2022年中考数学考点：专题函数的应用（含答案）

专题50函数的应用

聚焦考点☆温习理解

1.函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用.

2.利用函数知识解应用题的一般步骤：

（1）设定实际问题中的变量；

（2）建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；

（3确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；

（4）利用函数的性质解决问题；

（5）写出答案.

3.利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、

生产方案的设计问题.

名师点睛☆典例分类

考点典例一、一次函数相关应用题

【例1】（2015.陕西省，第21题，7分）（本题满分7分）胡老师计划组织朋友暑假去革

命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，

且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示.，每人都按八五折收费；

乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人

按七五折收费。假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人。

（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y（元）与x（人）之间的

函数

关系式；

（2）若胡老师组团参加两日游的人数共有32人.，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社

中，

帮助胡老师选择收取总费用较少的一家。

【答案】（1）甲旅行社：y=64OxO.85x=544x.

乙旅行社：当xW20时，y=640x0.9x=576x.

当x>20时，y=640x0.9x20+640x0.75（x-20）=480x+1920.

（2）胡老师选择乙旅行社.

【解析】

试题分析：（1）首先根据优惠方案：甲总费用y=人均报价的0.85倍X人数；

乙总费用y=20个人九折的费用+超过的人数X报价X打折率，列出y关于x的函数关系式，

（2）根据人数计算出甲乙两家的费用再比较大小，哪家小就选择哪家.

试题解析：（D甲旅行社：y=640x0.85x=544x.

乙旅行社：当x420时,y=640x0.9x=576x.时，

当x>20；y=640x0.9x20+640x0.75（x-20）=480x+1920.

（2）甲旅行社：当x=32时y=544x32=17408.

乙旅行社：’.飞?》?。

.•.当K=32时y=480x32+1920=17280.

；17408X7280.

二胡老师选择乙旅行社.

考点：一次函数的应用、分类思想的应用.

【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用.解决本题的关键是根据题意正确列出两

种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论.

【举一反三】

（2015•黑龙江哈尔滨）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家到这条公路

的距离忽略不计）。一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆

公交车.，公交车沿这条路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条路跑

步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小明与家的距离s（单位：米）与他所用的时间t

（单位：分钟）之间的函数关系如图所示。已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200

米，从上车到他到达学校共用10分钟。下列说法：

①小明从家出发5分钟时乘上公交车②公交车的速度为400米/分钟

③小明下公交车后跑向学校的速度为.100米/分钟④小明上课没有有迟到。

其中正确的个数是（）

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个

【答案】D

【解析】

试题分析：根据x=7,y=1200;x=12,尸3200求出函数关系式为：y=400x-1600,当尸如0B寸，则x=5,则

小明从家出发5分钟乘上公交车；公交车的速度为(3200-400)4-(12-5)=400米/分钟；因为上车到他到达

学校共用1。分钟，则下车到学校用了3分钟的时间，所以他没有迟到；小明下公交车后跑向学校的速度为：

(3500-3200)4-(10-7)=100米/分钟；下车到

考点：一次函数的实际应用.

考点典例二、反比例函数相关应用题

［例2］某地计划用120〜180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运

送的土石方总量为360万立方米.

(1)写出运输公司完成任务所需的时间y(单位：天)与平均每天的工作量x(单位：万立方米)

之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；

(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方,米，工期比原计

划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？

【答案】(1)y=%(2WxW3)；(2)原计划每天运送2.5万米:实际每天运送3万

x

米二

【解析】

试题分析：(1)利用“每天的工作量X天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系;

(2)根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；

试题解析：(1)由题意得，y=-

X

把y=120代入y二码,得X=3

x

把y=180代入y二码,得x=2,

x

・••自变量的取值范围为：2WxW3,

360

•«y--------(2WxW3)；

x

(2)设原计划平均每天运送土石方x万米二则实际平均每天运送土石方(x+0.5)万米:

根据题意得：

360360〜

xx+0.5

解得：x=2.5或x=-3

经检验x=2.5或x=-3均为原方程的根，但x=-3不符合题意，故舍去，

答：原计划每天运送2.5万米,，实际每天运送3万米

考点：反比例函数的应用；分式方程的应用.

【点睛】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函

数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法

求出它们的关系式.

【举一反三】

甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“满200减100”的促销方式，即购买商品的总

金额满20。元但不足400元，少付100元；满400元但不足600元，少付200元；...乙

商场按顾客购买商品的总金额打6折促销.

