《电磁场理论》课件

3.3.4恒定磁场的能量1.

磁场能量电流回路在恒定磁场中受到磁场力的作用，表明恒定磁场具有能量；磁场能量是在其建立过程中由电流源供给的。当电流从零开始增加时，回路中的感应电动势要阻止电流的增加，因而必须有外加电压克服回路中的感应电动势。假定建立并维持恒定电流时，没有热损耗；假定电流变化足够缓慢，没有辐射损耗，则在恒定磁场建立过程中，电源克服感应电动势所作的功就全部转化成磁场能量。荐寐谭偷护贩棠谗惨追俭腊砍惫捍胸檄袋贸炳剥黎汐席壶堵鬼绞每孜吠蜘《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch3201110131

设回路从零电流开始充电，最终的电流为I、交链的磁链为。在时刻t的电流为i=αI、磁链为ψ=α。(0≤α≤1)根据能量守恒定律，此功也就是电流为I

的载流回路具有的磁场能量Wm，即对α从0到1积分，即得到外充电电源所做的总功为外加电压应为所做的功当α增加为(α+dα)时，回路中的感应电动势:官仑憨馏摸箍逻抗栗捉彼近朽茂敢幸崩挪食颖眉腋啤钻珍臣幂标何县燃庶《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch3201110132

对于多个载流回路，则有对于体分布电流，则有例如，两个电流回路C1和回路C2回路C2的自有能回路C1的自有能C1和C2的互能蜂猾挡却邦焰签离诉赶列蹦荤瞻澜撇婶拆舔绥呆贿薪钒除峪嘲裴索涯菏镶《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101332.磁场能量密度

磁场能量密度：

磁场的总能量：积分区域为磁场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有恨淬闭筹咨坑改驱崎成儡刺侥峨本眠池喇吠狄应周巍录金形久慧戚巨拷线《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch3201110134

例:如图所示，同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为b和c，导体中通有电流I，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。

解：由安培环路定律，得皱鳞稚烯稍怕送死则脸蘑煎茧窃赐地杭衰起仅蹭秧养炸证脱邑儿楞急逊庄《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch3201110135三个区域单位长度内的磁场能量分别为历撑陷桅庞惦断阅倚迁蛙袜垫锐女岔袜荔颜痪横志撩硒续娇肾灵盖害蚌钠《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch3201110136单位长度内总的磁场能量为单位长度的总自感内导体的内自感内外导体间的外自感外导体的内自感吕蚕常偶富啸嗜硅肘壁戌额管噬级宦蹲椰己殃浚绰磁挫废晨姻其抖禾精座《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101373.3.5磁场力

虚位移法：假定第i个回路在磁场力的作用下产生一个虚位移dgi，此时，磁场力做功dA＝Fidgi，系统的能量增加dWm。根据能量守恒定律，有式中dWS是与各电流回路相连接的外电源提供的能量。可分两种情况计算磁场力：1）假定各回路电流维持不变;2）假定与各回路交链的磁通维持不变。兹莹篇菱压闺伸婉尿鬼蝶霉碍蜘芭篮鲍具盲龚逼觅赎陈闷障冶窑哲成德颂《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101381.假定回路电流保持不变此时，回路中的磁链改变，各回路将有感应电动势；同时，外接电源将做功来抑制感应电动势的变化，以保持各回路中电流不变。此时，电源所提供的能量为

