高考数学二轮复习专题二三角恒等变换与解三角形

--#-所以sin（a+〃）cosa—cos（a+〃）sina=3sin（a+〃）・cosa+3cos（a+〃）sina,所以2sin（a+〃）cosa=—4cos（a+〃）sina,“,sin（a+B）所以tan（a+〃）=cos（a+Q4sina=—2tana，aaaa又因为3tan~2+tan2q=1,所以3tan~2=1—tanz^,a2tan224所以tana=-=4,所以tan（a+〃）=—2tana=—4.1—tan2^3.(2019・宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)若sin(n+x)+cos(n+x)=|，则sin2x=1+tanxsinxcos^x—才］解析：sin（n+x）+cos（n+x）=—sinx—cosx=±,即sinx+cosx=—2,两边平方得：sin2x+2sinxcosx+cos2x=4,13即1+sin2x=4，则sin2x=—4,1＋tanx1+sinx〒cosx由/八）-sinxcos^x—"J"J牙sinx（cosx+sinx）sinxcosxsin2x8\；233答案：—4利用正、余弦定理解三角形［核心提炼］1．正弦定理及其变形abc在△ABC中，SinA=；in万=SinC=2R（R^△ABC的外接圆半径）•变形：a=2RsinA,sin2Ra：b：c=sinA:sinB:sinC等.2．余弦定理及其变形在△ABC中，a2=b2+c2—2bccosA；.b2+c2—a2变形：b2+c2—a2=2bccosA,cosA=3．三角形面积公式S/mbc=2"bsinC=2bcsinA=^acsinB.［典型例题］例？(l)(2018・高考浙江卷)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=<7,b=2，A=60°，则sinB=，c=．(2)在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.①证明：A=2B；2②若cosB=3‘求cosC的值.bsmA【解】(1)因为a="J7,b=2,A=60°,所以由正弦定理得sinB=-7一7•21由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA可得c2—2c—3=0,所以c=3.故填：3.(2)①证明：由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A—B).又A,BG(0,n),故0VA—BVn,所以B=n—(A—B)或B=A—B,因此A=n(舍去)或A=2B,所以A=2B.V5②由cosB=3得sinB=^,cos2B=2cos2B—1=—9,sinA=4\；EsinA=4\；E9cosC=—cos(A+B)=—cosAcosB+sinAsinB=2227.名师点评正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理［对点训练］1.(2019・高考浙江卷)在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若ZBDCZBDC=45°，则BD=,cosZABD=解析：在RtAABC中，易得AC=5,sinC=AC=|.在△BCD中，由正弦定理得BD=BC3412\：2sinZBDCXsinZBCD=72X5^~5，sinZDBC=sin[n—(ZBCD+ZBDC)]=sin(ZBCD+243V2W2ZBDC)=sin乙BCDcos乙BDC+cos乙BCDsin乙BDC=5从电+5X牙=肓•又"BD+ZDBC=nn，所以cosAABD=sinZDBC=7102.答案：呼笹2.(2019・义乌高三月考)在△ABC中，内角A,B,C对应的三边长分别为a,b,c,且满足”a足”a\A_2)=b2_a2.(1)求角B的大小;V129⑵若BD为AC边上的中线，cosA=7,BD=亠厂,求△ABC的面积.解：(1)因为解：(1)因为”a\A—厅)=b2—a2.