优化设计概述课件

第一章最优化问题的数学模型第一章优化设计概述1.1绪论1.2机械优化设计的设计简例1.3优化设计问题数学模型1.4优化设计问题的图解法求解1.5优化设计问题的下降迭代法1.6机械优化设计主要步骤1.1绪论优化优化是万物演化的自然选择和必然趋势，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计。在电子计算机问世以后，许多优化理论和方法得以应用于实际，因此，优化技术成为一项与计算机密不可分的先进技术。2023/7/281.1绪论2.优化过程寻找约束空间下给定函数取极大值点或极小值点的过程。优化方法也称数学规划，是用科学方法和手段进行决策及确定最优解的数学。例如,在右图中，求得一维函数f(x)

最小值的条件为：若ｘ取x*，则f(x)

取得最小值f(x*)。2.优化过程目的是为了在完成某一任务时所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。例如，要求设计一个如右下图所示的防洪堤坝。为了能防洪水，高度必须足以保证洪峰到来时，洪水不会漫入堤岸；堤坝的强度足以保证巨浪不会冲垮堤坝。同时希望得到一个省时省力省经费的设计方案。2.优化过程

获得设计方案的过程是一个决策的过程，也是优化的过程。

优化过程就是求解一个付出最小、获得效益最大的方案。优化设计：根据给定的设计要求和现有的技术条件，应用专业理论和优化方法，在电子计算机上从满足给定的设计要求的许多可行方案中，按照给定的目标自动地选出最优的设计方案。3.机械优化设计机械优化设计：即把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。2023/7/28质量更轻的舱门支撑臂示例

概念设计和详细设计共两个阶段

优化设计的最终结果减重达到了20%，设计周期从原来的三个月缩短到现在的三个星期。

3.机械优化设计传统设计方法

基于手工劳动或简易计算工具。方法低效，一般只能获得一个可行的设计方案。传统机械设计理论与方法包括疲劳寿命理论、强度理论、振动理论……

常凭经验、试算、校核等方法。现代优化方法

基于计算机的应用，设计过程包括：①从实际问题中抽象出数学模型；②选择合适的优化方法求解数学模型。特点：以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的”的可行方案中找出“最优的”的设计方案。2023/7/28设计一个体积为5m3的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m。要求使薄板耗材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a，宽b和高h。传统设计方法:首先固定包装箱一边的长度如。要满足包装箱体积为的设计要求，则有以下多种设计方案:2023/7/28在优化设计中，该问题可以用数学的方法描述为：在满足包装箱的体积，长度，的限制条件下，确定参数a,b和h的值，使得包装箱的表面积达到最小。根据这样的描述，可以建立一个优化的数学模型，然后选择适当的优化方法和计算程序，在计算机进行数值迭代、求解，最后得到这个数学模型的结果是机械优化设计方法:从传统设计到优化设计人工试凑和定性分析的比较过程，被动的重复分析产品的性能——经验设计、近似计算、一般的安全寿命可行设计。设计问题数学模型优化途径，优选设计参数设计方案方案分析最优？否是最优的设计方案图2:优化设计过程框图利用电子计算机主动的设计产品参数，获得最优方案——理论设计、精确计算、优化设计2023/7/28优化设计与传统设计相比，具有如下三个特点：

(1)设计的思想是最优设计；(2)设计的方法是优化方法；(3)设计的手段是计算机。传统设计可行解优化设计最优解4.优化方法实际问题表达成的函数类型很多：

确定型、不确定型函数；

线形、非线形（二次、高次、超越）函数。

变量类型也很多：

连续、离散、随机变量等等。

产生很多的优化算法：

无约束优化、约束优化：

单目标函数优化、多目标函数优化；

连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。1、古典优化思想:17世纪，利用微分学和变分学的解析解法。——仅能解决简单的极值问题2、经典优化方法：20世纪40年代，数学规划方法——可求解包含等式约束和不等式约束的复杂优化问题。3、现代优化设计：

