三角函数知识点归纳总结

三角函数知识点归纳总结三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.任意角角的概念可以推广为正角、负角、零角，根据旋转的方向不同。同时也可以根据终边的位置分为象限角和轴线角。对于一个角α，如果它的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它就是一个象限角，终边落在第几象限就称它为第几象限角。各象限角的集合分别为：第一象限角：α=k·360°+α，k∈Z，αk·360°<α<k·360°+90°第二象限角：α=k·360°+90°+α，k∈Z，αk·360°+90°<α<k·360°+180°第三象限角：α=k·360°+180°+α，k∈Z，αk·360°+180°<α<k·360°+270°第四象限角：α=k·360°+270°+α，k∈Z，αk·360°+270°<α<k·360°+360°终边在x轴上的角的集合为：α=k·180°，k∈Z终边在y轴上的角的集合为：α=k·180°+90°，k∈Z终边在坐标轴上的角的集合为：α=k·90°，k∈Z2.弧度制弧度制是另一种角度量方式，其中1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。弧度与角度可以相互换算，其中360°=2π弧度，180°=π弧度。对于一个半径为r的圆，它的圆心角α所对的弧长为l，则角α的弧度数的绝对值是α=l/r（弧度制），它的周长为C=2r+l，面积为S=lr=αr²。3.任意角的三角函数定义对于一个任意角α，它的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r=√(x²+y²)，则角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦。4.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过表格来得到，如下表所示：角度函数角a的弧度1°sin(a)cos(a)tan(a)30°1/2√3/2√3/3π/645°√2/2√2/21π/460°√3/21/2√3π/390°10无穷大π/2120°√3/2-1/2-√32π/3135°√2/2-√2/2-13π/4150°1/2-√3/2-√3/35π/6二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sinα＋cosα＝1；在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。(2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=cotα，sin²α+cos²α=1。2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cos_α，tan(α+2kπ)=tanα，其中k∈Z。公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cos_α，tan(π+α)=tanα。公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cos_α，tan(π－α)=－tanα。公式四：sin(－α)=－sin_α，cos(－α)=cos_α，tan(－α)=－tanα。公式五：sin(2π－α)=sinα，cos(2π－α)=－cos_α，tan(2π－α)=－tanα。公式六：sin(2π+α)=sinα，cos(2π+α)=－cos_α，tan(2π+α)=tanα。诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式。口诀：奇变偶不变，符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化。若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号。B.方法与要点一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限。四种方法：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα=sinα/cosα化成正、余弦。(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)²=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化。(3)巧用“1”的变换：1=sin²θ+cos²θ=sin(π/2-θ)+cos(π/2-θ)=tan(π/4-θ/2)/cot(π/4+θ/2)。(4)齐次式化切法：已知tanα=k，则sinα=k/√(1+k²)，cosα=1/√(1+k²)。三、三角函数的图像与性质（一）知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图像：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图像可以用五点法来作图。先取横坐标分别为π/2,π,3π/2,2π的五个点，然后用光滑的曲线把这五个点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图像。2、正弦函数y=sinx(x∈R)、余弦函数y=cosx(x∈R)的性质：（1）定义域：都是R。（2）值域：都是[-1,1]。对于y=sinx，当x=(2k+1)π/2(k∈Z)时，y取最大值1；当x=2kπ(k∈Z)时，y取最小值-1。对于y=cosx，当x=2kπ(k∈Z)时，y取最大值1，当x=(2k+1)π/2(k∈Z)时，y取最小值-1。（3）周期性：y=sinx，y=cosx的最小正周期都是2π。（4）奇偶性与对称性：正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是(2kπ,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ+π/2；余弦函数y=cosx是偶函数，对称中心是(kπ+π/2,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ(k∈Z)。正弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图像与x轴的交点。（5）单调性：y=sinx在[π/2+2kπ,π+2kπ](k∈Z)上单调递增，在[π+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上单调递减；y=cosx在[-π/2+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上单调递减。3、正切函数y=tanx(x∈R)的图像：正切函数y=tanx的图像可以用三点法来作图。先取横坐标分别为-π/2,0,π/2的三个点，然后用光滑的曲线把这三个点连接起来，就得到正切曲线在一个周期内的图像。