河南省洛阳市第二外国语学校高三高考数学闯关密练特训《直线的方程与两条直线的位置关系新》试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。（文)(2012·乌鲁木齐地区质检）在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1）的最短弦所在直线的倾斜角是()A.eq\f（π,6) B.eq\f(π,4）C。eq\f（π，3） D.eq\f(3π,4)[答案]B[解析]圆心为(－1，2），过点（0,1）的最长弦（直径）所在直线斜率为－1,且最长弦与最短弦垂直，∴过点（0,1)的最短弦所在直线的斜率为1,倾斜角是eq\f(π,4）。（理）（2012·内蒙包头模拟）曲线y＝x2＋bx＋c在点P（x0，f（x0）)处切线的倾斜角的取值范围为[0，eq\f(π，4）]，则点P到该曲线对称轴距离的取值范围为()A．[0，1] B．［0，eq\f(1，2）]C．［0,eq\f(｜b|，2）] D．［0,eq\f(|b－1|，2)][答案]B[解析]y′|x＝x0＝2x0＋b,设切线的倾斜角为α，则0≤tanα≤1，即0≤2x0＋b≤1,∴点P（x0，f(x0））到对称轴x＝－eq\f（b,2）的距离d＝|x0＋eq\f（b,2)|＝eq\f（1,2)｜2x0＋b｜∈[0，eq\f（1,2)］,故选B.2．（文）（2011·辽宁沈阳二中检测）“a＝2”是“直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行"的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件［答案]B［解析］两直线平行的充要条件是eq\f（2,a）＝eq\f(a,2）≠eq\f(－1,－2），即两直线平行的充要条件是a＝±2.故a＝2是直线2x＋ay－1＝0与直线ax＋2y－2＝0平行的充分不必要条件．[点评］如果适合p的集合是A，适合q的集合是B,若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p，q互为充要条件,若B是A的真子集,则p是q的必要不充分条件．(理)（2011·东营模拟）已知两条直线l1:ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件［答案］B[解析］l1∥l2时,an－bm＝0；an－bm＝0时eq\o（⇒，/）l1∥l2.故an＝bm是直线l1∥l2的必要不充分条件．3．（2011·烟台模拟）点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是（)A．(－2,1） B．(－2，5）C．(2，－5) D．（4，－3)[答案]B［解析］x＝2－4＝－2，y＝2－(－3)＝5,故选B.4．（文）(2011·梅州模拟)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－（a2＋1）y－1＝0互相垂直，则|ab｜的最小值为()A．5B．4C．2D．1［答案］C［解析］由题意知,a2b－（a2＋1)＝0且a≠0，∴a2b＝a2＋1，∴ab＝eq\f（a2＋1，a)＝a＋eq\f(1,a），∴|ab｜＝|a＋eq\f(1，a)|＝|a｜＋eq\f（1，｜a|）≥2。(当且仅当a＝±1时取“＝”）．（理）已知a、b为正数,且直线（a＋1）x＋2y－1＝0与直线3x＋(b－2）y＋2＝0互相垂直，则eq\f(3,a）＋eq\f（2，b）的最小值为()A．12 B.eq\f(13，6）C．1 D．25[答案］D[解析]∵两直线互相垂直,∴3(a＋1)＋2（b－2）＝0,∴3a＋2b∵a、b>0，∴eq\f（3，a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f（3,a）＋eq\f(2，b）)（3a＋2b)＝13＋eq\f（6b，a)＋eq\f（6a,b）≥13＋2eq\r(\f（6b,a)·\f(6a，b))＝25.等号成立时，eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（6b,a)＝\f（6a，b)，3a＋2b＝1））,∴a＝b＝eq\f（1,5），故eq\f(3，a）＋eq\f（2,b）的最小值为25.5．两条直线l1：eq\f（x，a）－eq\f(y，b)＝1和l2：eq\f（x,b)－eq\f(y，a）＝1在同一直角坐标系中的图象可以是（)［答案］A［解析］直线l1在x轴上的截距与直线l2在y轴上的截距互为相反数,直线l1在y轴上的截距与l2在x轴上的截距互为相反数，故选A。[点评］可用斜率关系判断，也可取特值检验．6．（文)(2011·安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P（2，1）的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则这样的直线共有（)A．