结构可靠性设计基础结构构件可靠的计算方法课件

第四章结构构件可靠度计算方法4.2改进的一次二阶矩法4.1均值一次二阶矩法主要内容：4.3响应面法4.4优化法4.5蒙特卡洛（Monte-CarloSimulation）法4.1均值一次二阶矩法第四章结构构件可靠度计算方法4.1均值一次二阶矩法4.1.1基本概念-一次:在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算分析时，保留随机变量的一次项和常数项。-均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.-二阶矩:在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的二阶矩。-均值点或中心点:非线性功能函数的泰勒级数的均值展开点●均值点4.1.2线性功能函数2.功能函数的概率特征值4.1均值一次二阶矩法1.假定构件的功能函数为式中：是常系数；是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为和。可靠指标：

什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？4.1均值一次二阶矩法设计验算点：根据概率论中心极限定理，当

n，Z近似服从正态分布

4.1.2非线性功能函数4.1均值一次二阶矩法2.功能函数泰勒级数展开将Z在各变量的均值点处展开成泰勒级数，并取线性项1.假定构件的功能函数为是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为和。

式中：4.1均值一次二阶矩法3.功能函数的概率特征值可靠指标：

4.1均植的一次二阶矩法一般情况下，下式不成立

设计验算点：一般情况下，均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程表示的失效面上。可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构的安全性越高。4.1均值一次二阶矩法例4.1结构构件截面强度的功能函数为其中

R表示结构构件的屈服极限，S表示结构构件截面的应力。R服从正态分布，分别取下面三组分布参数：S服从指数分布，分布参数：计算R取不同分布参数构件截面可靠指标、失效概率和验算点。（1）（2）（3）4.1均值一次二阶矩法

计算过程:(1)计算结构构件截面强度的功能函数的特征值(2)计算结构构件截面强度的可靠指标4.1均值一次二阶矩法(3)计算结构构件截面强度的失效概率(4)采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率(5)两种方法计算失效概率的误差4.1均植的一次二阶矩法(6)计算灵敏性系数（第一组参数）(7)计算验算点（第一组参数）4.1均植的一次二阶矩法(8)演验算计算验算点是否在失效面上（第一组参数）(9)总结

a、可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越大，也即结构的安全性越高。0.9811.3731.7650.13810.09260.0620c、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程表示的失效面。

b、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠指标计算失效概率，其误差大，也即是不成立。4.1均值一次二阶矩法例4.2假定钢梁承受确定性的弯矩M＝128.8kN·m。钢梁截面的塑性抵抗矩W和材料屈服强度fy都是随机变量，且相互独立。已知fy的均值和变异系数分布为MPa和；W的均值和变异系数分布为m3和。试求构件抗弯可靠指标。

计算过程:(1)建立功能函数

a、按截面塑性弯矩极限状态4.1均值一次二阶矩法(2)对功能函数在均值点进行线性化b、材料屈服应力极限状态。（N·m）（Pa）(3)计算功能函数的均值和标准差均值：（N·m）（Pa）4.1均值一次二阶矩法(4)计算可靠指标标准差：（N·m）（Pa）(5)总结同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果差别达7.46%。

4.1.4均值一次二阶矩法的特点1.优点计算简单。不要求随机变量的概率分布。4.1均值一次二阶矩法2.缺点当随机变量不都服从正态分布时，其计算的失效概率是不准确的。在随机变量都服从正态分布时，功能函数的非线性程度影响可靠指标计算精度，功能函数的非线性程度越高，可靠指标计算的精度越低，功能函数的非线性程度越低，可靠指标计算的精度越高，

同一极限状态方程的不同表达式可得到不同可靠指标的原因是线性化的功能函数代替真实的功能函数时，功能函数表达式不同，非线性程度不一样，线性化的功能函数拟合真实功能函数的精度不一样(不变性问题)。4.2改进的一次二阶矩法第四章结构构件可靠度计算方法4.2.1基本概念4.2改进的一次二阶矩法（验算点）非正态随机变量的当量正态化改进均值一次二阶法的不足在极限状态曲面寻找验算点，并在此基础上进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩，采用非正态随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效概率的一种方法，该方法简称验算点法，后被JCSS推荐使用，又称JC法。功能函数泰勒级数展开4.2改进的一次二阶矩法（验算点）将Z在各变量的设计验算点处展开成泰勒级数，并取线性项4.2.2Hasofer-Lind法假定构件功能函数（非线性）1.可靠指标是相互独立的正态随机变量，相应的均值和标准差为和。