(1)若顾客在甲商场购买了510元的商.品，付款时应付多少元钱？

(2)若顾客在甲商场购买商品的总金额为x(400Wx<600)元，优惠后得到商家的优惠率

优惠金额

为P),写出p与x之间的函数关系式，并说明p随x的变化情

购买商品的总金额

况；

(3)品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是x(200Wx<400)

元，你认为选择哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由.

【答案】(1)顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元.(2)p与x之间的

函数关系式为p=期，P随x的增大而减小；(3)250Vx<400,乙商场花钱较少，200W

x

XV250,甲商场花钱较少，x=250,两家商场花钱一样多.

【解析】

试题分析：(1)根据题意直接列出算式510-200即可；

(2)根据商家的优惠率即可列出p与x之间的函数关系式，并能得出p随x的变化情况；

(3)先设购买商品的总金额为x元，(200Wx<400),得出甲商场需花xTOO元，乙商场

需花0.6x元.，然后分三种情况列出不等式和方程即可.

试题解析：3)根据题意得：

510-200-310(元)

答：顾客在甲商场购买了510元的商品，付款时应付310元.

(2)p与x之间的函数关系式为p=迎，p随x的增大而减小；

X

(3)设购买商品的总金额为x元，(200<X<400),

则甲商场需花x-100元，乙商场需花0.6x元，

由x-100>0.6x,得：250Vx<400,乙商场花钱较少，

由x-10(X0.6x,得：2。0«250,甲商场花钱校少，

由x-100=0.6x,得：x=250,两家商场花钱一样多.

考点：反比例函数的应用.

【点睛】此题考查了反比例函数的应用，用到的知识点是反比例函数的性质，一元一次不等

式等，关键是根据题意求出函数的解析式.

考点典例三、二次函数相关应用题

【例3】(2015.山东青岛第22题，10分)(本小题满分10分)

如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角

坐标系，抛物线可以用'=-,炉+版+。表示，且抛物线上的点C到0B的水平.距离为3m,

6

17

到地面0A的距离为一m。

2

(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m,宽为4m,如果隧道内设双向车道，那么这

辆货车能否安全通过？

(3)在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度

不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？

（第22题）

【答案】y=--x2+2x+4,拱顶D到地面0A的距离为10米：可以通过；

6

【解析】

试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数

解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面0A的交点

为（2,0）（或（10,0））,然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6

大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小

值.

试题解析：⑴、由题知点3（（U）C（3,=）在抛物线上

c=4

所以4171c>，解得“%=2

>所以+2x+4

—=一一X9+3B+Cc=46

126

所以，当x=-§=6时，1y最大=10

答：y=X?+2x+4,拱顶D到地面0A的距离为10米

⑵、由题知车最外侧与地面0A的交点为（2,0）（或（10,0））

当x=2®沃=10）时，y==>6,所以可以通过

3

⑶、令y=8,即一L/+2X+4=8,可得x：-12x+24=0,解得再=6+2括,巧=6-2、回

6

演-巧=4指答：两排灯的水平距离最小是4、回

考点：二次函数的实际应用.

【点睛】根据图形特点，建立恰当的平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题.建立平

面直角坐标系时，要尽量将图形放置于特殊位置，这样便于解题.

【举一反三】

(2015.安徽省，第22题，12分)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)

为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块

矩形区域的面积相等.设园的长度为如，矩形区域465的面积为加2.

(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值,范围；

(2)x为何值.时，y有最大值？最大值是多少？

3,

【答案】(1)y=--f+30x(0<x<40)；(2)当x=20时，y有最大值，最大值是300.

4

平方米.

【解析

13

试题分析：(1)设AE=a,由AE•AD=2BE•BC,AD=BC可得BE=-a,AB=-a；根据周长为

22

80米得方程2x+3a+2♦—a=80,解得a=20——x.由y=AB,BC代入即可求y与x之间的函数

22

关系式；根据题意0<BC+EF<80,所以x的取值范围为0<x<40；(2)把y与x之间的

函数关系式化为顶点式，利用二次函数的性质即可求解.

试题解析：解：（1）设AE=a,由题意可得，AE•AD=2BE-BC,AD=BC,

[3

・・BE=-a,AB=­a.

22

由题意，得2x-3a-21ia=SO,

..a=20-x

331

.'.y=AB-BC=—ax=—(20——x)x,

222

gpv=--x^+30x(0<x<40)

4

3?2322

(2)•/y=-^x+30x=-^-(x-20)+3003

...当x=20时，y有最大值，最大值是300平方米.

考点：二次函数的应用及性质.