1条 B．2条C．3条 D．4条[答案］C[解析]设过点P（2，1)的直线方程为eq\f（x,a）＋eq\f（y，b）＝1，则eq\f(2，a)＋eq\f(1，b)＝1，即2b＋a＝ab，又S＝eq\f(1,2)|a｜｜b|＝4,即|ab｜＝8，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2b＋a＝ab，,｜ab|＝8，）)解得a、b有三组解eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，)）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4－4\r（2），,b＝－2＋2\r(2），）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4\r(2）－4，,b＝－2－2\r（2）.））所以所求直线共有3条,故选C。(理）(2012·山东模拟)若直线（m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数mA。eq\f（1,2）<m<1 B．－1<m≤eq\f(1,2）C．－eq\f（1,2）≤m<1 D。eq\f(1，2)≤m≤1［答案］D［解析]若直线（m2－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限,则直线过二、三、四象限,则斜率和截距均小于等于0。直线变形为y＝(m2－1)x－2m＋1，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－1≤0,，－2m＋1≤0，））⇒eq\f（1,2）≤m≤1，故选D。[点评]（1）令x＝0得y＝－2m＋1,令y＝0得,x＝eq\f(2m－1,m2－1），则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－2m＋1〈0,，\f（2m－1，m2－1）<0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2m＋1＝0，,m2－1≤0，))也可获解．(2)取特值m＝0，1，检验亦可获解．7．(2011·宁夏银川一中月考)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．[答案］－2或1［解析]令x＝0得y＝2＋a，令y＝0得x＝eq\f(a＋2,a),由条件知2＋a＝eq\f（a＋2,a),∴a＝－2或1.8．（文）若直线m被两平行线l1:x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2eq\r（2),则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号）［答案］①⑤［解析］求得两平行线间的距离为eq\r(2)，则m与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°,则m的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.（理)(2012·佛山市高三检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a,b)在线段AB上，则ab的最大值为________．［答案］eq\f(1，2)［解析］直线方程可化为eq\f(x，2)＋y＝1，故直线与x轴的交点为A（2，0），与y轴的交点为B（0,1），由动点P（a,b）在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2,从而a＝2－2b，由ab＝(2－2b）b＝－2b2＋2b＝－2(b－eq\f（1，2))2＋eq\f（1,2），由于0≤b≤1,故当b＝eq\f（1，2）时,ab取得最大值eq\f(1,2).9．（2011·大连模拟)已知点A(1,－2），B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是________．［答案］3［解析]由已知条件可知线段AB的中点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2），0）)在直线x＋2y－2＝0上,代入直线方程解得m＝3。［点评］还可利用AB⊥l求解，或eq\o(AB,\s\up16(→））为l的法向量，则eq\o(AB，\s\up16(→))∥a，a＝（1,2)，或先求AB中点纵坐标y0,利用AB的中点在直线上求出其横坐标x0再求m.10．