即2bccosA—ac=2(b2—a2),所以b2+c2—a2—ac=2(b2—a2),所以a所以a2+c2—b2=ac,cosB=f,n3=亍(2)法一：在三角形ABD中，由余弦定理得(bb\2b由余弦定理得=c2+\2/—2c・QcosA，129b21所以詈乞十?一瓠，①4边在三角形ABC中，由已知得sinA=卡-,厂所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=由正弦定理得c=5b.@由①，②解得，由①，②解得，'b=7,c=5.所以Sc=*bcsinA=10\；3.法二：延长BD到E,DE=BD,连接AE,在△ABE中，nzbae=~3~,BE2=AB2+AE2—2・AB・AE・cosZBAE,因为AE=Bc，129=c2+a2+a・c,①由已知得，由已知得，sin所以sinC=sin(A+B)=^4,csinZACB5—asinABAC8^由①②解得c=5，a=8，S△ABC=2C•a•sinZABC=10/3.解三角形中的最值（范围）问题［典型例题］例3（1）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2ccosB=2a~b.求角C的大小；若CA-2CB=2,求AABC面积的最大值.（2）（2019•杭州市高考数学二模）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若msinA=sinB+sinC（mWR）.当m=3时，求cosA的最小值；n__当A=m时，求m的取值范围.【解】（1）①因为2ccosB=2a—b,所以2sinCcosB=2sinA—sinB=2sin（B＋C）—sinB，化简得sinB=2sinBcosC，因为sinB壬0,所以cosC=2・因为OVCVn，所以C=才.②取bc的中点D，贝qCa—2cb=|DA|=2.在△ADC中，AD2=AC2+CD2—2ACCDcosC,即有4=即有4=方2+任）2—号三2a2b2abab~T~—~2=亍所以abW8,当且仅当a=4,b=2时取等号.1J3所以S△ABC=2absinC=4abW2\[3,所以△ABC面积的最大值为2-朽.(2)①因为在△ABC中msinA=sinB+sinC,当m=3时，3sinA=sinB+sinC，由正弦定理可得3a=b+c,再由余弦定理可得b2+c2—a2b2+c2—9(b+c)22bccosA=2bc829(b2+c2)—gbc2bc当且仅当b=c时取等号,7故cosA的最小值为9.②当A=~3时，可得2^m=sinB+sinC,故m=^sinB+^sinC亭sinB+芈込（晋—B^sinB+^sinB+亨B+|sinB所以sinE（2，1，所以2sin(B+pW(l,2],所以m的取值范围为(1，2]名师点评求最值的一般思路由余弦定理中含两边和的平方(如a2+b2—2abcosC=c2)且a2+b2±2ab,因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S=|absinC型面积公式及基本不等式求解,有时也用到三角函数的有界性．求三角形中范围问题的常见类型求三角形某边的取值范围．求三角形一个内角的取值范围，或者一个内角的正弦、余弦的取值范围.求与已知有关的参数的范围或最值．[对点训练]1.在△ABC中，AC.Ab=|Ac-ABI=3，则△ABC面积的最大值为()何B呼C.号1D.3p21解析：选B.设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为AC・AB=iAC—ABi=3,所以bccosA=a=3.3cosA2b2+c2—a2、-3cosA2又cosA=—2bC—^1—2bC=1—2所以cosA三5,21所以OvsinA^5~,~_13.3佰3问所以△ABC的面积S=^bcsinA=^tanAW^X?=4故△ABC面积的最大值为3421.2.(2019・浙江“七彩阳光”联盟联考)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的1c边，其面积满足S^BC=4a2,贝町的最大值为()A.迈—1Ba.'2Ca'2+1Da'2+2

