2023年高考数学一轮复习 金版教程 文档 第三部分 分类 思想4份

分类讨论思想专练

一、选择题

1.已知二次函数/）=加+2以+1在区间［-3,2］上的最大值为4,则a

等于（）

3

A.—3B.—石

O

C.3D.裴一3

答案D

解析当。>0时，7（x）在［-3,-1］上单调递减，在［-1,2］上单调递增，

3

可知当x=2时，於）取得最大值，即8。+1=4,解得〃=和当。<0时，易知/U）

在尤=-1处取得最大值，即-。+1=4,所以。=-3.综上可知，或-3.故

选D.

x3-x2+1,x<0,

2.（2022.石家庄市高中毕业班综合训练）已知函数7U）=

［2-,x20,

贝lJA?+2）次3光）的解集为（）

A.（2,+8）B.（-00,1）U（2,+8）

C.（-8,-1）D.（1,2）

答案B

解析当x<0时，/'。）=3%2一2心>0恒成立，所以凡r）在（一8,0）上单调递

增，且/U）<1；又当尤20时次x）=2',所以/U）在［0,+8）上单调递增，且加）宓0）

=1.所以函数段）在口上单调递增，因为凡^+2）43x）,所以炉+2>3x,解得x<l

或x>2,故选B.

3.若关于x的方程I优-l|=2a（a>0且aWl）有两个不等实根，则。的取值范

围是（）

A.(O,1)U(1,+8)B.(0,1)

C.(1,+8)

答案D

解析方程旧-1|=2〃伍＞0且“W1）有两个不同实数根转化为函数y=|a-

1|与y=2a的图象有两个交点.

①当0＜&＜1时，如图1,.•.0＜2a＜l,即0＜。＜；.②当。＞1时，如图2,而＞=

2a＞1不符合要求.综上，0＜。＜；.故选D.

4.设△ABC的内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,且。=3,c=l,△

ABC的面积为也，则。的值为（）

A.2啦B.2s

C.2啦或2小D.小

答案C

解析由三角形面积公式，得Bx3XlXsiM=啦，故sinA=^.因为sin2A

_______Ig]j

+cos2A=1,所以cosA=±^Jl^-sin2A=1-^=±§.①当cosA=§时，由余弦定

理，得tz2=+c2-2bccosA=32+I2-2X3X1X-=8,所以〃=2吸.②当cosA

=—g时，由余弦定理，得。2=62+c2—2bccosA=32+12—2X3X1x（—，=12,

所以a=2小.综上所述，a=2也或2小.故选C.

5.（多选X2021.河北省石家庄高三检测）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的

双曲线C与椭圆5+^=1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x-2），=0,则双

曲线C的方程可能为（）

/2

A.^-y2=1B.W-上v1

答案AD

解析在椭圆方+£=1中，0=正7=小.因为双曲线C与椭圆5+5=1

有相同的焦距，且一条渐近线方程为X-2》=0,所以可设双曲线方程为尸=

MW0）,化为标准方程为泰-5=1.当丸>0时，c=W+42=小,解得2=1,所

以双曲线。的方程为，-丁=1；当％<0时，」=""羽=小,解得4=-1,

所以双曲线。的方程为V一，=1.综上，双曲线。的方程为，一丁=1或炉一，=

1,故选AD.

6.（多选）（2021.江苏省徐州市高三阶段考试）设等比数列｛z｝的公比为q,其

42020-1

前〃项和为S,前〃项积为7”,并满足条件内>1,侬203>1,嬴h°•下列

结论正确的是（）

A.S2020<S2021

B.42020^2022-1<0

C.不。21是数列｛〃｝中的最大值

D.数列｛4｝无最大值

答案AB

解析当q<0时，〃202042021=O^020（J<0,不成立；当—21时，。2020>1,02021>1,

42020-1„.八~_八

r<0不成乂；故0<q<1,且。2020>1,0<«2（）21<1,故S202I>52020,A正确；0202042（）22

42021-1

-1”如「1<0,故B正确；乃020是数列｛，｝中的最大值，C,D错误.故选AB.

二、填空题

7.已知曲线y=上一点P（2,1）,则过点P的切线方程为

答案⑵一3>-16=0或版一3），+2=0

解析①当P为切点时，由y

得y'X=2=4,即过点P的切线方程的斜率为4.

