第四章对数运算与对数函数知识点总结梳理 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2/22019新教材北师大版数学必修第一册第四章知识点清单目录第四章对数运算与对数函数§1对数的概念§2对数的运算§3对数函数§4指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较§5信息技术支持的函数研究2/2第四章对数运算与对数函数§1对数的概念§2对数的运算一、对数的相关概念1.对数的概念一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN=b.其中a叫作对数的底数，N叫作真数.2.常用对数与自然对数(1)当对数的底数a=10时，通常称之为常用对数，并将log10N简记为lgN；(2)以无理数e=2.718281…为底数的对数，称之为自然对数，并将logeN简记为lnN.3.对数的基本性质(1)零和负数无对数，即真数N>0；(2)1的对数等于零，即loga1=0(a>0，且a≠1)；(3)底数的对数等于1，即logaa=1(a>0，且a≠1)；(4)对数恒等式：aloga二、对数的运算性质1.若a>0，且a≠1，M>0，N>0，b∈R，则(1)loga(M·N)=logaM+logaN.2.推论：loga(N1·N2·…·Ni·…·Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNi+…+logaNk(Ni>0，i=1，2，…，k).(2)logaMN=logaM-loga(3)logaMb=blogaM.三、换底公式1.换底公式：logab=logcblogc2.推论：logbmNn=nmlogbN，logbN=1logNb四、对数恒等式与多重对数方程1.对数恒等式是利用对数的定义推导出来的，应用时要注意以下结构特点：(1)指数是对数形式；(2)幂的底数与作为指数的对数的底数相同；(3)指数式的值为对数的真数，且大于0.2.在求解多重对数方程时，要遵循由外向里的原则，层层去掉对数符号，在这一过程中要注意时刻把握指数式与对数式的互化.五、利用对数的运算性质化简、求值1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同，先使各项底数相同，再寻找真数间的联系.2.对于复杂的运算式，可先化简再计算.常用的化简方法：①“拆”——将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”——将同底对数的和(差)收成积(商)的对数.3.在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下要根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10或e为底数进行换底.4.方法指导（1）当对数的底数相同时，利用对数的运算性质将式子转化为只含一种或尽量少

的真数的形式，再进行计算.（2）当对数的底数不同时，可用换底公式换成同底数对数，为便于发现它们之间的联系，可将真数都化为质数再进行计算.六、对数运算性质的综合应用1.在对数式、指数式的互化运算中，要灵活运用定义和运算性质，尤其要注意条件和结论之间的关系.2.对于连等式，可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再利用换底公式将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.§3对数函数一、对数函数的概念1.对数函数的概念对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y=ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x=logay.习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成y=logax(a>0，且a≠1)，其中a称为底数.2.常用对数函数与自然对数函数我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y=lgx；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y=lnx.3.指数函数与对数函数的关系指数函数y=ax(a>0，且a≠1)是对数函数y=logax的反函数，对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数，即它们互为反函数.二、对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象和性质a>10<a<1图象  性质定义域：(0，+∞)值域：R过定点(1，0)，即当x=1时，y=0奇偶性：既不是奇函数，也不是偶函数当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时,y>0在定义域(0，+∞)上是增函数.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大在定义域(0，+∞)上是减函数.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大2.如图，直线y=1与四个对数函数的图象交点的横坐标即相应的底数，结合图象知0<c<d<1<a<b.由此我们可以得到下面的规律：在第一象限内，从左到右底数逐渐增大.三、对数函数的图象及应用1.对数型函数图象过定点问题求函数y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象所过的定点时，只需令f(x)=1，求出x，即得定点，其坐标为(x，m).2.函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象与函数y=log1ax(a>0，且a3.函数图象的变换规律(1)一般地，函数y=f(x+a)+b(a，b为实数)的图象可由函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再将所得图象沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.四、与对数函数有关的函数的单调性及应用1.求复合函数单调性的两个要点(1)单调区间是定义域的子集.(2)若a>1，则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；若0<a<1，则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.2.比较对数值大小常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性比较大小.(2)同真数的利用对数函数的图象比较大小，也可利用换底公式转化为同底数的，再进行比较.(3)底数和真数都不同的，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.3.对数不等式的常见类型及解题方法(1)形如logax>logab的不等式，借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数，即b=logaab，再借助函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性求解.(3)形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底数的对数进行求解，或利用函数图象求解.五、与对数函数有关的函数的值域与最值求与对数函数有关的值域或最值的常用方法1.直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的理解，结合解析式，直接得出函数的值域(最值).2.配方法：当所给的函数可化为一元二次函数形式时(形如y=m·[f(logax)]2+nf(logax)+c，a>0，且a≠1，m≠0)，可以用配方法求函数的值域(最值).3.单调性法：根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域(最值).4.换元法：求形如y=logaf(x)(a>0，且a≠1)的函数值域(最值)的步骤为(1)换元，令u=f(x)，利用函数图象和性质求出u的范围；(2)利用y=logau的单调性和图象求出y的取值范围.§4指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较§5信息技术支持的函数研究一、指数函数、幂函数、对数函数的增长趋势比较y=ax(a>1)y=xα(α>0，x>0)y=logax(a>1)图象 图象与α的值有关 在(0，+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长的速度先慢后快随着α值的不同而不同先快后慢图象的变化随着x的增大，图象上升的速度逐渐变快随着x值的不同而不同随着x的增大，图象上升的速度逐渐变慢二、几类常见函数模型增长差异的比较1.线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变.2.指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.4.幂函数模型y=xα(α