解析：选C.根据题意，有S^ABC=4a2=2bcsinA,c应用余弦定理，可得b2+c2—2bccosA=2bcsinA,令t=b，于是t2+l—2tcosA=2tsinA.于是2tsinA＋2tcosA=t2＋1，所以2V2sin(A+_4j=t+1，从而汁1，解得t的最大值为-72+1.3.(2019・浙江绍兴一中模拟)在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足b2+c2—a2=bc.(1)求角A的值；⑵若a=\：3,记△ABC的周长为y,试求y的取值范围.解：(1)因为b2＋c2—a2=bc，b2＋c2—a21所以由余弦定理得cosA=2bc=2，因为AG(0，n)，所以A=nn.(2)由a=*3，A=~3及正弦定理,得b=c=a=a/3=_得sinB=sinC=sinA=並2T得b=2sinB，c=2sinf^—bJ，其中BW(0，，所以周长y=\；3+2sinB+2sin^3'—Bj=3sinB+\/3cosB3=2\3sin^B+由于BE得B+nne(n由于BE得B+nne16，6丿'从而周长yE(2p3，3诵］.专题强化训练、«‘-6

/IC11-2)1(－0(=..BD解析：、«‘-6

/IC11-2)1(－0(=..BD解析：选D.因为sin^6—J=cos，所以2cosa—23sina=^cosa—*sina,=—a所以tansinaa=cosa=—1,所以cos2a=cos2a—sin2cos2a—sin2a1—tan2asin2a+cos2atan2a+12.(2018・高考全国卷I)已知函数f(x)=2cos2x—sin2x+2,贝9()fx)的最小正周期为n,最大值为3f(x)的最小正周期为n,最大值为4f(x)的最小正周期为2n,最大值为3f(x)的最小正周期为2n,最大值为4335解析：选B.易知f(x)=2cos2x—sinx+2=3cos2x+1=2(2cos2x—1)+q+1=2cos2x+^,则f(x)的最小正周期为n,当x=kn(k^Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.3.(2019・台州市高考一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b—“j3c=2acosC,sinC=¥，则△ABC的面积为()A.B.A.DA''3或号cDA''3或号24解析：选C.因为2b—p3c=2acosC,所以由正弦定理可得2sinB—\hsinC=2sinAcosC,所以2sin(A+C)—丫3sinC=2sinAcosC,所以2cosAsinC=\；3sinC,所以cosA=¥，所以A=30°,,因为sinC=2，所以C=60°或120°・A=30°,C=60°,B=90°,a=1,所以△ABC的面积为|x1X2^23=23,4=3。。，C=120°,B=30°,a=1,所以△ABC的面积为|x1X1X23=4l，故选C.4.在△ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S^ABC=2^3,a+b=6,acosB+bcosA=2cosC,则c=()C.4解析：D.C.4解析：acosB+bcosAsinAcosB+sinBcosAsin(A+B)~选B•因为C=猛=sin(A+B)=1，所以2cosC=1,所以C=3・又S“bc=2冷3,则^absinC=2^j3,所以ab=8•因为a+b=6,所以c2=a2

+b2—2abcosC=(a+b)2—2ab—ab=(a+b)2—3ab=62—3X8=12，所以c=2\'3.5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4,贝咕。$需°_1=B．B．4A．8C．2D．1解析：选C.因为m=2sin18°,若m2＋n=4，则n=4—m2=4—4sin218°=4(1—sin218°)=4cos218°,所、加爲_2sin18°寸4cos218°4sin18°cos18°2sin36°_以2cos227°—1cos54°sin36°sin36°2.6.(2019・杭州市高三期末检测6.(2019・杭州市高三期末检测)设点P在△ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与AACP的外接圆面积之比为儿当点P不与B，C重合时()入先变小再变大当M为线段BC中点时，入最大久先变大再变小入是一个定值解析：选D.设△ABP与AACP的外接圆半径分别为r1,r2,…AB一AC则厂1sinZAPB'2sinZAPC，因为ZAPB+ZAPC=180°,所以sinZAPB=sinZAPC,所以所以久=r2=寮.故选d.r22AC2若sin2(a+y)=3sin2B若sin2(a+y)=3sin2B,贝m7.(2019・福州市综合质量检测)已知m=tan(幺丿+^'解析：选D.设A=a+〃+Y,B=a—〃+y，则2(a+Y)=A+B,23=A—B,1-231-23-2A.c(=因为sin2(a+Y)=3sin23,所以sin(A+B)=3sin(A—B),即sinAcosB+cosAsinB=3(sinAcosB—cosAsinB),即2cosAsinB=sinAcosB,所以tanA=2tanB,所以m=鷲=2,故选D.8.（2019•咸阳二模）已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且琵^+瓷2万过点M的直线与=2c2,sinA(1—cosC)=sinBsinC,b=6,AB边上的点M满足AM=2过点M的直线与射线CA,CB分别交于P,Q两点，则MP2+MQ2的最小值是（）A．36B．37C．38D．39aA．36B．37C．38D．39a2,b2解析：选A.由正弦定理,知sin2A+sin2B=2c2,即2=2sin2C,所以sinC=1,C=~2，所以sinA(1—cosC)=sinBsinC,即sinA=sinB,所以A=B=n.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2,JL1=(sin26+cos2c(16,6)(市+4)'设ZMPC=°,6G=(sin26+cos2c(16,6)(市+1=20+4tan2e+tO16^36，当且仅当tan6=迈时等号成立，即MP2+MQ2的最小值为36.9.已知2cos2x+sin2x=Asin(ex+y)+b(A>0)，则A=解析：由于2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x10.若aW(0,=V2sin(2x+"4)+l,所以A=\：10.若aW(0,4—aj=^,i'2cos2a,贝ysin2a=2_解析：由已知得亍(cosa+sina)=2：j2(cosa—sina).(cosa+sina),所以cosa+sina=0或cosa—sina=*,由cosa+sina=0得tana=—1，