Q

则所求的切线方程是y-W=4(x-2),

BP12x-3y-16=0.

②当P点不是切点时，设切点为d*。，58),

则切线方程为y-最=x8(x-xo),

因为切线过点«2,9,把P点的坐标代入以上切线方程，求得刈=-1或

无0=2(即点P,舍去)，所以切点为。［一1，即所求切线方程为3尤-3y+2

=0.

综上所述，过点P的切线方程为12x-3y-16=0^3x-3y+2=0.

X2-QX+。，X<\,

8.(2022・重庆高三上学期第二次质量检测)若函数式%)=vi、।

有两个不同的零点，则实数。的取值范围为.

答案(-8,白

解析当X<1时，由/=。(九一1),y=a(x—l)恒过定点(L0),作出y=f与y

的图象，如图，

由图象知«<0时，/U)有两个零点；。=0时，/U)有一个零点；。>0时，火幻

了一1x—12—x

无零点.当时，由a=令g(x)=-^r,贝Ijg'W=贝"=2时,

g(x)取得最大值g(2)=2,贝Ia=o或。=点时，/)有一个零点；0＜4＜白时，段)

有两个零点；"0或。＞点时，/)无零点.综上所述，当44-8,时，於)

有两个零点.

9.(2021.山东济宁嘉祥县第一中学高三四模)将函数段)=2皿(2%+目的图象

7T

向右平移五个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象，若g(Xl)g(X2)

=9,且xi,%2€[-2TI,2兀],则sin(xi+X2)的值为.

答案1或-1

解析由题意，得g(x)=2sin2x+1,g(x)的最大值为3,最小值为-1,因为

兀

g(xi)g(X2)=9,贝g(xi)=g(X2)=3,由g(x)=2sin2x+1=3,得2x=2kn+1,kWZ,

CI,兀，LL、，17兀3兀兀5兀]

贝lJx=E+z，kez,又XI,X2E[-2n,2K],所以尤I,垃气一彳，一彳，4Tj-

兀兀7C

设Xl=Z17t+1,X2=k27t+^,k\,6Z,则XI+X2=(Z1+女2)兀+5,则当Zl+%2为

偶数(例如依=一1,XI=-竽，k2=l,X2=,1时，Sin(xi+X2)=1,当心+依为奇

数(例如依=0,%1=第依=1,%2=引时，sin(xi+X2)=-1.综上可得，sin(xi+X2)

的值为1或-L

三、解答题

10.设各项不为0的数列｛“〃｝中，前〃项和为的，且s=-29,2S,,=anan+

(1)求数列｛&”｝的通项公式；

⑵求S的最小值.

解(1)...3二一29,2S/=〃〃〃〃+1,①

••2S〃+1=Cln+\Qn+2,(2)

②-①得2al+I=Cln+\｛Cln+2—Cln),

■「Q〃+1WO,「・+2—=2,

数列｛Z｝的奇数项成等差数列，

又ai=-29,

n-1

二当〃为奇数时，。〃=0+”一义2=〃-30；

在①中，令〃=1,得2s1=2ai=

.*.672=2,

又数列｛“”｝的偶数项成等差数列，

n-2

.・.当〃为偶数时，a«=4Z2+_y-X2=/2；

〃-30,〃为奇数，

'''a，，=[n,〃为偶数.

(2)由(1)可知,当〃为偶数时，a„=n>0,

要使S最小，〃必然是奇数.

.•・当〃为奇数时，

n+1n-1

-29+n-30)-^-(2+n-1)

Sn=2+2

/-29〃-30

=2，

且y=/-29x-30的图象的对称轴为直线x=多=14.5,

■•1n€N\且〃是奇数，

152-29X15-30

・二当〃二15时，(S〃)min=S15==一120.

11.如图，A,B,C,。为空间四点.在△ABC中，AB=2,AC=BC=®

等边三角形以AB所在直线为轴转动.

(1)当平面平面ABC时，求CD；

(2)当△ADB转动时，是否总有ABIC。？证明你的结论.

解(1)如图，取的中点已连接。E,CE,

•.•△4。3是等边三角形，」.。£145.

