噪声与随机信号分析课件

1数字通信(第六讲)噪声与随机信号分析2015YupingZhao(Professor)赵玉萍DepartmentofElectronicsPekingUniversityBeijing100871,Chinaemail:yuping.zhao@1数字通信(第六讲)YupingZhao(Profe12通信中的常见噪声分析2通信中的常见噪声分析23

白噪声白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-∞<ω<+∞)内是常数的噪声不符合上述条件的噪声称为有色噪声白噪声的功率谱密度函数

n0是一个常数，单位为W/Hz3白噪声白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-∞<ω<34白噪声的自相关函数由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数R(τ)互为傅氏变换对因此，白噪声的自相关函数为白噪声的自相关函数是一个位于τ=0处的冲激函数，即白噪声只有在n0/2时才相关，而在任意两个不同时刻上的随机取值都是不相关的。4白噪声的自相关函数由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数45高斯噪声高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的噪声。

式中，a为噪声的数学期望值，也就是均值；σ2为噪声的方差。通常，通信信道中噪声的均值a=0。5高斯噪声高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分56在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。因为噪声的平均功率为

而噪声的方差为所以Pn=σ26在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。67通信系统中常常使用误差函数计算高斯分布函数中的小概率事件所占的比例标准正态分布

误差函数互补误差函数高斯通道下当发射+1与-1的概率相同时，得到的接收信号pdf函数为：7通信系统中常常使用误差函数计算高斯分布函数中的小概率事件所78误差函数和互补误差函数的主要性质8误差函数和互补误差函数的主要性质89误差函数的其他表示方法许多通信系统采用Q(X)函数表示误码率9误差函数的其他表示方法许多通信系统采用Q(X)函数表示误码910两种误差函数关系的推导10两种误差函数关系的推导1011带通系统中的高斯噪声1 定义与表达式高斯噪声通过以ωc为中心的窄带系统可形成窄带高斯噪声。特点：频谱局限在±ωc附件很窄的频率范围内，包络和相位作缓慢随机变化。窄带高斯噪声n(t)可表示为

ρ(t)为噪声n(t)的随机包络，φ(t)为噪声n(t)的随机相位。11带通系统中的高斯噪声1 定义与表达式1112窄带高斯噪声的另外一种表达式为其中

式中nc(t)及ns(t)分别称为n(t)的同相分量和正交分量。12窄带高斯噪声的另外一种表达式为12132 统计特性(1)一个均值为零，方差为σx2的窄带高斯噪声n(t)，假定它是平稳随机过程，则它的同相分量nc(t)、正交分量ns(t)同样是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同，即

其中 这里，σx2、σc2、σs2分别表示窄带高斯噪声n(t)、同相分量nc(t)和正交分量ns(t)的方差（亦即功率）。132 统计特性1314(2)一个均值为零，方差为σx2的窄带高斯噪声n(t)，假定它是平稳随机过程，则其随机包络ρ(t)服从瑞利分布，相位φ(t)服从均匀分布，即

p(ρ)和p(φ)的波形如下图所示。14(2)一个均值为零，方差为σx2的窄带高斯噪声n(t1415在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。接收机的设计：接收机的作用是设法去除信道对随机信源的影响，恢复出原始的随机信源信号。系统性能评估：性能评估实际上是对接收机恢复原始信源能力的评估。这种评估一般用错误概率来表示。接收信号的数学描述：接收机的主要工作是根据接收信号估计出发射信号：系统评估准则（使误差最小化）：接收信号（随机）信道特征（随机）信源（随机）噪声（随机）15在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。接收信号1516

在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪声叠加到接收信号上高斯噪声的表达式16 在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪声叠1617联合事件

考虑两个事件，其联合概率记做P(A,B)，联合概率满足以下条件且;;17联合事件考虑两个事件，其联合概率记做P(A,B)，1718统计独立事件A的发生不依赖事件B的发生，即

高斯噪声符合这一准则：18统计独立事件A的发生不依赖事件B的发生，即高斯噪声1819随机变量的和假设Xi,i=1,2,…n是统计独立且同分布的随机变量，有限均值mx，有限方差x2。Y定义为归一化总和，称为样本平均

Y的均值

Y的方差19随机变量的和假设Xi,i=1,2,…n是统计独立且1920若Y没有被归一化，即，其它条件同上，则有

均值：

方差：问题:在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统信噪比的变化信噪比的定义为：结论:方差只是原来的n倍!20若Y没有被归一化，即2021接收信号相加之后，噪声的方差变为，信号的幅度加倍，能量则变为原来的4倍。则信噪比变为：结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射两次，接收端将两次接收结果相加，则接收信号信噪比有2倍的提高。单发一次时，信号能量若同样信号发送两次，接收端将两次信号相加，则有此时信号能量为，噪声方差为解答:为了提高接收端的信噪比，可以将一个数据重复发送并在接收端进行求和，可以提高接收信号的信噪比21接收信号相加之后，噪声的方差变为，信号2122扩展：结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射N次，接收端将N次接收结果相加，则接收信号信噪比有N倍的提高。思考题：假设你在进行通信系统仿真，现在需要仿真系统信噪比为10dB时的特性，假设发射信号的平均功率为1，需要自己产生高斯噪声并加到发射信号上，问1，假设每个信号只传输一次，那么产生的高斯噪声的均值与方差是多少？2，假设同样信号传输8次，那么产生的高斯噪声的均值与方差是多少？22扩展：思考题：2223问题扩展同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能不同，经过信道叠加噪声之后分别为和，接收端对两个接收信号以一定比例合并：讨论：接收端以怎样的比例合并可以使接收信噪比达到最大？