因为圧（0,号）所以cosa+sina=0不满足条件;由cosa—sin由cosa—sina==4,两边平方得1—sin2a二令,所以sin2a=1516.答案：15答案：1611.（2019・金丽衢十二校联考二模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,acosB=bcosA,4S=2a2~c2，其中S是△ABC的面积，则C的大小为.解析：△ABC中,acosB=bcosA,所以sinAcosB=sinBcosA,所以sinAcosB—cosAsinB=sin（A—B）=0,所以A=B，所以a=b;又△ABC的面积为S=|absinC,且4S=2a2—c2,所以2absinC=2a2—c2=a2+b2—c2,~a2~a2+b2—c2所以sinC==cosC,所以C=才.n答案：才12.（2019・绍兴市一中高三期末检测）△ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2,tanZCAD=sinZBAC，则BC=.解析：由正弦定理可知，sinNCADsinZBAD=解析：由正弦定理可知，sinNCADsinZBAD=2,又tanZCAD=sinZBAC,sinZCAD=sin(ZCADcosZCAD+ZBAD),利用三角恒等变形可化为cosZBAC=2，据余弦定理BC=PAC2+AB2—2・AC・AB・cosZBAC=\：‘1+4—2='3.答案：侣13.(2019・惠州第一次调研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a=4,be(4,6)，sin2A=sinC,则c的取值范围为.c4c解析：由，=,得=，所以c=8cosA,因为16=b2+c2—2bccosA,所sinAsinCsinAsin2A

〜16—b2(4—b)(4+b)4+b以16—b2=64cos2A—16bcos2A'又bH4,所以cos2A=64^=16(4—b)—=肓'所以c2=64cos2A=64X〒g=16+4b.因为bw（4,6）,所以32vc2<40,所以4p2vcv2pl0.答案：（4迈,2\而14.（2019・绍兴市一中期末检测）设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且acosC-*c=b.（1）求角A的大小；⑵若a=3,求AABC的周长l的取值范围.解：(1)解：(1)由acosC—|c=b得:1sinAcosC—^sinC=sinB,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以*sinC=—cosAsinC,因为sinC壬0,所以cosA=—2，又0VAVn,所以A=23n.(2)由正弦定理得：b=鲁=2\；3sinB,c=2\：3sinC,l=a+b+c=3+2\：3(sinB+sinC)=3+2曲[sinB+sin(A+B)]=3+2p3^|sinB+甲cosb)=3+^;'3sin^B+亍)，因为A因为A=，所以bw（o,nJ所以B+nne,1所以,1所以sin则△ABC的周长l的取值范围为（6,3+2*2].15.（2019・湖州模拟）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知（sinA+sinB＋sinC)(sinB＋sinC－sinA)=3sinBsinC.(1)求角A的值；

⑵求\;3sinB—cosC的最大值.解：(1)因为(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC—sinA)=3sinBsinC,由正弦定理，得(a+b+c)(b+c—a)=3bc,所以b2+c所以b2+c2—a2=bc,所以cosA=b2+c2—a212bC=2,因为AG(0,n),所以A="3.⑵由A=n，得B+C=2n，所以3sinB—cosC=\；3sinB—cos^3"—B=V3sinB—(—*cosB+^sinb)=sin^B+十)