4.2改进的一次二阶矩法（验算点）2.验算点的计算将随机变量标准化将X空间的相关量转换到标准正态U空间可靠指标计算随机变量由X空间向U空间变换4.2改进的一次二阶矩法（验算点）设计验算点由X空间向U空间变换功能函数由X空间向U空间变换4.2改进的一次二阶矩法（验算点）在U空间，将在各变量的设计验算点处展开成泰勒级数，并取线性项在U空间的可靠指标在标准正态空间中，可靠指标为坐标原点到失效面的最短距离。4.2改进的一次二阶矩法（验算点）设计验算点超切平面失效面4.2改进的一次二阶矩法（验算点）根据点到平面的距离公式可得U空间的可靠指标：4.2改进的一次二阶矩法（验算点）U空间设计验算点：X空间的可靠指标：4.2改进的一次二阶矩法（验算点）X空间设计验算点：4.2改进的一次二阶矩法（验算点）3.计算过程1）假定初始验算点P*,一般可设2）计算3）计算β4）计算新的x*，5）以新的x*重复步骤2）至4），直至前后两次β之差小于允许误差；或前后两次‖x*‖之差小于允许误差。4.2改进的一次二阶矩法（验算点）可靠指标计算方法比较（功能函数非线性）验算点法：中心点法：例4.3Assumethatasteelbeamcarryadeterministicbendingmoment,ThelimitstateequationisTheplasticsectionmodulusandtheyieldstrengthofthebeamarestatisticallyindependent,normalrandomvariables.ItisknownthatCalculatethereliabilityindexofthebeamaswellasthecheckingpointsofandbyHasofer-Lindmethod.4.2改进的一次二阶矩法（验算点）Solution:(a)4.2改进的一次二阶矩法（验算点）Iterationcycle1(1)(b)(c)(d)Let(2)Solveandfromformula(a)(3)Solvefromformula(d)Checking4.2改进的一次二阶矩法（验算点）Iterationcycle2(1)Solveandfromformula(b)(2)Solveandfromformula(a)(3)Solvefromformula(d)Checking4.2改进的一次二阶矩法（验算点）Iterationcycle3(1)Solveandfromformula(b)(2)Solveandfromformula(a)(3)Solvefromformula(d)Thefinalresults:4.2改进的一次二阶矩法（验算点）4.2改进的一次二阶矩法（验算点）按照等效正态化原则将非正态随机变量转化为当量正态化随机变量1.等效正态化原则(1)

在设计验算点处,等效正态化随机变量的概率分布函数值与原非正态随机变量的概率分布函数值相等。(2)在设计验算点处,等效正态化随机变量的概率密度函数值与原非正态随机变量的概率密度函数值相等。4.2.3非正态随机变量的当量正态化(JC法)解决由于非正态随机变量导致的可靠指标与失效概率不一一对应的不足4.2改进的一次二阶矩法（验算点）非正态随机变量的PDF等效正态随机变量的PDF4.2改进的一次二阶矩法（验算点）2.等效正态化计算公式……………(1)……………(2)4.2改进的一次二阶矩法（验算点）3.对数正态随机变量等效正态化后的概率特征值……………(3)……………(4)4.2改进的一次二阶矩法（验算点）4.2.3验算点法的计算过程根据等效正态化原则，在初始设计验算点处将非正态随机变量等效为正态随机变量。明确功能函数及随机变量的统计参数和分布类型计算结构可靠指标。计算敏感性系数。重复步骤3至6，直到可计算的可靠指标满足要求。假定n-1个随机变量的初始取值，一般取其均值，结合极限状态方程确定初始设计验算点。根据设计验算点的计算公式，计算设计验算点的n-1个随机变量的取值，结合极限状态方程，确定新的设计验算点。验算点法计算步骤（迭代方法一）：4.2改进的一次二阶矩法（验算点）验算点法主要计算公式：……(2)……………………(3)………………(1)4.2改进的一次二阶矩法（验算点）验算点法主要计算公式：……………………(5)……………………(4)4.2改进的一次二阶矩法（验算点）验算点法计算流程开始否