课时作业☆能力提升

1.（2015.山东临沂第10题，3分）已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到

乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度.v（单位：千米/小时）的函数关系

式是（）

（A）f=20v..（B）f=4.（C）/=4.（D）

v20v

【答案】B

【解析】

试题分析：根据行程问题的公式路程=速度X时间，可知汽车行驶的时间t关于行驶速度v

20

的函数关系式为t=—.

v

考点：函数关系式

5.（2015.山东莱芜第12题，3分）在一次自行车越野赛中，甲乙两名选手行驶的路程y（千

米）随时间x（分）变化的图象（全程）如图，根据图象判定下列结论不氐碰的是（）

（第12题图）

A.甲先到达终点

B.前30分钟，甲在乙的前面

C.第48分钟时，两人第一次相遇

D.这次比赛的全程是28千米

【答案】D

【解析】

试题分析：根据函数的图像，找到相关信息，然后可判断.

A、由横坐标看，甲用时86分，乙用时96分，甲先到达终点，说法正确；

B、由横坐标看，在30分钟以前，说明用相同的时间，甲走的路程多于乙的路程，那么甲在

乙的前面，说法正确；

120

C、由图象上两点（30,10）,（66,14）可得线段AB的解析式为y=-x+—，那么由图象

93

可得路程为12时，出现交点，当y=12时，x=48,说法正确；

D、乙是匀速运动，速度为：12+48=',那么全程为1x96=24千米，说法错误.

44

故选D

考点：函数的图像的应用

3.（2015•湖北鄂州，9题，3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过

程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图

所示.则下列结论：①A,B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1

小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=，或”.其

44

中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

y(km)

45t(h)

【答案】C.

【解析】

试题分析：由图象可知，A,B两城相距300千米，判断①正确；乙车比甲车晚出发1小时,

却早到1小时，判断②正确,；先求出每段函数的解析式，再求出交点坐标即可判断③正确

与否；列方程求解即可

试题解析：由图象可知，A,B两城相距300千米，判断①正确；

乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，判断②正确；

设甲的解析式为丫=1＜途，把(5,300)代入，求得：k.=60,所以y=60x；

设乙的解析式为：y=kzx+b,

把(1,0)(4,300)代入产kzx+b,可求得：k2=100,b=-100,故y=100*-100,

由此知乙车出发后1.5小时追上甲车；故③错误；

分两种情况：i)当乙在甲后时，设t小时后，两车相距50千米得:

60t-100(t-l)=50

解得：t--；

4

i)当乙在甲前时，设t小时后，两车相距50千米得：

100(t-l)-60t=50

解得：t=—;故④正确

正确的结论有3个

故选C.

考点：函数的图象.

4.(2015.山东潍坊，第11题，3分)如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的的

三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无，盖的直三棱柱

纸盒，则该纸盒侧面积的最大值,是()

,A2s2c962c27A/3,

A.弋3cm~B.----cm"C.----crrrD.------cm"

222

【答案】C

【解析】

试题分析：设盒子高为Xcm,恻面积为Jcm：,根据条件可得：筝形的长边为Kxcm,盒子的底边长为

（6-2^x）5,侧面积：3x（6-273X）cm:,所以｝=3式6-2#力M-SV+lSx,所以当

18-_-182_96..八

、二一司=彳时'用大=不方=亏'故1选±：°

考点：1.等边三角形的性质；2.二次函数的应用.

5.（2015.山东青岛第11题，3分）把一个长、宽、高分别为3cm、2cm、1cm的长方体铜块

铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（。/）与高/7（,加）之间的函数关系是为

【答案】S=-

h

【解析】

试题分析：根据题意可得长方体的体积与圆柱体的体积相等，则圆柱体的体积=长方体的体

积=3X2X1=6立方厘米，即Sh=6,则$=2

h

考点：反比例函数的应用

6.（2015•湖北孝感）某市为提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月用水不超过20m:

每立方米收费2元；若用水超过20nA超过部分每立方米加收1元.小明家5月份交水费

64元，则他家该月用水☆nA【答案】28

【解析】

试题分析：64>40可以判定小明家用水超过20,可以设用水位x,则40+3（x-20）=64,解

得x=28,

考点：分段函数.

7.（2015•黑龙江绥化）现有甲、乙两个容器，分别装有进水管和出水管，两容器的进出

水速度不变，先打开乙容器.的进水管，2分钟时再打开甲容器的进水管，又过2分钟关闭

甲容器的进水管，再过4分钟同时打开甲容器的进、出水管.直到12分钟时，同时关闭两容

器的进出水管,打开和关闭水管的时间忽略不计。容器中的水量y（升）与乙容器注水时间

x（分）之间的关系如图所示：

（1）求甲容器的进、出水速度.

（2）甲容器进、出水管都关闭后，是否存在两容器的水量相等。若存在，求出此时的时

间.