20世纪80年代出现许多现代优化算法：模拟退火算法、遗传算法、人工神经网络算法、蚁群优化算法等。并从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设计（面向产品的全系统、设计全过程、全寿命周期）。例如,针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化。线性规划、非线性规划、几何规划、动态规划和混合离散规划等。优化设计从无约束→有约束优化问题；连续变量→离散变量；确定型→随机型模型；单目标优化→多目标优化。5.机械优化设计的发展概况5.机械优化设计的发展概况第一阶段人类智能优化：与人类史同步，直接凭借人类的直觉或逻辑思维，如黄金分割法、穷举法和瞎子爬山法等。第二阶段数学规划方法优化：从三百多年前牛顿发明微积分算起，电子计算机的出现推动数学规划方法在近五十年来得到迅速发展。第三阶段工程优化：近二十余年来，计算机技术的发展给解决复杂工程优化问题提供了新的可能，非数学领域专家开发了一些工程优化方法，能解决不少传统数学规划方法不能胜任的工程优化问题。在处理多目标工程优化问题中，基于经验和直觉的方法得到了更多的应用。优化过程和方法学研究，尤其是建模策略研究引起重视，开辟了提高工程优化效率的新的途径。第四阶段现代优化方法：如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法、神经网络算法等，并采用专家系统技术实现寻优策略的自动选择和优化过程的自动控制，智能寻优策略迅速发展。

1）建立确切反映问题实质并适合于优化计算的优化设计数学模型；

2）选择恰当的优化方法，编写计算机语言程序；

3）求得数学模型的最优解。

机械优化设计是使某项机械设计在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值。工程设计上的“最优值”(Optimum)或“最佳值”系指在满足多种设计目标和约束条件下所获得的最令人满意和最适宜的值。6.优化设计的一般过程2023/7/281.2机械优化设计的设计简例优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。2023/7/28建立相应的优化设计问题的数学模型1.分析优化对象2.对结构参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量3.根据设计要求确定并构建目标函数和相应的约束条件，有时要构建多目标函数4.必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。2023/7/281.2机械优化设计的设计简例

用一块边长为3cm的正方形薄板，在四角各裁去一个大小相同的方块，做成一个无盖箱子。试确定如何裁剪可以做成的箱子具有最大的容积。无盖箱的优化设计分析：（1）目标：裁剪高，箱子具有最大的容积。（2）设计参数确定：裁剪小正方形的边长x；（3）设计约束条件：体积要求

设计目标：1.2机械优化设计的设计简例

现用薄板制造一体积为100m3，长度不小于5m的无上盖的立方体货箱，要求该货箱的钢板耗费量最少，试确定货箱的长、宽、高尺寸。分析：（1）目标：用料最少，即货箱的表面积最小。（2）设计参数确定：长x1

、宽x2、高x3；（3）设计约束条件：

（a）体积要求

（b）长度要求货箱的优化设计2023/7/28设计变量：目标函数：约束条件：1.2机械优化设计的设计简例2023/7/28直齿圆柱齿轮副的优化设计已知：传动比i，转速n，传动功率P，大小齿轮的材料，设

计该齿轮副，使其重量最轻。（1）目标：圆柱齿轮的体积V或重量w最小；（2）设计参数确定：模数m、齿宽b、齿数z1（3）设计约束条件：

（a）大、小齿轮满足弯曲强度要求；

（b）齿轮副满足接触疲劳强度要求；

（c）齿宽系数要求；

（d）最小齿数要求分析：2023/7/28设计变量：目标函数：约束条件：2023/7/28工作量的优化设计已知：某工程生产甲、乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、用

电量和可以获得的利益，以及每天能能够提供的材料、工时、用电

量见下表，试确定该厂两种产品每天的生产计划，以使得每天获

得利润最大。（1）目标：每天得利润最大；（2）设计参数确定：甲产品x1和乙产品x2每天的生产计划。（3）设计约束条件：每天能能够提供的材料、工时、用电量不超过公司提供的量。分析：产品材料/kg工时/h用电量/kW●h利润/元甲93460乙4105120供应量3603002002023/7/28设计变量：目标函数：约束条件：

一种只承受纯扭矩的空心传动轴，已知需传递的转矩为T，见下图所示，试设计确定此传动轴的尺寸，以使其用料最省。分析：（1）目标：用料最少。（2）设计参数确定：轴的外径D，内径d；（3）设计约束条件：