当平面4581平面ABC时，

平面ADBn平面ABC=AB,

平面ABC,可得OE1EC.

由已知可得。E=小，EC=\,

在RtADEC中，

CD=ylDE2+EC2=2.

(2)当aADB以AB所在直线为轴转动时，总有AB1CD.

证明：①当。在平面ABC内时，

：AC=BC,AD=BD,

.■.C,。都在线段A3的垂直平分线上，则AB1CD

②当。不在平面A3C内时，由(1)知ABIDE.

XAC=BC,：.ABLEC.

又DE,EC为相交直线，

DE,ECu平面DEC,

.■.AB_L平面DEC,

由CDu平面DEC,得A81CD

综上所述，当△ADB以A8所在直线为轴转动时，总有ABICD

12.(2022.福建晋江磁灶中学高三上阶段测试(一))如图，已知点尸为抛物线

C：的焦点，过点尸的动直线/与抛物线C交于M,N两点，且当

直线/的倾斜角为45。时，|MM=16.

(1)求抛物线。的方程；

(2)试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM,PN关于A-轴对称？若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解(1)当直线/的倾斜角为45。时，直线/的斜率为1,

••.展，0),的方程为y=

P

y=X一0,n2

由＜得^二0.

.V=2px,

设M{x\,yi),N(X2,yi),贝1J尤i+X2=3p,

.t.\MN\=xi+X2+/?=4/?=16,p=4,

••・抛物线。的方程为V=8x.

(2)假设满足条件的点P存在，设P(a,o),由⑴知尸(2,0),

①当直线/不与x轴垂直时，设I的方程为＞=k(x-2)伏WO),

y=k(x-2),

由J,得k^x2一(43+8)x+43=0,

IY=8x,

/=(43+8)2-4后饮2=643+64＞0,

4F+8

XI+X2=~~j2-,X\X2=4.

・・・直线PM,PN关于光轴对称，

_,k(x\-2),k(xi-2)

,二kpM+kpN=0,而kpM=,kpN=.

x\-axi-a

k(x\-2)(x2-a)+k(x2-2)(xi-a)=k[2x\X2一(〃+2)(xi+%2)+4Q]=-

8m+2)

—7—=0,/.a=-2,此时尸(一2,0).

②当直线/与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知产例，PN关于x轴对称,

此时只需P与焦点F不重合即可.

综上，存在唯一的点尸(-2,0),使直线PM,PN关于x轴对称.

13.(2022.江苏盐城伍佑中学高三上第一次阶段考试)设^)=xsinA+cosx,

g(x)=f+4.

⑴讨论於)在[-兀，兀]上的单调性；

(2)令〃(x)=g(x)-做*),试证明：//(x)在R上有且仅有三个零点.

解(l)ff(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令/(x)=0,又[-71,7l],

兀

贝I]x=0或X=±].

故当xw(-7r,-争时，/(X)〉0,危)单调递增；

当o)时，/(九)<0,於)单调递减；

当x€(0,(时，f(力>0,/)单调递增；

当x唔，兀)时，/(x)<0,段)单调递减.

所以危)在(-无,.上单调递增，在(-10),但，无)上单调递减.

(2)证明：h(x)=f+4-4xsinx-4cosx,

因为以0)=0,所以x=0是〃⑴的一个零点.

/2(-x)=(-%)2+4-4(-x)sin(-x)-4cos(-x)=x2+4-4尤sinr-4cosx=h[x),

所以人。)是偶函数，

即要确定〃。)在R上的零点个数，只需确定尤>0时，力(幻的零点个数即可.

当x>0时，hf(x)=2x-4xcosx=2x(1-2cosx),

171、571

令h'(x)=0,EPcosx=2,x=g+2而或%=亍+2氏兀(左€N).

当x€(0,§时，h'(x)<0,//(x)单调递减，

且〃住)吟+2-^^<0,

当X喏，3时，>。)>0,心)单调递增，

„/5由25储16/5兀

且/?IT)=~9~+~~3~+2>0，

所以/G)在(0,用上有唯一零点.