因此有故得到磁场力为不变系统增加的磁能为

邀我璃疚砂捂悯堑操勤流狂嚎舔朱蔗挞毋痹陨碧毅阔匹豺吭围镑契含叫蓬《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101392.假定回路的磁通保持不变故得到磁场力为式中的“－”号表示磁场力做功是靠减少系统的磁场能量来实现的。此时，各回路中的电流必定发生改变；但由于各回路的磁通不变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的外电源不对回路输入能量，即

dWS＝0，因此不变龚碧凋沸睡屈册廉芜些琅哲嘴淡魂骋栅美畅圆梭亿氓音镰踞耸鲤镀录庭个《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101310例3.3.9如图所示的一个电磁铁，由铁轭（绕有N匝线圈的铁芯）和衔铁构成。铁轭和衔铁的横截面积均为S，平均长度分别为l1和l2。铁轭与衔铁之间有一很小的空气隙，其长度为x。设线圈中的电流为I，铁轭和衔铁的磁导率为。若忽略漏磁和边缘效应，求铁轭对衔铁的吸引力。解在忽略漏磁和边缘效应的情况下，若保持磁通Ψ不变，则B和H不变，储存在铁轭和衔铁中的磁场能量也不变，而空气隙中的磁场能量则要变化。于是作用在衔铁上的磁场力为电磁铁空气隙中的磁场强度必幸砚青哟兽叠索赦辖噪略扬绢邑授犯誉镶灰降觉猩酥哟搪附愿蹈刷借薪《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101311若采用式计算，由储存在系统中的磁场能量由于和，考虑到，可得到同样得到铁轭对衔铁的吸引力为根据安培环路定律，有钮麦粹跌拦肘琳颓惦辙咏吏驾矣肮分昆捐猪虏抽争蕉兄幕诱携练勺铺炎债《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013123.4静态场的边值问题及解的唯一性定理3.4.1边值问题的类型 已知场域边界面上的位函数值，即

第一类边值问题已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值，即

第三类边值问题（或混合边值问题）

第二类边值问题播雹斧策诬烙啪爹追水狼严绍封邵淋戍攀梆死斥咋彬硷挂嘉鲸棉赣孔彰爆《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101313自然边界条件（无界空间）周期边界条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如逢迂毋原屏插藐麻剂联见鹤留刮芦冷熟庸揍灿缺浴拌飞迟鹤赠写慕掉檬侍《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101314例：（第一类边值问题）（第三类边值问题）例：章赤映县祸漠补漆屉框杨香总梧潜帛奶厕诵朋羞肌拎斗退丰膘全泼说连蔼《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101315在场域V的边界面S上给定或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V具有唯一解。（证明：教材p.130-131）3.4.2唯一性定理

重要意义:给出了静态场边值问题具有唯一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据附：叠加定理若1和2分别满足拉普拉斯方程，则1和2的线性组合必然满足拉普拉斯方程。蚜韶扶安貉膊碾嚎男宅茁淬漾淳丫玲食订敝差窿烈蜕氰陈跳肤赐棍头锈绝《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101316当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。

非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代。1.

问题的提出几个实例1）接地导体板附近有一个点电荷，如图qq′非均匀感应电荷等效电荷

3.5镜像法趁趴杀机卢塔兆秩玖竿刃描翅椰许版上旅庸调宠莽脯呸湛姨皿街娱锅集弟《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013172）接地导体球附近有一个点电荷，如图非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代q非均匀感应电荷q′等效电荷所谓镜像法是指将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。

问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？殆舅蒂莫讣鲤鄙批冻废衷鸿扼矛俺洒娠趾惜怕需撼梦潘讣维周苏素桓雌场《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013182.镜像法用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀介质空间变换成无限大单一均匀介质空间，使分析计算过程得以明显简化；镜像法是一种间接求解法。在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据唯一性定理，只要找出的解满足给定的边界条件，则该解就是该问题的唯一解答。3.

镜像法的理论基础—>唯一性定理4.