（3）若使两容器第12分钟时水量相等，则乙容器6分钟后进水速度应变为多少？

.【答案】（1）5（升/分），3（升/分）；（2）存在，8分钟；（3）°升/分.

3

【解析】

试题分析：（1）根据点（3,10）可求出甲的进水速度是5（升/分），再结合点（8,10）可

求出甲的出水速度；（2）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法可求出乙的函数解析式,

令y=0求出x的值即可；（3）先求出乙6分钟时的水量，然后根据后6分钟的水量除以时

间计算即可.

试题解析：解：（1）甲的进水速度：—=5（升/分），.....1分

4-2

1Q_Q

甲的出水速度：5-旦，=3（升/分）；.....1分

12-6

（2）存在,

由图可知，甲容器在第3分钟时水量为：5X(3-2)=5升，所以A(3,5).....1分

设分=履+优左工0),根据题意得：3k+b=5解得：＜[k=\,

0=2[0=2

所以y乙=x+2,当y乙=1()时，x=8,

所以乙容器进水管打开6分钟时两容器的水量相等.....2分；

(1)当x=6时，y乙=8,所以(18-8)+(12-6)=g升/分，

所以乙容器6分钟后进水速度应变为3升/分.......3分

3

考点：函数图象的应用.

8.(2015.山东威海，第21题)为绿化校园，某校计划购进A、B两种树苗，共21课.已知A

种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元.设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元.

(1)y与x的函数关系式为：；

(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方

案所需费用.

【答案】y=-20x+1890；购买B.种树苗10棵，A种树，苗11棵，所需费用为1690元.

【解析】

试题分析：(D根据购买两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；

(2)根据购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据(1〉得出

的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的熠减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案.

试题解析：＜1)7=90(21-x)+70x=-20x+1890,

故答案为：y=-20x+1890.

(2)•••购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量,

.*.x＜21-x,

解得：XV10.5

又X21,

•,.X的取值范围为：IWxWlO,且X为整数，

Vy=-20x+1890,k=-20<0,

；.y随x的增大而减小，

...当x=10时，y有最小值,最小值为：-20X10+.1890=1690,

使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗H棵，所需费用为1690元.

考点：一次函数的应用

9..（2015•湖北衡阳，25题，分）（本小题满分8分）

某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验.测得

成人服药后血液中药物深度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示

（当44x410时，y与x成反比）.

（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；

（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？

（1）血液中药物浓度上升时y=2x（04x44）；血液中药物浓度下降时，

32，

y=—（4<x<10）.

（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升持续时间为6小时.

【解析】

试题分析：（D根据图象利用待定系数法，抓住关键点（4$）分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与

x之间的函数关系式j

（2）可以令）7也可以根据题意列不等式，现血液中药物浓度不低于4微克毫升即：y>4,解不等式组

即可

试题解析：解：（1）由图象可知，当04xW4时，y与x成正比例关系，设丫=履.

由图象可知，当x=4时，y=8,...4/=8,解得：k=2；

y=2x（0<x<4）

又由题意可知：当44x410时，y与x成反比，设丫='.

X

由图象可知，当x=4时，y=8,“2=4x8=32；

32

•*-y=—（4<x<10）

BP：血液中药物浓度上升时y=2x（0KxK4）；血液中药物浓度下降下

32,、

y=—（4<x<10）.

（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：y>4

,2x24且%24,解得丘2且X48;

X

即持续时间为6小时.

考点：待定系数法；一次函数与反比例函数的综合应用；不等式

10.某种上屏每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax、bx-75.其

图象如图.

（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？

【答案】（1）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）

销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.

【解析】

试题分析：（1）由已知，应用待定系数法，可得二次函数解析式，根据二次函数顶点坐标

的性质，可得答案.

（2）根据函数值大于或等于16,可得不等式的解集，可得答案.

试题解析：解：（1）y=ax'+bx-75图象过点（5,0）（7,16）,

...[25a+5b-75=0,（a=-l

[49a+7b-75-16（b=20

；.y与x之间的函数关系为y=-x2+20x-75.

•/y=-x2+20x-75=-（x-10）2+25

.,.当x=10时，y城大=25,

答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.

（2）函数y=f2+20x-75图象的对称轴为直线x=10,

.•.点（7,16.）关于对称轴的对称点是（13,16）.

又•.•函数y=-x，20x-75图象开口向下，

.•.当7WxW13时,y216.

答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.

考点：1.二次函数的应用：2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.待定系数法的应用；4.二

次函数的性质；5.数形结合思想的应用.

11.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，

且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量

y（千克）与销售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式.当销售价为多

少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

产（千克）

40.....K

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