于点$C(0,c)$。点$P(m,0)$是$x$轴上的一动点，$PM\perpx$轴，交直线$AC$于点$M$，交抛物线于点$N$。(1)求这个二次函数的表达式。由已知，二次函数的图像经过点$A$、$B$，因此有：$$\begin{cases}(-3)^2-3b+c=0\\1^2+b+c=0\end{cases}$$解得$b=2$，$c=-3$。因此，二次函数的解析式为$y=x^2+2x-3$。(2)若点$P$仅在线段$AO$上运动，如图，求线段$MN$的最大值。由于抛物线开口向上，因此最大值一定存在。设点$N$的坐标为$(x,x^2+2x-3)$，则点$M$的坐标为$\left(\dfrac{x-3}{4},\dfrac{x^2+2x-3}{4}\right)$。根据勾股定理可得：$$MN^2=\left(\frac{x-3}{4}-x\right)^2+\left(\frac{x^2+2x-3}{4}\right)^2=\frac{1}{8}(x^4+4x^3-15x^2+16x+9)$$因此，$MN$的最大值为$\sqrt{\dfrac{9}{2}}$，此时$x$的值为$-1$。例4：如图，已知二次函数图像的顶点坐标为$A(1,4)$，与坐标轴交于$B$、$C$、$D$三点，且$B$点的坐标为$(-1,0)$。(1)求二次函数的解析式。由已知，二次函数的图像经过点$A$，因此有：$$y=a(x-1)^2+4$$由$B$点的坐标可得：$$0=a(-1-1)^2+4$$解得$a=\dfrac{1}{2}$。因此，二次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}(x-1)^2+4$。(2)在二次函数图像位于$x$轴上方部分有两个动点$M$、$N$，且点$N$在点$M$的左侧，过$M$、$N$作$x$轴的垂线交$x$轴于点$G$、$H$两点，当四边形$MNHG$为矩形时，求该矩形周长的最大值。设点$M$的坐标为$(m,0)$，点$N$的坐标为$(n,0)$，则有：$$\begin{cases}\dfrac{1}{2}(m-1)^2+4>0\\\dfrac{1}{2}(n-1)^2+4>0\\n<m\end{cases}$$由四边形$MNHG$为矩形可知$GH=MN$，因此有：$$GH=|n-m|$$四边形$MNHG$的周长为：$$2(MN+GH)=2(MN+|n-m|)$$将$MN$用$a$、$m$、$n$表示，有：$$MN=\frac{1}{2}(n-m)^2+2(n+m-2)$$因此，四边形$MNHG$的周长为：$$2\left(\frac{1}{2}(n-m)^2+2(n+m-2)+|n-m|\right)=(n-m)^2+4|n-m|+8(n+m-2)$$令$f(x)=(x-2)^2+4|x|+8x$，则$GH$的长度即为$f(n-m)$的值。对$f(x)$求导可得：$$f'(x)=\begin{cases}2x+4,&x<0\\2x-4,&x\geq0\end{cases}$$因此，当$n-m=-2$时，$f(n-m)$取得最小值$4$；当$n-m=2$时，$f(n-m)$取得最大值$24$。因此，当四边形$MNHG$为矩形时，周长的最大值为$48$，此时$n=1$，$m=-1$。练习7：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-5,0)$和点$B(1,0)$。(1)求抛物线的解析式及顶点$D$的坐标。由已知，抛物线经过点$A$、$B$，因此有：$$\begin{cases}-5^2-5b+c=0\\1^2+b+c=0\end{cases}$$解得$b=-2$，$c=-24$。因此，抛物线的解析式为$y=-x^2-2x-24$。抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，其中$h=-\dfrac{b}{2}=1$，$k=-\dfrac{b^2}{4}+c=-23$。因此，抛物线的顶点为$D(1,-23)$。(2)点$P$是抛物线上$A$、$D$之间的一点，过点$P$作$PE\perpx$轴于点$E$，$PG\perpy$轴，交抛物线于点$G$，过点$G$作$GF\perpx$轴于点$F$，当矩形$PEFG$的周长最大时，求点$P$的横坐标。设点$P$的坐标为$(x,-x^2-2x-24)$，则点$E$的坐标为$(x,0)$，点$G$的坐标为$\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{25}{4}\right)$，点$F$的坐标为$\left(\dfrac{5}{2},0\right)$。根据勾股定理可得：$$PE^2=x^2$$$$PG^2=\left(\frac{1}{2}+x\right)^2+\left(-\frac{25}{4}+x^2+2x+24\right)^2$$$$GF^2=\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}-x\right)^2+\left(-\frac{25}{4}\right)^2$$因此，矩形$PEFG$的周长为：$$2(PE+PG+GF)=2\left(x+\sqrt{\left(\frac{1}{2}+x\right)^2+\left(-\frac{25}{4}+x^2+2x+24\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}-x\right)^2+\left(-\frac{25}{4}\right)^2}\right)$$令$f(x)=x+\sqrt{\left(\frac{1}{2}+x\right)^2+\left(-\frac{25}{4}+x^2+2x+24\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}-x\right)^2+\left(-\frac{25}{4}\right)^2}$，则点$P$的横坐标即为$f(x)$的最小值点。对$f(x)$