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m、n的值，使(1)l1与l2相交于点P（m,－1)；（2)l1∥l2；（3）l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为－1。[解析]（1)由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m2－8＋n＝0，,2m－m－1＝0,))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝7，，m＝1，）)∴当m＝1,n＝7时,l1与l2相交于点P（1，－1)．（2）l1∥l2⇔eq\f（m，2)＝eq\f(8,m）≠eq\f（n,－1），得:m＝4，n≠－2，或m＝－4，n≠2.(3)l1⊥l2⇔m×2＋8×m＝0，∴m＝0，则l1：8y＋n＝0。又l1在y轴上的截距为－1，则n＝8.综上知m＝0，n＝8.[点评]讨论l1∥l2时要排除两直线重合的情况．处理l1⊥l2时，利用l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2能力拓展提升11。(文)（2012·辽宁文）将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是（）A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0[答案]C［解析]本题考查了直线与圆的位置关系．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0化为标准方程(x－1)2＋(y－2）2＝4，∵直线平分圆，∴直线过圆心．因此，可代入验证．经验证得C正确．［点评]关键是明确圆是轴对称图形,对称轴过圆心．（理)（2011·西安八校联考)已知直线l的倾斜角为eq\f(3π，4)，直线l1经过点A(3，2）,B(a，－1),且直线l1与l垂直，直线l2:2x＋by＋1＝0与直线l1平行,则a＋b等于()A．－4 B．－2C．0 D．2[答案］B[解析］依题意知,直线l的斜率为k＝taneq\f（3π，4）＝－1，则直线l1的斜率为1，于是有eq\f(2＋1，3－a）＝1,∴a＝0，又直线l2与l1平行，∴1＝－eq\f（2,b)，∴b＝－2，∴a＋b＝－2，选B.12．(文)若三直线l：2x＋3y＋8＝0，l2：x－y－1＝0，l3:x＋ky＋k＋eq\f(1,2)＝0能围成三角形，则k不等于(）A。eq\f（3，2) B．－2C。eq\f(3，2)和－1 D。eq\f（3,2）、－1和－eq\f(1,2)[答案]D[解析]由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0，,2x＋3y＋8＝0,））得交点P（－1，－2），若P在直线x＋ky＋k＋eq\f(1，2）＝0上，则k＝－eq\f（1,2）.此时三条直线交于一点;k＝eq\f（3，2)时，直线l1与l3平行．k＝－1时，直线l2与l3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠－eq\f（1,2），eq\f(3,2）和－1。(理)(2011·北京文，8）已知点A(0，2），B（2,0）．若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(）A．4B．3C．2D．1[答案]A[解析]因为|AB｜＝2eq\r(2），要使三角形面积是2，则C点到直线AB的距离为eq\r（2）.直线AB的方程为x＋y－2＝0，设C点所在的直线方程为x＋y＋m＝0，所以d＝eq\f（｜m＋2|,\r(2））＝eq\r（2），解得m＝0或m＝－4，所以C点的轨迹为x＋y＝0，或x＋y－4＝0。又因为点C在函数y＝x2的图象上，x＋y＝0，和x＋y－4＝0与y＝x2分别有两个交点．故这样的点共有4个．[点评]可利用点到直线距离公式,转化为方程解的个数的判定．13．已知指数函数y＝2x的图象与y轴交于点A，对数函数y＝lgx的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动,点M(0,－2）,则｜MP|的最小值为________．［答案]eq\f（3\r（2），2)［解析］A（0，1)，B（1，0)，∴直线AB:x＋y－1＝0，又M（0，－2），当|MP｜取最小值时，MP⊥AB，∴|MP｜的最小值为M到直线AB的距离d＝eq\f（｜0－2－1｜,\r(2））＝eq\f(3\r(2),2)。14．已知直线l1：（k－3)x＋（4－k）y＋1＝0与直线l2：2（k－3)x－2y＋3＝0平行,则l1与l2的距离为________．［答案］3或5[解析］由（k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k）＝0，且－2×1－(4－k)×3≠0，∴k＝3或5.