版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领
文档简介
§14.7
隐函数定理的几何应用1一、平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程
F(x,
y)
=0.
y
=
f
(
x)切线方程:
y
-
y0
=
f
'(
x0
)(
x
-
x0
)1000f
'(
x
)=
-
(
x
-
x
)法线方程:y
-yFy2而
f
'(
x)
=
-
Fx
,
所以切线:Fx
(x0
,y0
)(x
-x0
)+Fy
(x0
,y0
)(y
-y0
)=0法线:Fy
(x0
,y0
)(x
-x0
)-Fx
(x0
,y0
)(y
-y0
)=0
z
=
z(t
)设空间曲线的方程
y
=
y(t
)
(1)
x
=
x(t
)zo
yx二、空间曲线的切线与法平面3M0M
(
x0
+
Dx,
y0
+
Dy,
z0
+
Dz)对应于
t
=
t
+
Dt.设M
(x0
,y0
,z0
),对应于t
=t0
;M(1)式中的三个函数均在t
=t0处可导.2
2
2且[
x'(t0
)]
+[
y'(t0
)]
+[z'(t0
)]
„
0.zo
yxMM割线
MM
的方程为x
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
z0Dx
Dy
DzDzDt4DyDtDxDt考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以Dt
,x
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
z0
,当M
fi
M
,即Dt
fi
0时
,曲线在M处的切线方程x
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
z0
.x'(t0
)
y'(t0
)
z'(t0
)5切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.0
0
0T
=
{x'(t
),
y'(t
),
z'(t
)}法平面：过M点且与切线垂直的平面.x'(t0
)(
x
-
x0
)
+
y'(t0
)(
y
-
y0
)
+
z'(t0
)(z
-
z0
)
=
0tu例1
求曲线G
:
x
=0e
cos
udu，y
=
2sin
t
+
cos
t
,z
=1
+e
3t
在t
=0处的切线和法平面方程.解
当t
=
0时，
x
=
0,
y
=
1,
z
=
2,x
=
et
cos
t,
y
=
2cos
t
-
sin
t,
z
=
3e3t
,
x
(0)
=
1,y
(0)
=
2,
z
(0)
=
3,切线方程x
-
0
=
y
-
1
=
z
-
2
,6法平面方程1
2
3x
+
2(
y
-
1)
+
3(z
-
2)
=
0,即x
+2
y
+3z
-8
=0.
y
=
y(
z
)
x
=
x(
z
)1.空间曲线方程为
,在M
(x0
,y0
,z0
)处,x
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
z0
,x'(z0
)
y'(z0
)
17法平面方程为x'(z0
)(
x
-
x0
)
+
y'(z0
)(
y
-
y0
)
+
(z
-
z0
)
=
0.切线方程为特殊地：2.空间曲线方程为G(
x,
y,
z)
=
0F
(
x,
y,
z)
=
0,0„
0,¶(
x,
y)
M¶(F
,G)$
x
=j
(z),y
=y
(z),
使得,x0
=j
(z0
),y0
=y
(z0
),
且¶(F
,G)dz
dz¶(
x,
y)
¶(
x,
y)8¶(F
,G)
¶(F
,G)dx
=
-
¶(z,
y)
dy
=
-
¶(
x,
z)¶(F
,G)切线方程为,Fx
FyFz
FxGy
Gz
M
Gz
Gx
M
Gx
Gy0
0
M0z
-
z0=y
-
y0=x
-
x0Fy
Fz法平面方程为000(z
-
z
)
=
0.(
y
-
y
)
+G
G(
x
-
x
)
+G
Gy
M0xFyGxx
M0zF
Fxzy z
M0Fy
Fz19dx
dydz
M0dz
M0x
-
x0
=
y
-
y0
=
z
-
z0
,即:例
2
求曲线x
2
+
y2
+
z
2
=
6，
x
+
y
+
z
=
0在dx
dx
dy
dzdx
dx+ =
-1
y
dy
+
z
dz
