2022届新高考数学抽象函数专题练习

抽象函数一、单选题1．函数是上的增函数，点，是其图象上的两点，则的解集为（）A． B． C． D．2．已知函数在定义域上单调，且时均有，则的值为（）A．3 B．1 C．0 D．3．单调增函数对任意满足，若恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．4．定义在上的奇函数满足，当，，则（）A． B． C． D．5．已知定义在上的函数满足，且当时，，则关于的不等式（其中）的解集为（）A． B．或C． D．或6．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（）A． B． C．0 D．17．已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B． C．( D．二、多选题9．已知函数满足，有，且，当时，，则下列说法正确的是（）A．B．时，单调递增C．关于点对称D．时，方程的所有根的和为10．已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是（）A．是以为周期的周期函数B．C．函数的图象与函数的图象有且仅有个交点D．当时，11．已知函数的定义域为，且在上可导，其导函数记为.下列命题正确的有（）A．若函数是奇函数，则是偶函数B．若函数是偶函数，则是奇函数C．若函数是周期函数，则也是周期函数D．若函数是周期函数，则也是周期函数12．已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（）A．B．点是函数的图象的一个对称中心C．函数在上单调递增D．函数在上有3个零点三、填空题13．写出一个满足的奇函数______.14．已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________．15．函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则__________．16．设是定义在上的函数，且，在区间上，，其中.若，则的值是________.四、解答题17．已知定义在上的函数，满足：①；②任意的，，.（1）求的值；（2）判断并证明函数的奇偶性.18．已知函数满足对，都有，且．（1）求与的值；（2）写出一个符合题设条件的函数的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于的不等式．19．如果存在一个非零常数，使得对定义域中的任意的，总有成立，则称为周期函数且周期为.已知是定义在上的奇函数，且的图象关于直线（，为常数）对称，证明：是周期函数.20．已知函数．（1）若满足为R上奇函数且为R上偶函数，求的值；（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”，是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是．参考答案1．C【解析】解法一：因为是上的增函数，，是其图象上的两点，所以函数的草图如图所示.由图象得，，即.解法二：因为是上的增函数，，是其图象上的两点，所以当时，.又已知，即，所以，解得.故选：C2．A【解析】根据题意，函数在定义域上单调，且时均有，则为常数，设，则，则有，解可得，则，故；故选：A.3．B【解析】因为，所以又对任意满足，所以，解得，由为R上单调增函数可得，令，即恒成立，即，而，当且仅当，即时等号成立，所以，即，故选：B4．D【解析】因为满足，所以的图像关于x=1对称.又为定义在上的奇函数，所以，所以，所以为周期函数，且周期T=4.所以，而，所以.故选：D5．A【解析】任取，由已知得，即，所以函数单调递减．由可得，即，所以，即，即，又因为，所以，此时原不等式解集为．故选：A6．D【解析】因为是上的偶函数，所以，又的图象关于点对称，则，所以，则，得，即，所以是周期函数，且周期，由时，，则，，，则，则故选：D7．D【解析】奇函数的定义域为，若为偶函数，，且，则，则，则函数的周期是8，且函数关于对称，则（1），，则，故选．8．C【解析】因为当时，，且函数是定义在上的奇函数，所以时，，所以，作出函数图象：所以函数是上的单调递增，又因为不等式，所以，即，故选：C.9．CD【解析】由题设知：，故在上为奇函数且单调递减，又，即关于、，对称，且最小周期为4，A：，错误；B：等价于，由上易知：上递减，上递增，故不单调，错误；C：由上知：关于对称且，所以关于对称，正确；D：由题意，只需确定与在的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于对称，则，∴所有根的和为，正确.故选：CD10．ACD【解析】对于A选项，由已知条件可得，所以，函数是以为周期的周期函数，A选项正确；对于B选项，，，则，B选项错误；对于C选项，作出函数与函数的图象如下图所示：当时，，结合图象可知，.当时，，即函数与函数在上的图象无交点，由图可知，函数与函数的图象有个交点，C选项正确；对于D选项，当时，，则，所以，，D选项正确.故选：ACD.11．AC【解析】解：由导数的定义：选项A：，即是偶函数，故A正确；选项B：如不是奇函数，而为偶函数；故B错误，选项C：即也是周期函数，故C正确；选项D：如不是周期函数，但是周期函数；故D错误，故选：AC.12．AB【解析】在中，令，得，又函数是R上的奇函数，所以，，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确；作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确；函数在上有7个零点，故D不正确.故选：AB13．（答案不唯一）【解析】取，下面为证明过程：显然，其定义域为R；由，故为奇函数；又.故答案为：（答案不唯一）.14．1【解析】由题意，且，∴，即，∴是周期为4的函数.令，则，而时，∴，∴，即，而.故答案为：115．3【解析】，，又为奇函数，是周期为的周期函数，是定义在上的奇函数，，，.故答案为：3．16．【解析】因为，所以，，所以，解得，所以.故答案为：17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.【解析】（1）依题意，.（2）由（1）知，∴，即，∴，又因为的定义域为，所以函数为偶函数.18．（1），；（2）（答案不唯一）.【解析】（1）由，令，得，所以，令，得，因为，所以，令，得，（2）答案不唯一，例如：满足条件.由，得，解得：或，故解集为19．证明见解析【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，∵的图象关于直线（，为常数）对称，所以，∴.从而.∴是周期函数，且周期为.20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．【解析】（1）因为满足为R上奇函数，所以，所以，又因为满足为R上偶函数，所以，所以，所以有，所以，所以，所以，所以的一个周期为，所以，在中令，得，所以，在中令，得，所以，所以；（2）因为，所以因为，所