4、正切函数y=tanx(x∈R)的性质：（1）定义域：x≠(2k+1)π/2(k∈Z)。（2）值域：(-∞,+∞)。（3）周期性：最小正周期是π。（4）奇偶性与对称性：正切函数y=tanx是奇函数，对称中心是(0,0)，对称轴是原点所在的直线。（5）单调性：在每个开区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)上单调递增或递减。（二）综合练习1、求正弦函数y=sinx的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间。答：定义域是R，值域是[-1,1]。最小正周期是2π。正弦函数是奇函数，对称中心是(2kπ,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ+π/2。在每个开区间(π/2+2kπ,π+2kπ)(k∈Z)上单调递增，在[π+2kπ,3π/2+2kπ](k∈Z)上单调递减。2、求余弦函数y=cosx的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间。答：定义域是R，值域是[-1,1]。最小正周期是2π。余弦函数是偶函数，对称中心是(kπ+π/2,0)(k∈Z)，对称轴是直线x=kπ(k∈Z)。在[-π/2+2kπ,2kπ](k∈Z)上单调递增，在[2kπ,π/2+2kπ](k∈Z)上单调递减。3、求正切函数y=tanx的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间。答：定义域是x≠(2k+1)π/2(k∈Z)，值域是(-∞,+∞)。最小正周期是π。正切函数是奇函数，对称中心是(0,0)，对称轴是原点所在的直线。在每个开区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)(k∈Z)上单调递增或递减。2/||。②若>0，则f(x)在0，T上单调递增，在T/2，0上单调递减；若<0，则f(x)在0，T上单调递减，在T/2，0上单调递增。（4）奇偶性和对称性：若为奇数倍的/2，则f(x)是奇函数；若为偶数倍的/2，则f(x)是偶函数。对称中心为(x,A)和(x+T/2,A)，对称轴为直线x=x+T/4。（5）最大值和最小值：最大值为A，最小值为A。（6）单调性：在一个周期内，当为奇数倍的/2时，f(x)在0，T/4上单调递增，在T/4，T/2上单调递减，在T/2，3T/4上单调递增，在3T/4，T上单调递减；当为偶数倍的/2时，f(x)在0，T/4上单调递减，在T/4，T/2上单调递增，在T/2，3T/4上单调递减，在3T/4，T上单调递增。2.函数周期和单调性对于函数$f(x)=A\text{tan}(\omegax+\phi)$，其最小正周期为$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$。对于函数$y=Asin(\omegax+\phi)$，其中$A>0$，$\omega>0$，其单调减区间为$2k\pi+\frac{\pi}{2\omega}\leq\omegax+\phi\leq2k\pi+\frac{3\pi}{2\omega}$，单调增区间为$2k\pi-\frac{\pi}{2\omega}\leq\omegax+\phi\leq2k\pi+\frac{\pi}{2\omega}$。在求单调区间时，需要注意$A$和$\omega$的符号，通过诱导公式将$\omega$化为正数。例如，对于函数$y=\text{sin}(-2x+\frac{\pi}{3})$，我们需要先将$\omega$化为正数，即$y=\text{sin}(2x-\frac{5\pi}{3})$。由此可得其单调减区间为$2k\pi+\frac{5\pi}{6}\leq2x\leq2k\pi+\frac{11\pi}{6}$，即$2k\pi+\frac{5\pi}{12}\leqx\leq2k\pi+\frac{11\pi}{12}$。函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的图像与y=sin(x)图像的关系如下：①将y=sin(x)图像向左（当ϕ>0）或向右（当ϕ<0）平移|ϕ|个单位得到y=sin(x+ϕ)的图像；②将y=sin(x+ϕ)图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1/ω，得到函数y=sin(ωx+ϕ)的图像；③将y=sin(ωx+ϕ)图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数y=Asin(ωx+ϕ)的图像；④将y=Asin(ωx+ϕ)图像向上（当b>0）或向下（当b<0）平移|b|个单位，得到y=Asin(ωx+ϕ)+b的图像。如果要得到函数y=sin(2x-π/3)的图像，只需将函数y=sin(2x)的图像向右平移π/6个单位。函数y=Acos(ωx+ϕ)和y=Atan(ωx+ϕ)的性质和图像的变换与y=Asin(ωx+ϕ)类似。需要特别注意的是，若由y=sin(ωx)得到y=sin(ωx+ϕ)的图像，则向左或向右平移应平移|ϕ|/π个单位。以下是一些三角恒等变换公式：⑴两角和与差的正弦、余弦和正切公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。⑵二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α。3、二弦归一：将两个三角函数的和或差化为一个三角函数。例如：asinθ+bcosθ=a+bsin(θ+φ)，其中tanφ=2/(1+cos2α)/(1-cos2α)，sinα=2b/(a^2+b^2)。4、运算化简：在三角函数的化简、求值和证明中，常常需要运用三角公式和技巧，灵活运用角的变换、函数名称变换、常数代换和幂的变换等方法。例如，常用的角的变换有：将角α变为2α、将角α变为π/2-α等。举例来说，如果tan(α+β)=1/3，tan(β-α)=2，则tan(α+β)=3/2。又如，已知cos(α+β)=1/2，cos(α-β)=-1/2，且π/2<α-β<π，0<α+β<2π，则cos2α=-7/25，cos2β=-1。另外，常数代换可以将常数转化为三角函数值，例如将1代换为sinα+cosα或tan45；幂的变换可以将次数较高的三角函数式降幂处理，常用的降幂公式有sin^2α=1/2(1-cos2α)等。有时需要升幂，常用升幂公式。例如，对于无理式1+cosα，常用升幂化为有理式。公式变形也是重要的技巧之一。三角公式是变换的依据，应该熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。例如，cosαcosβ-sinαsinβ的结果为cos(α+β)，sinαcosβ+cosαsinβ的结果为sin(α+β)，tanα+tanβ的结果为sin(α+β)/cosαcosβ，1-tanαtanβ的结果为cos(α+β)/cosαcosβ，tanα-tanβ的结果为sin(α-β)/cosαcosβ，1+tanαtanβ的结果为cos(α-β)/cosαcosβ，sinαcosα的结果为sin2α/2，2sinαco