假定，结合式（1）确定设计验算点

按式（4）计算敏感性系数

在处按式（2）对非正态随机变量等效正态化

按式（3）计算可靠指标

按式（5)和式（1）计算验算点是输出结构和

输入已知条件：随机变量的概率参数和分布类型，极限状态方程4.2改进的一次二阶矩法（验算点)设计验算点失效面●●失效面●●4.2改进的一次二阶矩法（验算点）4.2.3验算点法的计算过程根据等效正态化原则，在初始设计验算点处将非正态随机变量等效为正态随机变量。明确功能函数及随机变量的统计参数和分布类型计算结构可靠指标。计算敏感性系数。重复步骤3至6，直到可计算的可靠指标满足要求。假定P*的初始取值，一般取其均值。根据设计验算点的计算公式，计算新的设计验算点。验算点法计算步骤（迭代方法二）：4.2改进的一次二阶矩法（验算点）验算点法主要计算公式：……(1)……………………(2)4.2改进的一次二阶矩法（验算点）验算点法主要计算公式：……………………(3)……………………(3)4.2改进的一次二阶矩法（验算点)例4.4已知某钢悬臂梁受的均布恒荷载和自由端受集中荷载作用，如图所示，它们都是服从极值I分布的随机变量，其均值和变异系数分别为，和,;梁截面的塑性抵抗矩和钢材的屈服强度都是服从正态分布的随机变量，其均值和变异系数分别为，和，，试JC法求梁固定端处截面的抗弯可靠指标。

计算过程:(2)确定初始验算点处n-1随机变量的值，一般取其均值，也即是，则初始验算点处第n个随机变量的值为(1)确定功能函数初始验算点4.2改进的一次二阶矩法（验算点)4.2改进的一次二阶矩法（验算点)(2)在验算点对非正态随机变量进行当量正态化，正态化之后它们的均值和标准差分别为4.2改进的一次二阶矩法（验算点)(4)计算结构可靠指标(3)计算灵敏性系数功能函数的均值功能函数标准差4.2均植的一次二阶矩法(5)计算设计验算点(6)判断计算精度是否满足要求(22)在验算点对随机变量进行当量正态化4.2均植的一次二阶矩法(32)计算灵敏性系数(42)计算结构可靠指标(52)计算设计验算点(62)判断计算精度是否满足要求4.2均植的一次二阶矩法(23)验算点对随机变量进行当量正态化(33)计算灵敏性系数(43)计算结构可靠指标(53)计算设计验算点4.2均植的一次二阶矩法(24)验算点对随机变量进行当量正态化(44)计算结构可靠指标(63)判断计算精度是否满足要求(34)计算灵敏性系数4.2均植的一次二阶矩法(54)计算设计验算点(64)判断计算精度是否满足要求精确解：(0.9809)相关随机变量的结构可靠度计算

以上讨论的都是基本变量互不相关条件下的可靠指标β的计算方法。在实际工程中，随机变量存在着一定的相关性。研究表明，随机变量间的相关性对结构的可靠度有着明显的影响。因此，若随机变量相关，则在结构可靠度分析中应予以考虑。一、变量相关的概念

由概率论可知，对于两个相关的随机变量X1和X2，相关性可用相关系数表示，即：

(1)

式中，为X1和X2的协方差；为X1和X2的标准差。相关系数的值域为[-1，1]。若，表示X1和X2不相关；若，表示X1和X2完全相关。相关随机变量的结构可靠度计算图1承受荷载作用的梁AB

对于n个基本变量，它们之间的相关性可用相关矩阵表示，即：

(2)【例1】梁AB承受随机荷载P1和P2作用，如图1所示。设荷载是统计独立的，其P1均值为4kN，标准差为0.4kN；P2均值为6kN，标准差为0.5kN。在支座B处梁的剪力VB和弯矩MB为：试求VB和MB的相关性。解：(1)VB和MB的均值和标准差为：

(2)协方差为：相关随机变量的结构可靠度计算

(3)相关系数为：

相关系数接近1.0，说明VB和MB密切相关。二、相关变量的变换

考虑一组新的变量，其中是的线性函数。通过适当的变换，可使成为一组不相关的随机变量，作变换：

(3a) (3b)

其中，[A]是正交矩阵，其列向量[CX]为标准正交特征向量。这时的协方差矩阵即为对角矩阵。

(4)

并且有

(5)