（a）强度要求

（b）刚度要求空心传动轴的优化设计2023/7/28设计变量：目标函数：约束条件：1.2机械优化设计的设计简例优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。1.3优化设计问题数学模型优化设计数学模型的三大要素：

设计变量

目标函数

约束条件一、设计变量与设计空间

一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件几何量（如尺寸、位置等），也可以是物理量（如质量、频率等），还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量以及非物理量（如寿命、成本等）。

在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。在优化设计过程中设计变量是不断修改、调整，一直处于变化状态。1、设计变量设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。

由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。X（a）二维设计问题

（b）三维设计问题图1-5设计变量所组成的设计空间只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-5（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-5（b）所表示的空间直角坐标表示。如何确定设计变量？

任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：1.抓主要，舍次要；2.注意连续变量与离散变量之分；3.变量的独立性；4.不要漏掉必要的设计变量；5.设计变量越多，优化问题越复杂。352.设计点与设计空间Rnⅰ)设计点与设计向量—每组设计变量值对应于以n个设计变量为坐标轴的n维空间上的一个点，该点称设计点。原点到该点的向量称设计向量。*设计点有连续与不连续之分；可用一个列向量表示：

ⅱ)设计空间—设计点的集合（n维实欧氏空间）。当设计点连续时,R1为直线;R2为平面;R3为立体空间;Rn为超越空间.欧氏空间:由于工程设计中的设计变量都是实数，所以称这种设计空间为欧氏空间二、约束条件与可行域36（1）按约束的数学形式分不等式约束等式约束(2)按约束的作用分边界约束---对某个设计变量直接给出取值范围性能约束---由需满足的某种性能条件而导出的约束(如强度条件、刚度条件、曲柄存在条件等）。

设计空间是所有设计方案的集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受的。如一个设计满足所有对它提出的要求，就称为可行设计。

一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。图1-6设计空间中的约束面（或约束线）(a)二变量设计空间中的约束线(b)三变量设计空间中的约束面可行域：凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围。（对应不可行域）

如右图所示满足两项约束条件的二维设计问题的可行域D为ABC涵盖区域，包括线段AC和圆弧ABC在内。约束条件：图1-7约束条件规定的可行域D39第1章优化设计概述在建立约束函数应注意以下问题:1.不能有矛盾的约束；2.避免等价约束(多余约束),使模型变坏,难以求解；3.不能遗漏必要的约束,防止最优解无实用价值,甚至出现荒唐的结果；4.尽可能提出边界约束；5.谨慎对待等式约束。

等式约束极大的缩小可行域,增加求解难度.可以通过引进裕度参数ε,使等式约束h(X)=0放宽为h(X)-ε≥0及h(X)+ε≥0两个不等式约束。3.目标函数与等值线

为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数。用它可以评价设计方案的好坏，所以它又被称作评价函数。记作：

在优化过程中，通过设计变量的不断想f(x)值改善的方向自动调整，最后求得的f(x)最好或最满意的x值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量。

在机械设计中，可作为参考目标函数的有：最小体积，最轻重量，最高效率，最大承载能力，最小振幅或噪声，最小成本，最高利润等等。通常

在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。

在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。目前处理多目标设计问题常用的方法是组合成一个复合的目标函数，如采用线性加权的形式，即42目标函数的几何表示1个设计变量的目标函数：二维平面的设计曲线。2个设计变量的目标函数：三维空间中的曲面。n个设计变量的目标函数：n+1维空间的超曲面。43目标函数的等值线或等值面定义：连接具有相等目标函数值的点所形成的线或面。含有2个设计变量的等值线：含有3个设计变量的设计问题，等值“线”是一个面；含有n个设计变量的设计问题，等值“线”是一个等值超越曲面。