5兀

当xNg"时，由于sinxWl,cosxWl,

所以h(x)=x2+4-4xsiav-4cosxBx2+4-4x-4=x2-4x=t(x),

而3在［苧，+8)上单调递增，©)2信I〉o,

所以3)>0恒成立，故g)在胃，+8)上无零点，

所以〃(X)在(0,+8)上有一个零点，

由于〃(X)是偶函数，所以/7。)在(-8,0)上有一个零点，而外0)=0,

综上，/7(x)在R上有且仅有三个零点.

;第一部分数学思想专练

函数与方程思想专练

一、选择题

1.椭圆，+尸=1的两个焦点为四，Fi,过£作垂直于x轴的直线与椭圆

相交，其一交点为P,则|PB|=()

B.小

号D.4

答案C

解析如图，令|尸产i|=ri,\PFi\=n,那么

门+9=2。=4,fn+r2=4,

=><=f2=3.故选C.

另一r?=(2c)2=12[r2-n=3

2.（2022.青海省西宁市高三复习检测（一））关于x的方程cos2x-siiu+a=0,

TT

若。令W］时方程有解，则a的取值范围是（）

A.[-1,1]B.(-1,1]

C.[-1,0]D.1―8,一己

答案B

解析,,,cos2x-siax+a=0,a=sinr-cos2x=siar-(1-sin2x)=fsinx+

51131z91

兀/••

-一--

---yl+2N<+-

422224\SInx-4SInx2

2-卜1,即一IcaWL.M的取值范围为故选B.

3.若2、+51£2-『+57,则有（）

A.x+y20B.x+yWO

C.九一yWOD.x-y^O

答案B

解析原不等式可变形为215-Y2-f.即2，-。＜2-）-］加故设函

数«©=2,-t）,/U）为增函数，所以尤W-y,即x+yWO.故选B.

4.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求NACB=60。，BC的

长度大于1米，且AC比A3长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则

AC最短为（）

/rc

A.1l+B.2米

C.（1+小）米D.（2+小）米

答案D

解析由题意，设BC=x（x>l）米，AC=f«>0）米，贝ljA8=AC—0.5=Q—0.5）

米，在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+8c2—2AC8Ccos60。，即（-0.5）2=

、rx2-0.25075

产+/-及，化简并整理得f=------1（x>l）,即f=x—l+「+2,因为x>l,故

X-IX—L

t=x-1+罟+222+小（当且仅当X=1+半时取等号），此时/取最小值2+小.

故选D.

5.（多选）（2021.河北邢台高三质检）对于数列｛斯｝,若存在数列｛为｝满足儿=

一S（〃€N*）,则称数列｛加｝是｛"〃｝的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”叙

述正确的是（）

A.若数列他”｝是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列

B.若z=3〃-1,则其“倒差数列”有最大值

C.若&=3〃-1,则其“倒差数列”有最小值

D.若a〃=l-（-3”，则其“倒差数列”有最大值

答案ACD

解析若数列｛“〃｝是单增数列，则%-儿」=金-2-矶1+」一=（。"-m.

cin-1

1）（1+」—），虽然有小>如」，但当1+」—<0时，bn<bn.\,因此｛瓦｝不一定

ClnCln_1ClnCln_I

是单增数列，A正确；若则J儿=3〃-1-1易知｛仇｝是递增数

—1

列，无最大值，有最小值，最小值为"，B错误，C正确；若斯=1-1-3"，则

当〃为奇数时，m=1+改＞1,显然是递减的，因此加=z-5也是递减的，

3255

即力＞。3＞/?5＞…，...｛d｝的奇数项中有最大值为bi=D=%〉0,."lY是数列

｛瓦｝5WN*）中的最大值,D正确.故选ACD.

二、填空题

6.已知向量a=（L0）,b=（X,2）,\2a-b\=\a+b\,则实数2=,

答案2

解析由a=（l,0）,b=a,2）,得21=（2,0）_（九2）=（2-2,-2）,«+

6=（1+2,2）,所以12a—目2=（2—»2+（-2）2=8—4/l+/,|a+b|2=5+2/l+N,

X|2a-b\=\a+b\,所以8—42+/=5+22+22,解得幺=；.

7.（2021.河北衡水中学全国高三第一次联考）已知实数凡bW（小,+8）,

且满足点一拉In则a,b,丽的大小关系是________.