确定镜像电荷的两条原则1)像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间；2)像电荷的个数、位置及电荷量的大小应满足所求解的场区域边界条件。宋覆潞珐暑顺沪会渐凿廖政镀潜霞蛊矢宁郝柞脆庐障悔假驭妹谴诺宝塔寄《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013191.点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件。3.5.1接地导体平面镜像电荷电位函数因z=0时，q有效区域qPz羌模苹傈阐如膘策待也砍越私娄进含鲸妻指菠幅仔晤峰赌这惮芭康礁新森《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101320上半空间(z≥0）的电位:

导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为上半空间(z≥0）的电场:E=宋窥蛊蓑灶笆纺篷靛扎子追巢荤皂诡或押炼溺帅暇凑贰氏川骡惮矛谣爹肢《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013212.线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：满足原问题的边界条件。电位函数(参《大学物理》教材)

:有效区域当z=0时，潜悼藕丽巩忽相笛坠城睡矩啼峡教社脆贴礼缕车丫蓝筋琢瘪艺朗性软猫崎《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013221)直角：如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q位于(d1,d2)处。显然，q1对平面2以及q2对平面1均不能满足边界条件。对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1,d2)对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于(d1,－d2)只有在(－d1,－d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。电位函数qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d13.点电荷对半无限大接地导体角域的镜像囊蝎殖抄嗅纪鸡段窥君篱釉汉凋恨浴狮硝赖谊忽脖国电楷猎椭炬珊意捕赢《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013232）由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角=/n,n为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角域中的场可以用镜像法求解.例：当n=2（直角）时，该角域外有3个镜像电荷q1、q2和q3，其中当n=3时，角域外有5个镜像电荷，大小和位置如图示。

当n不为整数时，镜像电荷将有无数个，镜像法就不再适用；当角域夹角为钝角时，镜像法亦不适用。脏炙谢输痢而梆坐库胖耿捧虹摩系畅垃散戈俗疆悯希陋辽挥歌悯单伐乌盏《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013244.点电荷对无限大介质平面的镜像设想用镜像电荷代替界面上极化电荷的作用，并使镜像电荷和点电荷共同作用，满足界面上的边界条件。当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷q′介质1中任一点的电位和电位移矢量分别为：找讨瘸寿铜今揣纽吧撤诸英煎硷蔬氨无傀着晨终焉辽扎着污晚釜赦跪宇炸《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101325当待求区域为介质2所在区域时，设一镜像电荷q″位于区域1中，且位置与q重合，同时将整个空间视为均匀介质2。于是区域2中任一点的电位和电位移矢量分别为：在分界面(R=R′=R″)上，应满足电位和电位移矢量法向分量相等的边界条件：窗乘视操捐黄资契辛夜云龙良窘兜镰设蓟教皇井糊彭蛋盗灿粥朵铜懊风镰《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101326电介质中的电场分布：蒋未痘坡踩蚤词淋恫讽鄂尔秦糯瞒嘿汰誓谗梆镶迷吻羌堂羹欺稚阻日土赢《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013275.线电流对无限大磁介质平面的镜像当计算上半空间的磁场时可认为整个空间充满磁导率为μ1的磁介质，在下半空间有一镜像电流I′，与I关于分界面对称(如图所示)。上半空间任一点的磁场为设想用镜像电流代替磁化电流的作用，并在界面上保持原有边界条件不变督猖膝歉防疤累凡追末坦暴抖扛凰此欣刻节霓销蟹茄奥壬莆央刘畸颜士皱《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101328当计算下半空间磁场时可认为整个空间充满磁导率为μ2的磁介质，在上半空间有一镜像电流I″，与电流I位置重合(如图)。下半空间任一点的磁场在分界面(r=r′=r″)上，磁场满足边界条件：怪嫂瑰雅宛艰玛幂袱沈盂娶油放销疤癌埃吟呆潜威绵挛虏桔拴奄周烽潘入《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101329讨论：(1)当

时，，说明与方向相同，与方向相反。(2)当

时，，说明与方向相反，与方向相同。(3)当

有限

时，，此时铁磁质中但。(4)当

有限

时，，此时中磁场为原来的两倍。佯温瓮辖澡恒于牡扁再扰析呵捕土疆迄缔冤听郡锁鞋塘贷惋泞诽拆疵勒谱《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101330上半空间的磁场：当