的对角线元素就等于的特征值。【例2】随机变量X1、X2和X3，其均值为，协方差矩阵：

现求一组不相关的随机变量。解：(1)列特征方程，求特征值。

的特征方程整理，得：

求得特征值：(2)求的协方差矩阵。由式(4)，得：

(3)求转换矩阵[A]将

分别代入方程

解得与之相应的标准化特征向量。所以正交矩阵为：

(4)不相关的随机变量。不相关的随机变量

即：

相关随机变量的结构可靠度计算均值为：得：相关随机变量的结构可靠度计算三、相关变量可靠指标的计算

对于彼此相关的变量，可以把它们转换为互不相关的变量，然后将不相关的正态变量标准化，得到标准正态化的不相关变量，最后再按变量独立且服从正态分布的方法计算可靠指标β。

【例3】某轴向受压短柱承受固定荷载X2和活荷载X3作用，柱截面承载能力为X1。它们都是服从正态分布的随机变量。各变量的统计信息：它们的相关系数为：极限状态方程Z=X1-X2-X3=0，试求其可靠指标β。解：(1)求转换矩阵[A]。 由式(1)可得，的协方差矩阵

[CX]的特征值：相应的特征向量为：

所以正交矩阵[A]为：

(2)确定Y的均值和方差。由和式(5)，得：

相关随机变量的结构可靠度计算由式(3b)，有：

代入极限状态方程，得：

(4)计算可靠指标β。

(3)确定以Y为变量的极限状态方程。相关随机变量的结构可靠度计算4.3响应面法第四章结构构件可靠度计算方法4.3响应面法4.3.1问题的提出钢构架l2l1b1×h1b2×h2F1F2没有明确功能函数表达式采用蒙特卡洛法结合有限元方法求解，需要成千上万次的模拟才能得到较精确的结果，因此采用该方案时也需要成千上万次的有限元计算分析，这就导致工作量大，计算成本高，不经济。可靠度问题如何求解？4.3响应面法-1989年，意大利的一位女学者Faravelli首次提出结构可靠度分析的响应面法，解决了没有明确功能函数的可靠度计算问题。-基本思想就是选用一个适当的具有明确表达式的函数来近似代替一个不能明确表达的函数，对于可靠度分析来说，就是尽可能通过一系列确定性的试验即有限元数值计算结果来拟合一个响应面（明确表达式的函数）以代替未知的真实的极限状态曲面，在此基础上可应用一次二阶矩法进行可靠度计算。-给定一组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，应用确定的有限元数值计算，就可以得到结构的一个响应值，取n组结构性能参数，几何参数和荷载的取值，就能得到相应的n个响应值，根据这n个响应值拟合的函数表示的曲面就叫响应面，以该响应面代替未知的真实的极限状态曲面进行可靠度分析的方法就响应面方法。4.3响应面法钢构架l2l1b1×h1b2×h2F1F2-1990年，Bucher提出内插技术，将该方法实用化。-响应面函数的选取和响应面函数系数的确定。4.3响应面法4.3.2响应面的设计响应面的设计实质也就是响应面函数形式的确定。响应面函数形式的确定应满足的两个要求：（1）响应面函数数学表达式在基本能够描述真实函数的前提下应可能的简单，以方便可靠度分析；（2）响应面函数中的待定系数应尽可能的少，以便减少需要确定待定系数的结构有限元分析的工作量。一般取不含交叉项二次多项式为响应函数：为基本随机变量；，，为响应面函数中的待定系数。4.3响应面法-对于精度要求不高，通过经验判断真实的功能函数非线性程度不高时，响应面函数可选用一次多项式。-对于精度要求高，当真实的功能函数非线性程度很高时，不含交叉项的二次多项式作为响应面函数往往不能满足要求。-映射能力非常强的神经网络作为响应面函数。-映射能力非常强的支持向量机函数作为响应面函数。4.3响应面法4.3.3待定系数的估算待定系数确定响应面函数确定。基本随机变量的取值响应面函数结构有限元计算真实结构响应的功能函数值最小二乘法确定待定系数计算结构的响应的功能函数值真实结构响应功能函数值与计算结构响应的功能函数值误差平方和最小？4.3响应面法基本随机变量的取值将影响确定的响应面函数。如何合理的确定基本随机变量的取值来进行结构有限元计算，进而确定响应面函数也是很重要的问题。确定基本随机变量的取值利用了试验设计的思想：通过合理的试验设计，使有限的试验结果反应普遍的规律。因此应用试验设计的方法确定试验点（一组基本随机变量的取值），让这些试验点更多的代表随机变量在整个空间的信息。x1x2x1x24.3响应面法试验设计的方法有：正交试验设计法、均匀试验设计法，中心复合设计法等等，试验点数应大于或等于待定系数的个数。中心复合设计法确定响应面法的试验点确定中心点，一般取均值点。根据确定中心点、水平系数f和随机变量的标准差，确定其余试验点。例：已知随机变量x1