答案a＞\Jat»b

解析由点一为In得点+lna＞*+lnb.设於）=5+lnx,则/（处=一

21X2-2r-L

7+丁丁.当也，+8）时，/（x）＞0恒成立，故危）在区间（也，+8）上

单调递增，又人。）次与，所以"所以a＞砺＞4

8.（2022.江苏盐城、淮安、宿迁、如东等地高三第一次大联考）现有一块正

四面体形状的实心木块，其棱长为9cm.车工师傅欲从木块的某一个面向内部挖

掉一个体积最大的圆柱，则当圆柱底面半径r=cm时，圆柱的体积最

大，且最大值为cm3.

答案小3晒

解析设圆柱上底面圆心为。1,下底面圆心为。2,。为正四面体底面中心,

圆柱的上底面与正四面体侧面ACD的交点N在侧面中线4M上,

.正四面体棱长为9,.,.8M=9又坐=^^.二02加=邛^,BOi=3^3,A。

r—f3y—hr-

=3#,设圆柱底面半径为r,高为〃，由01N//02M得二一3加一,l,/7=3^

2

-2\[2r,V圆柱=兀户(3%-2'\[2r)=3%兀户-2啦兀/，令.大广)=3%无户-2小Q,

f(r)=6加无尸一&7^兀,，令/'⑺=0得尸=小，.」=小时，J(r)max=7iX3X(3加

-26*小)=3加兀.

三、解答题

9.在△A3C中，。是BC边的中点，AB=3,AC=VB,AD=巾.

(1)求BC边的长；

⑵求△ABC的面积.

解(1)设则BC=2x,

AB2+BD2-AD1

在△A3。中，有cos/45。

2ABBD

9+X2-7

2X3x'

AB2+BC2-AC29+4f-13

在△ABC中，有cos/ABC

2ABBC2X3X2x

且NABO=AABC,

9+/一79+4/-13

即2X3x=2X3X2*

解得x=2,所以BC=4.

⑵由(1)可知，cosB=1,B€(0,7i),得sinB=坐，所以S.cjABBCsinB

=gx3X4X坐=3小.

10.（2021.贵州省凯里一中月考）在等差数列｛z｝中，已知。3+。4=84-。5,

。8=36.

(1)求数列｛&"｝的通项公式；

Sn+20

(2)记Sn为数列他”｝的前n项和，求丁厂的最小值.

解(1)由。3+。4=84-。5得。4=28,

“1+34=28,a\=22,

由＜彳早

〔ai+7d=36,〔1=2,

数列列"｝的通项公式为z=22+(〃-1)*2=2〃+20.

n(n-1).

(2)由(1)得，Sn=22n+—2—X2=n2+21n,

令危）=尢+尸+21,x＞0,

f（X）=l-^,当XC（O,2而时，/（x）＜0；

当x€（2小，+8）时，/Q）＞O,

贝"x）在（0,2小）上单调递减，在（2小，+8）上单调递增，

又〃WN*,贝4）=（5）=30,

Sn+20

.・・当〃=4或5时，丁厂取最小值，为30.

11.（2022.湖北恩施州高三上第一次教学质量监测）某企业创新形式推进党史

学习教育走深走实，举行两轮制的党史知识竞赛初赛，每部门派出两个小组参赛,

两轮都通过的小组才具备参与决赛的资格.该企业某部门派出甲、乙两个小组，

42

若第一轮比赛时两组通过的概率分别是彳第二轮比赛时两组通过的概率分别

33

是351两轮比赛过程相互独立.

(1)若将该部门获得决赛资格的小组数记为X,求X的分布列及数学期望；

(2)比赛规定：参与决赛的小组由4人组成，每人必须答题且只答题一次(与

答题顺序无关)，若4人全部答对就给予奖金，若没有全部答对但至少2人答对

就被评为“优秀小组”.该部门对通过初赛的某一小组进行党史知识培训，使得

每个成员答对每题的概率均为P(O<P<1)且相互独立,设该参赛小组被评为“优秀

小组”的概率为加)，当〃=〃。时，加)最大，试求P。的值.

433

解(1)设甲、乙通过两轮制的初赛分别为事件Ai,贝IJP(Ai)=5Xa=W，

232

P(A2)=3><5=5-

由题意知X的取值可能为0,1,2,则

P(x=o)=(i-瓢(1-翡皋

P(X=1)=(1-|)x|+|x(i-1)=^1，

326

P(X=2)=5X5=25,

那么X的分布列为

X012

6136

P

252525

E(X)=0X^+1X^1+2X^=1.