当k＝3时，l1：y＋1＝0，l2:－2y＋3＝0，此时l1与l2距离为：eq\f（5，2)；当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2:4x－2y＋3＝0，此时l1与l2的距离为eq\f（|3－2|,\r（42＋－22)）＝eq\f（\r(5)，10）.15．(文)已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8。当m分别为何值时，l1与l2(1)相交？(2）平行？（3)垂直？［解析］(1)当m＝－5时，显然l1与l2相交；当m≠－5时，两直线l1和l2的斜率分别为k1＝－eq\f(3＋m,4），k2＝－eq\f(2,5＋m），它们在y轴上的截距分别为b1＝eq\f（5－3m，4），b2＝eq\f（8，5＋m)。由k1≠k2，得－eq\f（3＋m，4)≠－eq\f（2，5＋m）,即m≠－7,且m≠－1。∴当m≠－7，且m≠－1时，l1与l2相交．(2）由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（k1＝k2，,b1≠b2，））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f(3＋m，4）＝－\f(2,5＋m），，\f（5－3m，4）≠\f（8,5＋m)，）)得m＝－7.∴当m＝－7时，l1与l2平行．(3)由k1k2＝－1，得－eq\f(3＋m,4）·(－eq\f(2，5＋m）)＝－1，m＝－eq\f(13,3)。∴当m＝－eq\f（13,3)时，l1与l2垂直．（理)(2011·青岛模拟)已知三点A(5,－1)、B（1,1）、C(2，m），分别求满足下列条件的m值．（1)三点构成直角三角形ABC；(2)A、B、C三点共线．［解析](1)若角A为直角,则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即eq\f（m＋1,2－5)·eq\f(1＋1,1－5)＝－1,得m＝－7；若角B为直角，则AB⊥BC,∴kAB·kBC＝－1，即－eq\f（1，2)·eq\f(m－1，2－1)＝－1，得m＝3；若角C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即eq\f（m＋1，－3)·eq\f(m－1，2－1）＝－1，得m＝±2，综上可知,m＝－7,或m＝3,或m＝±2。(2）方法一:∵A（5,－1),B(1,1），C(2，m)，∴kAB＝eq\f（－1－1，5－1）＝－eq\f(1,2），kAC＝eq\f（－1－m,5－2)＝－eq\f(1＋m，3)，由kAB＝kAC，得－eq\f(1,2）＝－eq\f(1＋m,3)，即m＝eq\f（1,2)。∴当m＝eq\f（1，2)时,三点A、B、C共线．方法二：∵A（5,－1)，B（1,1），C(2,m）,∴eq\o(AB,\s\up16（→)）＝(－4，2)，eq\o（AC，\s\up16（→））＝（－3，m＋1),由eq\o(AB，\s\up16(→))＝λeq\o（AC，\s\up16（→)），得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－4＝－3λ，2＝λm＋1)),得λ＝eq\f（4，3)，m＝eq\f(1,2），∴当m＝eq\f（1，2）时，三点A、B、C共线．方法三：∵A(5，－1），B（1,1），C（2，m)，∴|AB|＝2eq\r(5)，|BC｜＝eq\r(m2－2m＋2)，｜AC|＝eq\r（m2＋2m＋10)。由三点横坐标可知，｜BC｜＋|AC｜＝｜AB|，即eq\r（m2－2m＋2）＋eq\r(m2＋2m＋10）＝2eq\r（5）,eq\r（m2＋2m＋10)＝－eq\r（m2－2m＋2)＋2eq\r（5），两边平方，得eq\r（5）·eq\r（m2－2m＋2）＝3－m，两边平方,得4m2－4m＋1＝0，∴m＝eq\f（1,2)，经验证m＝eq\f（1,2)符合题意，故m＝eq\f（1，2）时,三点A、B、C共线．方法四：点A（5，－1)与B（1，1)确定的直线方程为x＋2y－3＝0,将C（2，m）的坐标代入得m＝eq\f(1，2）,故m＝eq\f(1，2）时，三点A、B、C共线．16．（文)(2011·西安模拟）设直线l的方程为（a＋1)x＋y＋2－a＝0（a∈R）．(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程．(2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．[解析]（1）令x＝0，得y＝a－2。令y＝0,得x＝eq\f（a－2,a＋1)（a≠－1）．由a－2＝eq\f（a－2，a＋1)，解得a＝2，或a＝0。∴所求直线l的方程为3x＋y＝0，或x＋y＋2＝0。（2）直线l的方程可化为y＝－（a＋1)x＋a－2。∵l不过第二象限，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋1≥0，,a－2≤0.)）