如上图表示目标函数f(x)与两个设计变量x1和x2所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图形形象地表现出目标函数的变化规律。函数的等值线图。从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化情况。其中f=40的等值线就是使各点所组成的连线。等值线等值线的“心”（以二维为例）一个“心”：是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极值点在无穷远处。多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值，才能确定极（小）值点。等值（线）面：47等值线和等值面的用途等值线聚集成一点的地方，就是目标函数取极值的地方；对于二维问题而言，在目标函数取极值的附近，等值线群一般是一组大小不等的同心椭圆。椭圆族的中心，就是目标函数取极值的地方；当相邻等值线所代表的目标函数值的差为常数时，等值线稀疏的地方，目标函数值变化慢；等值线密集的地方，目标函数值变化快。优化，就是从空间某一点开始，按照某种方法，寻找“椭圆”的中心。4.优化问题的数学模型

优化设计的数学模型是对优化设计问题的数学抽象。优化设计问题的一般数学表达式为：数学模型的分类：(1)按数学模型中设计变量和参数的性质分：确定型模型随机型模型设计变量和参数取值确定设计变量和参数取值随机(2)按目标函数和约束函数的性质分：a.目标函数和约束函数都是设计变量的线形函数称为线性规划问题，其数学模型一般为：b.若目标函数是设计变量的二次函数、约束是线性函数，则为二次规划问题。其一般表达式为：建立优化设计问题的数学模型的一般步骤根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析；对设计问题各参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量；根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数；必要时对数学模型进行规范化，以消除各组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。优化设计数学模型的分类（1）按有无约束条件分：无约束优化问题约束优化问题（2）按约束条件和目标函数是否同时为线性分：线性规划问题非线性规划问题（居多）（3）按问题规模的大小分：大型：设计变量和约束条件的个数在50以上中型：设计变量和约束条件的个数在10~50

小型：设计变量和约束条件的个数在10个以下对于最优化问题一般可作如下分类：还有其它的一些划分方法：如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量规划问题:二次规划、几何规划、随机规划等。目标函数等值线是以点(2,0)为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：约束方程所围成的可行域是D。例1：如下二维非线性规划问题例2：解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得到：该切点为对应的最优值为不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；等值面稠的地方，目标函数值变化的较快，而稀疏的地方变化的比较慢；一般地，在极值点附近，等值面（线）近似呈现为同心椭圆球面族（椭圆族）。等值面具有以下性质：1.4优化设计问题的图解法求解图解法的步骤：1）确定设计空间；2）画出有约束边界围成的约束可行域；3）做出1-2条目标函数等值线，并判断目标函数的下

降方向；4）判断并确定最优点。例

确定职工编制问题

某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准是：速度25件/小时，正确率98％，计时工资4元/小时；二级检验员的标准是：速度15件/小时，正确率95％，计时工资3元/小时。检验员每错验一次，工厂要损失2元。现可供厂方聘请的检验员人数为一级8人和二级10人。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级和二级检验员各多少名？分析：设应聘一级检验员x1

，二级检验员x2

约束一：可聘两级检验员人数

x18

x210

约束二：每日产量要求

8(25)x1+8(15)x218005x1+3x2

45

目标函数

一级检验员每小时费用4＋25(0.02)(2)=5元/小时二级检验员每小时费用3＋15(0.05)(2)=4.5元/小时

f(x)=8(5x1+4.5x2)=40x1+36x2

minf(x)=40x1+36x2s.t.5x1+3x245x1≤8x2≤10

x1,x2≥0

数学模型隐含的约束条件ABCD

P19例：

maxf(x)=4x1+3x2s.t.3x1+4x2≤12

3x1+3x2≤10

4x1+2x2≤8x1,x2≥00x1x2343x1+4x2=123x1+3x2=104x1+2x2=8f=7f=52/5最优点(x1*=4/5,x2*=12/5)f*=52/5求解二维问题X2X1f123s.t.例1-5求下列问题最优解最优解：

X*=[4.82.4]T

由示例可知，对二维最优化问题，可采用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。在三维和三维以上空间中，使目标函数取同一常数值称为目标函数的等值面。不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；等值面稠的地方，目标函数值变化的较快，而稀疏的地方变化的比较慢；一般地，在极值点附近，等值面（线）近似呈现为同心椭圆球面族（椭圆族）。等值面具有以下性质：1.5优化设计问题的下降迭代法为了适应电子计算机的工作特点，要求最优化方法具有下列性质：数值计算，而不是解析方法；

具有简单的逻辑结构，并能进行反复的运算过程；