和x

2的均值分别为12和8，标准差分别2和1，水平系数f＝2，用中心复合法确定其试验点。中心点：{12,8}复合点：{12+2×2,8}，{12-2×2,8}，{12,8+2×1}，{12,8-2×1}。x1x24.3响应面法最小二乘法确定待定系数令设函数中含有个k（k＝2n＋1）待定系数（），则有解上述方程组，便可获得个k待定系数（）。4.3响应面法4.3.4响应面法的计算步骤：(3)利用试验确定功能函数

以及得到2n＋1个点的估计值，其中系数f在第一轮估计中取2或3，在以后的迭代计算中取1；(1)响应函数选取(4)采用优化法取得相应面函数中的待定系数，得到二次多项式近似的功能函数，从而确定结构的极限状态方程；(5)利用验算点法（JC法）求解验算点和可靠度指标；(2)假定中心点，采用中心复合法确定其它试验点，总计2n+1个；4.3响应面法(6)判断收敛条件：是否满足(为收敛精度)，如果不满足，则用插值法确定新的中心点：

(7)然后重复步骤(2)～（6）进行下一轮迭代，直至满足收敛条件。

此插值可使较更接近极限状态曲面。4.3响应面法ZX1X1Z4.3响应面法响应面函数选取试验设计系数确定判断收敛条件结束是否可靠指标计算4.3.5响应面法的计算过程3.3响应面法响应面函数选取试验设计4.3响应面法例4.5已知某构件截面的功能函数为试采用响应面计算其可靠指标。

和都服从正态分布，其分布参数分别：4.3响应面法

计算过程:(1)选取响应面函数(0.001,250)(0.0016,250)(0.00099,250)(0.001,362.5)(0.001,137.5)(3)计算试验点对应的功能函数值13.676410.805316.547516.8919-10.2998(2)确定试验点4.3响应面法(4)计算响应面函数中的待定系数(5)根据响应面功能函数采用JC法计算其可靠指标和验算点ab1

b2

c1

c2-63.0123-0.47850.0000000000000253.0938-8.2017(6)判断计算精度是否满足要求4.3响应面法(22)计算新的试验中心点和其余试验点(0.00106,143.7)(0.00126,143.7)(0.00086,143.7)(0.00106,181.2)(0.00106,106.2)(32)计算试验点对应的功能函数值-8.2396-13.2793-3.20005.1441-47.6894(42)计算响应面函数中的待定系数ab1

b2

c1

c2-274.14-2.520.000000000008336.8-92.74.3响应面法(52)根据响应面功能函数采用JC法计算其可靠指标和验算点(62)判断计算精度是否满足要求(0.00122,170.3)(0.00142,170.3)(0.00102,170.3)(0.00122,207.8)(0.00122,132.8)试验点功能函数值0.0078-3.01983.03558.3039-20.4549待定系数ab1

b2

c1

c2172.301.510.000000000008185.69-0.43264.3响应面法(0.00122,170.4)(0.00142,170.4)(0.00102,170.4)(0.00122,207.9)(0.00122,132.9)试验点功能函数值0.0015-3.02183.02488.2978-20.4526待定系数ab1

b2

c1

c2172.341.510.000000000001185.64-0.43234.3响应面法精确解：4.4优化法第四章结构构件可靠度计算方法4.4优化法4.4.1优化法的基本思想根据可靠指标的几何意义：结构可靠指标时在标准正态空间中坐标原点到失效面的最短距离，因此可把求解可靠指标的问题转化为一个有约束的优化问题。假定构件功能函数（非线性）是相互独立的正态随机变量，其相应的均值和标准差为和。

将随机变量标准化4.4优化法结构可靠指标的求解问题可转化为下面的约束优化问题：

s.t.采用不同的优化方法可以得到不同求解结构可靠指标的优化法。

用拉格朗日（Lagrange）乘子法求解该问题

拉格朗日函数：拉格朗日乘子。4.4优化法由极值条件可知联立求解上述方程组可得，则可靠指标为4.5蒙特卡洛法第四章结构构件可靠度计算方法4.5蒙特卡洛法4.5.1随机变量的抽样-若r是

[0,1]上的均匀随机数，则通过上式计算的