(2)由题意，知小组中2人答对的概率为以(1-p)2P2,3人答对的概率Ca(l-

P)”，

贝ftp)=6(1-p)2P2+4(1-p)p3=2p4-8p3+6p2.

f(p)=8P3-24P2+12/?=4P(2p2_6p+3),

3-小3+小

令/(P)=O得Pi=0(舍去)，P2=-5-，P3=-2—(舍去)，

在(o,士子)上，加)单调递增，在(三"，［上，加)单调递减.

3-小3-73

故，=—2一时，.他)最大.所以P()=-2-'

12.在平面直角坐标系中，动点M到定点F(-1,O)的距离与它到直线x=-

-J2

2的距离之比是常数看，记点M的轨迹为T.

⑴求轨迹T的方程；

(2)过点尸且不与x轴重合的直线加与轨迹T交于A,8两点，线段A3的垂

直平分线与x轴交于点P,在轨迹T上是否存在点。，使得四边形APBQ为菱形？

若存在，请求出直线机的方程；若不存在，请说明理由.

解⑴设M(x,y),根据动点M到定点F(-1,0)的距离与它到直线x=-2

的距离之比是常数，，

.N(X+1)2+y_g林钿,亵2_1

倚\x+2\-2'整理传2+)一1，

轨迹T的方程为，+产=1.

(2)假设存在直线m,设直线m的方程为x=6-1,

x=ky-1,

由/2消去X，得(M+2)户26-1=0.

反+/1

]2左—4

设A(xi,yi),8(X2,>2),贝Ijyi+y2=^7^，无1+*2=左。1+")-2=^^,

••・线段AB的中点”的坐标为后不，瓦

.•・四边形APBQ为菱形，

，直线PQ为线段AB的中垂线.

・・・直线PQ的方程为y—&=+

令y=0,解得X=-出，即。]

设。(X。，yo),；p,Q关于点”对称,

-2if_Ok1

•.•土=寸°一3+2/不=声。+°），

f-32k

解传x°=K，*=再;，

，一32k、

即%2+2,F+2/

•••点。在椭圆上，

.•.3M含

解得乒=坐，

于是点=也,即卜土版，

・•・直线机的方程为y=^x+版或y=-版x-/.

数形结合思想专练

一、选择题

1.（2021・湖北襄阳模拟）已知a,8是平面内两个互相垂直的单位向量，若向

量c满足（a-c）Q-c）=0,则|c|的最大值是（）

A.1B.2

C.啦D.坐

答案C

解析如图，设。A=a,OB=b,OC=c,则C4=a-c,CB=D-c.由题意

知第1西，二。，A,C,8四点共圆.••・当。。为圆的直径时，依最大，此时,

\OC\=y/2.

2.已知函数./U）=F，则下列结论正确的是（）

A.函数八X）的图象关于点（1,2）对称

B.函数人》）在（-8,1）上是增函数

C.函数人r）的图象上至少存在两点A,B,使得直线A8//X轴

D.函数式幻的图象关于直线x=l对称

答案A

2x22

解析由式》）=一7=2+—声口./U）的图象是由>的图象平移得到的，作

出其简图如图所示.从图象可以看出/U）的图象关于点（1,2）成中心对称；其在区

间（-8,1）和（1,+8）上均是减函数；没有能使A3//X轴的点存在.故选A.

3.（2021.广东省七校联考）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A（8,0）,

以04为直径的圆与直线y=2r在第一象限的交点为8,则直线A8的方程为（）

A.x+2y-8=0B.%-2y-8=0

C.2x+y-16=0D.2x-y-16=0

答案A

解析如图，由题意知因为直线。3的方程为y=2x,所以直线

A3的斜率为-因为A（8,0）,所以直线AB的方程为），-0=（x-8）,即龙+

2y-8=0.故选A.

4.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则成.（而

+%的最小值是（）

A.-2B--2

C.-|

D.-1

答案B

解析如图，以等边三角形ABC的底边8C所在直线为x轴，以8C的垂直

平分线为），轴，建立平面直角坐标系，则40,小），5（-1,0）,C（l,0）.

