第二章-行列式克拉默法则剖析课件

Cramer法则n

阶行列式的定义、性质及计算方法克拉默（Cramer）法则第二章行列式用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式第一节二阶和三阶行列式其系数矩阵是一个二阶方阵。用消元法求解线性方程组上式中的系数称为由二阶方阵A

所确定的二阶行列式.方程组的解为由方程组的四个系数确定.记为:矩阵还记作,即主对角线副对角线对角线法则二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式则二元线性方程组的解为注意

分母都为原方程组的系数行列式.例1解求解二元线性方程组二、三阶行列式记上式称为数表所确定的三阶行列式.定义1三阶行列式的计算.列标行标对角线法则对角线法则注意

红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明

对角线法则只适用于二阶与三阶行列式;三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行、不同列的三个元素的乘积,其中三项为正、三项为负.例２

解按对角线法则，有例3解方程左端如果三元线性方程组的系数行列式利用三阶行列式求解三元线性方程组若记或记即得得则三元线性方程组的解为:例4

解线性方程组解由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为:引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有一、概念的引入第二节排列问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理二、全排列及其逆序数

在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义

我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序定义

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，

32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1

求排列45321的逆序数.解在排列45321中,4排在首位,逆序数为0;5是最大数，故逆序数为0;45321于是排列45321的逆序数为3的前面比3大的数有两个:4,

5,故逆序数为2;2的前面比2大的数有三个:4,

5,

3,故逆序数为3;1的前面比1大的数有4个:4,5,3,2,故逆序数为4.例2

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.解当时为偶排列；当时为奇排列.解当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列.三、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如四、对换与排列的奇偶性的关系定理1

一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明

由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.一、n

阶行列式的定义三阶行列式说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．第三节n阶行列式的定义和性质（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列定义1说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为例1

证明对角行列式证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕例2

计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项不为零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不为零的项为例3

计算上三角行列式分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解例4同理可得下三角行列式阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.证明按行列式定义有定理1记对于D中任意一项总有且仅有中的某一项与之对应并相等;反之,对于中任意一项也总有且仅有D中的某一项与之对应并相等,于是D与中的项可以一一对应并相等,从而注：

更一般地，行列式也可定义为其中为行排列的逆序数，为列标排列的逆序数.二、行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.行列式称为行列式的转置行列式.记证明按定义又因为行列式D可表示为故证毕性质2

互换行列式的两行（列）,行列式变号.证明设行列式说明

行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式变换两行得到的,例如故证毕性质3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论1

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．推论2

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质4

若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如性质5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例如例5

计算解：计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．例6

计算阶行列式解将第都加到第一列得例7证明证明例如一、余子式与代数余子式第四节行列式的展开与计算在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如定义1引理

一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如证当位于第一行第一列时,即有又从而再证一般情形,此时得得中的余子式故得于是有行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即证明行列式按行(列)展开法则定理1推论

行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证同理相同关于代数余子式的重要性质例2

设求及.解

按(1)式可知等于用代替D的第一行的所用行列式，即按(2)式可知例３计算行列式解按第一行展开，得例４计算行列式解例1二、行列式的计算

证明用数学归纳法例2证明范德蒙德(Vandermonde)行列式

n-1阶范德蒙德行列式一、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即定理1第五节克拉默法则其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为证明在把个方程依次相加，得由代数余子式的性质可知,于是当时,方程组有唯一的一个解由于方程组与方程组等价,故也是方程组的解.二、重要定理

如果线性方程组系数行列式不等于零

则一定有解,且解是唯一的.

如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.定理1其逆否命题为定理1'齐次线性方程组的相关定理

如果齐次线性方程组的系数行列式