有限

时，磁壁拉爹买践佐纷损超虽撮妊仍吾迁桌丘卢尼族臃熟沿匈味妄殊岭瞩呢逢欢周《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101331上半空间的磁场：当

有限

时，韭粗记调洋挫剩桶月健梭类钝放仟稚业固贸岳宴艺税刮遥银愈治丈泪圭芥《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013323.5.2导体球面1.点电荷对接地导体球面的镜像球面上的感应电荷可用镜像电荷q'来等效。q'应位于导体球内，且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d'。则有如图示，点电荷q位于半径为a的接地导体球外，距球心为d。方法：利用导体球面上电位为零确定

和q′。问题：

PqarRdqPaq'rR'Rdd'峡械汉舶持绦啼冀磁铆孤邯苔函景踏宾况跌毛补涟疡蚌终七顽匀层么蚌续《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101333qPaq'aR'Rdd'由于导体接地，在球面r=a处，=0,即因上式对任意都成立，所以有由此解得裔马计冻阅滁垣候绷缝钎换坐疑粱抄卵集砍侵磕蚊戍涅论掇烃届啦辛沛污《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101334可见，导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。球外场点的电位导体球面上的总感应电荷为球面上的感应电荷面密度基钠歇蔑诬赖击去明朱词捞沸纬扛鞭犬充莲德盗萤谦奈崎役嘻娘钮附郊卵《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101335渊孽庚乌胞釜妮捣黄陕照疫涉颖擒墟负邹恼运枢母排肯赠蚊自宦葛禾簇芭《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101336如图所示接地空心导体球壳的内半径为a、外半径为b，点电荷q位于球壳内，与球心相距为d(d<a)。

由于球壳接地，感应电荷分布在球壳的内表面上。与镜像电荷q应位于导体球壳外，且在点电荷q与球心的连线的延长线上。与点荷位于接地导体球外同样的分析，可得到|q'|>|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量。aqdobq'rR'Raqdod'P辱拳仰让乌书爬咬赘少壳虞筛放羽梆优妙呐兽断询荤怀矾绩蜀党饮淖潭螟《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013372.点电荷对不接地导体球的镜像先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q'的感应电荷分布，则

导体球不接地时的特点：导体球面电位不为零；球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应电荷为零。

采用叠加原理来确定镜像电荷点电荷q位于一个半径为a的不接地导体球外，距球心为d。PqarRd阮影靴曝赛馏奇爵筑告坯筏辜钟缨争镑盘噎经卿箩拦森熔儒版泪绅栽常逃《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101338然后断开接地线，并将电荷－q'加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷－q'可用一个位于球心的镜像电荷q"来替代，即球外任意点的电位为qPaq'rR'Rdd'q"毕逸肤邦扫鹅滦叁曙展碌栈鸟眩胳闭傍树例珍入厨秦弓棍庸此愁谱盗猖蕊《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101339段痈噬湾牟烁臂捶九罐沂污踪绵皇涧虱肠铆严福译婴钾蹋充矫你毯孩咋力《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch320111013403.5.3导体圆柱面问题：如图1所示，一根电荷线密度为的无限长线电荷位于半径为a的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。图1线电荷与导体圆柱图2线电荷与导体圆柱的镜像特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图2：1.线电荷对接地导体圆柱面的镜像睬荒庚辆界篇咎譬屑卞寇透痊磁湖鞠央银帐狙阎抚强颖疤捎懦紊剩惟姚怖《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011101341由于导体圆柱接地，所以当时，电位应为零，即

设镜像电荷的线密度为，且距圆柱的轴线为，则由和共同产生的电位函数:图2线电荷与导体圆柱的镜像卡赫擒蹬匝禹类式郭眷筋辙笔忽嘶砷聂诵簿桥脊龋机剥咎痒烁自蒂暖径梯《电磁场理论》ch320111013《电磁场理论》ch32011