设P(x,y),则成=(-x,S-y),丽=(-1-x,-y),PC=(1-x,-y).所

以成.(而+南=(一,yj3-y)-(-2x,_2、)=2%2+2(y_坐｝_|.当》=0,丁=坐

时，防(而+南取得最小值-多

5.(2022.广东广州花都区高三上调研考试)已知函数/)=

已\了2—1,

\,g(x)=yu)-x+a,若g(x)存在3个零点，则。的取值范围是

In(-x),x<-I,

()

A.1,7+1B.fl,7+1

c[-B，-1]D,[-；-1,-1)

答案D

解析令g(x)=/(x)-x+a=o,gpfix)=x-a,则函数g(x)的零点个数即为

函数;(x)与函数y=图象的交点个数，作出函数/U)与函数y=x-a的图象,

如图所示，当时，y=ex,则y'=ev,令e'=l,则x=0,即直线y

=%-。与曲线y=e'相切的切点为(0』)，此时。=-1,因为g(x)存在3个零点，

。<—1,

—1—〃>0

即函数7U)与函数y=x-4的图象有3个交点，所以j'解得-1-

一—V

所以a的取值范围是1-1-1,故选D.

6.(多选)(2021.广东佛山顺德容山中学高三月考)若函数7U)=e」l与g(x)

=ax的图象恰有一个公共点，则实数。的可能取值为()

A.2B.0

C.lD.-1

答案BCD

解析fix-)=8-1与g(x)=ax恒过(0,0),如图，当aWO时，两函数图象恰

有一个公共点；当a>0时，函数_/U)=e'-1与g(x)=ar的图象恰有一个公共点，

则ga)=<u为段)=e'l的切线，且切点为(0,0),因为(幻=巴所以a=/'(0)

=e0=1.故选BCD.

7.(多选)(2022.湖北恩施州高三上第一次教学质量监测)已知函数_Ax)=

|siru|cosx,则以下叙述正确的是()

A.若/(Xi)=«X2),贝Ijx\=X2+kn(k€Z)

B./U)的最小正周期为2兀

,713兀，一、—一

C.段)在［a，j上单调递减

D.7U)的图象关于直线x=E(A€Z)对称

答案BCD

解析Hx)=|siiu|cosx

siarcosx,sirirNO,

_<

-sinxcosx,sinr<0,

,2kji〈xWn+2kji(k€Z),

,兀+2kjt<x<2ii+2kn(k€Z),

作出«r）的图象如图,

兀

对于A,由图知，若共幻）=/（九2）,不一定有XI=X2+E（A€Z）,如取X1=-4,

7T

X2=a，此时满足/1）=加2）,但不满足X1=X2+E（A€Z）,故A不正确；对于B,

兀3兀

由图知外）的最小正周期为2兀，故B正确；对于C,由图知Ar）在自，71上单调

递减，故c正确；对于D,由图知7U）的图象关于直线》=也（攵€@对称，故D

正确.故选BCD.

8.（多选）（2021.山东莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟）设抛物线产=

2Pxs>0）的焦点为£尸为抛物线上一动点，当P运动到（2,。时，\PF]=4,直线

/与抛物线相交于A,B两点，点M（4,l）.下列结论正确的是（）

A.抛物线的方程为V=4x

B.IPM+IPR的最小值为6

C.存在直线/,使得A,8两点关于直线x+y-6=0对称

D.当直线/过焦点尸时，以A尸为直径的圆与），轴相切

答案BD

解析因为点尸为抛物线尸=2px(p〉0)上的动点，当P运动到(2,/)时，\PF]

=4,所以|P同=2+^=4,p=4,故尸=8x,A错误；

过点P作PE垂直准线于点E,则|PM+『同=\PM\+1尸国》6，当P,E,M

三点共线时等号成立，B正确；假设存在直线/,使得A,8两点关于直线x+y

-6=0对称,则直线/的斜率为1.设A(xi,yi),B(X2,”)，AB的中点H(xo,yo),

ccyi-V28

则y]=8xi,=8x2,两式相减得到8+”)8-/)=8(xi-X2),即丫_门=,

Ji]一y\।

VI-V28

因为1一-=1,y+”=2yo,所以4=1,故yo=4,xo=2,而点(2,4)在抛物线

上，故不存在直线/,使得A,8两点关于直线x+y-6=0对称，C错误；过点

A作AC垂直准线于点C,交y轴于点Q,取AE的中点为G,过点G作G。垂

直轴于点。，贝小。6|=；(|。用+|4。|)=力4。=/4月，故以为直径的圆与y

轴相切，D正确.故选BD.