∴a≤－1.∴a的取值范围为（－∞，－1］．（理)过点A（3，－1）作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C,若|BC|＝2｜AB｜,求直线l的方程．[解析］当k不存在时B(3,0),C(3，6)．此时|BC｜＝6，｜AB｜＝1，｜BC|≠2｜AB|,∴直线l的斜率存在，∴设直线l的方程为：y＋1＝k（x－3）,令y＝0得B（3＋eq\f（1,k），0)，由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2x,y＋1＝kx－3))得C点横坐标xc＝eq\f(1＋3k,k－2)。若|BC｜＝2|AB|则｜xB－xC|＝2｜xA－xB|，∴|eq\f(1＋3k，k－2)－eq\f(1，k）－3｜＝2|eq\f(1，k)|，∴eq\f（1＋3k，k－2)－eq\f（1,k）－3＝eq\f（2,k）或eq\f(1＋3k，k－2）－eq\f（1，k)－3＝－eq\f（2，k），解得k＝－eq\f（3,2）或k＝eq\f（1，4).∴所求直线l的方程为：3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.1．函数y＝asinx－bcosx的图象的一条对称轴方程为x＝eq\f（π,4），则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为()A．45° B．60°C．120° D．135°［答案］D［分析]由函数的对称轴方程可以得到a、b的关系式,进而可求得直线ax－by＋c＝0的斜率k，再由k＝tanα可求倾斜角α.［解析]令f(x）＝asinx－bcosx，∵f（x)的一条对称轴为x＝eq\f(π，4)，∴f（0)＝feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，2)）)，即－b＝a，∴eq\f(a,b)＝－1.∴直线ax－by＋c＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.2．若三直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0，x＋ky＋k＋eq\f(1，2）＝0相交于一点，则k的值为（）A．－2 B．－eq\f(1，2)C．2 D。eq\f(1，2)[答案]B［解析］由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y－1＝0，2x＋3y＋8＝0）)得交点P（－1，－2)，P在直线x＋ky＋k＋eq\f(1，2）＝0上，∴k＝－eq\f(1，2）.3．(2011·江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y（y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（）A．(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3)) B．（－eq\f(\r（3）,3)，0）∪(0，eq\f(\r（3），3）)C．[－eq\f（\r（3)，3）,eq\f(\r（3）,3）] D．(－∞，－eq\f(\r(3）,3）)∪（eq\f（\r（3）,3），＋∞）[答案]B[解析]曲线C1：(x－1）2＋y2＝1，图形为圆心为(1，0)，半径为1的圆；曲线C2：y＝0或者y－mx－m＝0，直线y－mx－m＝0恒过定点（－1，0），即曲线C2图象为x轴与恒过定点(－1,0）的两条直线．作图分析：k1＝tan30°＝eq\f（\r（3），3），k2＝－tan30°＝－eq\f（\r（3),3），又直线l1(或直线l2)、x轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知m＝k∈（－eq\f（\r（3），3）,0)∪(0，eq\f（\r(3),3))．4．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对边的边长,则直线xsinA＋ay＋c＝0与bx－ysinB＋sinC＝0的位置关系是()A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直[答案]C［解析］由已知得a≠0，sinB≠0,所以两直线的斜率分别为k1＝－eq\f(sinA，a)，k2＝eq\f（b，sinB）,由正弦定理得：k1·k2＝－eq\f(sinA，a)·eq\f（b,sinB)＝－1，所以两条直线垂直，故选C.5．（2011·安徽省高三联考）点P到点A（1，0）和直线x＝－1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为eq\f（\