=
-
x点(1,-2,
1)处的切线及法平面方程.解
1
直接利用公式;解
2
将所给方程的两边对x
求导并移项，得dy
=
z
-
x
,,10dx y
-
zdx y
-
zdz x
-
y=由此得切向量T
=
{1,
0,-1},所求切线方程为x
-
1
=
y
+
2
=
z
-
1,1
0
-
1法平面方程为
(
x
-
1)
+
0 (
y
+
2)
-
(z
-
1)
=
0,
x
-
z
=
0=
0,dx
(1,-2,
1)dy=
-1,11dx
(1,-2,
1)dz设曲面方程为曲线在M处的切向量T
={x'(t0
),y'(t0
),z'(t0
)},F
(
x,
y,
z)
=
0在曲面上任取一条通过点M的曲线z
=
z(t
)
x
=
x(t
)G
:
y
=
y(t
),三、曲面的切平面与法线n12TM由F
(x(t
),y(t
),z(t
))=0F
't
(t0
)
=
Fx
x'(t0
)
+
Fy
(
y'(t0
)
+
Fz
(z'(t0
)
=
0n
=
{Fx
(
x0
,
y0
,
z0
),
Fy
(
x0
,
y0
,
z0
),
Fz
(
x0
,
y0
,
z0
)}则T
^
n,由G的任意性知,曲面上M点处所有曲线的切线共面，称为曲面的切平面13垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在M处的法向量(Normal
vector)即n
=
{Fx
(
x0
,
y0
,
z0
),
Fy
(
x0
,
y0
,
z0
),
Fz
(
x0
,
y0
,
z0
)}Fz
(
x0
,
y0
,
z0
)14Fy
(
x0
,
y0
,
z0
)Fx
(
x0
,
y0
,
z0
)z
-
z0=y
-
y0=x
-
x0切平面方程为+
Fz
(
x0
,
y0
,
z0
)(z
-
z0
)
=
0通过点M
(x0
,y0
,z0
)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为Fx
(
x0
,
y0
,
z0
)(
x
-
x0
)
+
Fy
(
x0
,
y0
,
z0
)(
y
-
y0
)特殊地：空间曲面方程形为z
=f
(x,y)曲面在M处的切平面方程为fx
(
x0
,
y0
)(
x
-
x0
)
+
f
y
(
x0
,
y0
)(
y
-
y0
)
=
z
-
z0
,曲面在M处的法线方程为=15=
z
-
z0
.x
-
x0
y
-
y0fx
(
x0
,
y0
)
f
y
(
x0
,
y0
)
-
1F
(
x,
y,
z)
=
f
(
x,
y)
-
z,令若a
、b
、g表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角g
是锐角，则法向量的方向
余弦为,1
+
f
2
+
f
2x
y-
fxcosa
=,-
f
ycos
b
=.161
+
f
2
+
f
2x
y12y2x+
f1
+
fcosg
=f
y
=
f
y
(
x0
,
y0
)其中f
x
=
f
x
(
x0
,
y0
)例3
求旋转抛物面z
=
x
2
+
y2
-
1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解f
(
x,
y)
=
x2
+
y2
-
1,n
(
2,1,4)
=
{2
x,
2
y,-
1}(
2,1,4)=
{4,
2,-1},切平面方程为法线方程为4(
x
-
2)
+
2(
y
-
1)
-
(z
-
4)
=
0,
4
x
+
2
y
-
z
-
6
=
0,x
-
2
=
y
-
1
=
z
-
4
.4
2
-
117例
4
求曲面z
-
ez
+
2
xy
=
3
在点(1,2,0)处的切平面及法线方程.解Fx
(1,2,0)
=
2
y
(1,2,0)
=
4,Fy
=
2
x
(1,2,0)
=
2,(1,2,0)(1,2,0)=
0,F
=
1
-
ezz
(1,2,0)令F
(x,y,z)=z
-ez
+2
xy
-3,切平面方程法线方程4(
x
-
1)
+
2(
y
-
2)
+
0
(z
-
0)
=
0,
2
x
+
y
-
4
=
0,x
-
1
=
y
-
2
=
z
-
0
.2
1
018例
5
求曲面
x2
+
2
y2
+
3z2
=
21
平行于平面x
+
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
评论
0/150
提交评论