二、填空题

9.已知函数,於)=1。82。+1),且a>Z?>c>0,贝吟\牛，犀的大小关系为

答案呼**

解析作出函数/U)=10g2(X+l)的大致图象，如图所示，可知当X>0时，曲

线上各点与原点连线的斜率随X的增大而减小，因为a>b〉c〉o,所以等*咚.

10.不等式（|x|-?sinx<0,x）［-%,2冗］的解集为

答案（一兀,-fjufo,（兀,2兀）

解析在同一坐标系中分别作出>=凶-方与丁=42的图象如图，根据图象

可得不等式的解集为（-兀，一机（0,机（兀,2K）.

H.（2021.山东省实验中学高三模拟）已知点西（-3,0）,放（3,0）分别是双曲

92

线C：，-%=1（。>0,。>0）的左、右焦点，M是C右支上的一点，与），轴

交于点P,△MPE的内切圆在边尸人上的切点为。，若|尸。|=2,则C的离心率

为•

3

答案2

解析设△MPB的内切圆在边MB上的切点为K,在MP上的切点为N,

如图所示.

则|PFI|=|PR2],|PQ|=|PM=2,\QF2\=\KF2\,\MN\=\MK\,则|PFI|=方网=

\PQ\+|。。2|=2+\QF2\,由双曲线的定义可得|MK|-|M尸2|=\MP\+\PFs\-\MK\-

\KF2\=\MP\+2+\QF2\-\MK\-\KF2]=2+\MP\-\MN\=4=2a,解得a=2,又c

Q3

=3,所以离心率e=y

12.（2022.上海控江中学高三上开学考试）已知函数/U）=x+；+a,若对任

-1

-3

2

意实数凡关于X的不等式式幻2机在区间-上总有解，则实数机的取值范

围为.

答案1-8,|

解析，=龙+:在区间；，3上的图象如下图所示,

根据题意，对任意实数凡关于X的不等式式x)2〃z在区间3,3上总有解,

则只要找到其中一个实数。，使得函数./U)=x+^+a的最大值最小即可，如图,

✓V

函数y=x+：的图象向下平移到一定程度时，函数段)=x+7+a的最大值最

小.此时只有当/U)=A3)时，才能保证函数7U)的最大值最小.设函数y=x+5勺

1()Q

图象向下平移了川〉0)个单位，所以至-，=-(2-0,解得Z=?所以此时函数/U)

inQ2(2-

的最大值为则实数"?的取值范围为1-8,-.

三、解答题

13.已知圆C：(九一3>+3一4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆

。上存在点P,使得NAPB=90。，求机的最大值.

解根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心。的坐标为(3,4),半径r=

1,且|A阴=2〃?.

因为NAPB=90。，连接。P,易知|OP|=：|A阴=机.

要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点。的最大距离.

因为|。。|=0+42=5,

所以10Plmax=|OC|+r=6,

即m的最大值为6.

14.记实数xi,X2,―,初中的最小数为min（xi,xi,—,x”},求定义在区

间［0,+8）上的函数/（x）=min{f+1,x+3,13-x}的最大值.

解在同一坐标系中作出三个函数y=f+l,y=x+3,y=13-x的图象如

图.

由图可知，在实数集R上，min{『+l,x+3,13-x}为直线y=x+3上A点

下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段与直线），=13-无上C点下方的部

分的组合图.

显然，在区间［0,+8）上，在C点时，y=min{*+l,x+3,13-幻取得最

大值.

y=x+3,

解方程组口得点。（5,8）.

13-x,

所以/（X）max=8.

15.设A,B在圆f+产=1上运动，且|4用=小，点P在直线/：3x+4y-

12=0上运动，求原+两的最小值.

解设的中点为。，则成+而=2用,

,当且仅当。，D,P三点共线且OP1/时，|成+而I取得最小值.