23问题扩展2324问题分析已知：求为了使：假设：1.每次发送时的加性高斯噪声功率不变

2.原始信号功率

3.原始信噪比24问题分析已知：2425理论推导

接收信号为：信号平均功率为：噪声平均功率为：信噪比为：25理论推导接收信号为：2526理论推导对求导：

要使

26理论推导对求导：2627理论推导

结论：

上述合并方法被称为最大比合并27理论推导上述合并方法被称为最大比合并2728讨论如下信号的合并方法tT2T当信号有加性高斯噪声，如何得到最大信噪比的信号？合并后的信噪比增大了多少倍？28讨论如下信号的合并方法tT2T当信号有加性高斯噪声，如何2829讨论如下信号的合并方法tT2T当信号有加性高斯噪声，如何得到最大信噪比的信号？合并后的信噪比增大了多少倍？29讨论如下信号的合并方法tT2T当信号有加性高斯噪声，如何2930讨论如下信号的合并方法当接收信号有加性高斯噪声时，如果发端信号为Sinc(x)，接收端将信号合并时，也应采用Sinc(x)作为其信号加权的权重这就是接收端最大比合并，这也是匹配滤波的原理30讨论如下信号的合并方法当接收信号有加性高斯噪声时，如果发3031关于最大比合并中噪声的讨论要保证接收信号的信噪比为某一确定值，在采样率确定情况下，如何在信号采样点上加噪声？31关于最大比合并中噪声的讨论要保证接收信号的信噪比为某一确3132高斯信号的产生方法应用中心极限定理应用随机信号的函数的方法32高斯信号的产生方法应用中心极限定理3233中心极限定理

假设Xi,i=1,2,…n

是统计独立且同分布的随机变量，有限均值mx，有限方差x2。定义归一化随机变量(零均值和单位方差)令当n时，Y的极限分布为高斯分布。33中心极限定理假设Xi,i=1,2,…n是统计独立3334[0~1]的均匀分布(一次记录)rand();高斯信号产生方法134[0~1]的均匀分布(一次记录)rand();3435多次[0~1]的均匀分布的PDF直方图35多次[0~1]的均匀分布的PDF直方图35366次事件相加，高斯分布？366次事件相加，高斯分布？363760次事件相加，高斯分布？3760次事件相加，高斯分布？37随机变量的函数设随机变量X，已知其概率密度函数为p(x)，设有另一个随机变量Y可以表示成X的确定函数。求随机变量Y

的pdf函数

该问题的引申：--给定某随机序列并已知其概率密度函数，将该随机序列进行特定变换后得到序列的pdf函数是什么？--给定某随机序列并已知其概率密度函数，现在需要根据该随机序列得到符合某种pdf函数的随机序列，如何进行？随机变量的函数设随机变量X，已知其概率密度函数为p(x)3839例：设随机变量X，概率密度函数给定p(x)，另一个随机变量Y

定义为：

第一步：确定Y的概率分布函数

x0求Y的pdf函数39例：设随机变量X，概率密度函数给定p(x)，另一个随3940第二步：微分，得到Y的概率密度函数

则

也可以写成上述的结果相应的是方程的两个解。

40第二步：微分，得到Y的概率密度函数则也可以写成上述的4041一般情况，如果x1,x2,...,xn是方程g(x)=y的实数解(即x用y表示的解)，x的概率密度函数为p(x)，则随机变量Y=g(X)的概率密度函数为41一般情况，如果x1,x2,...,xn是方程g(4142高斯信号产生方法2产生(0,1)之间的均匀分布序列U[0,2π)之间的均匀分布θ（相位）得到参数为σ的瑞利分布X（幅度）得到N(0,σ2)的高斯分布Y（复数）42高斯信号产生方法2产生(0,1)之间的均匀分布序列U4243仿真中出现的实际问题如何观察噪声的大小实部与虚部叠加的噪声方法仿真经验43仿真中出现的实际问题如何观察噪声的大小4344利用星座图观察噪声正确的星座图44利用星座图观察噪声正确的星座图4445利用星座图观察噪声错误的星座图1噪声实部大于虚部45利用星座图观察噪声错误的星座图14546利用星座图观察噪声错误的星座图2噪声仅有实部46利用星座图观察噪声错误的星座图24647利用星座图观察噪声xnoisy=x+sigma*randn(size(x));47利用星座图观察噪声xnoisy=x+sigma4748利用星座图观察噪声xnoisy=x+sigma*randn(size(x))*(1+i);48利用星座图观察噪声xnoisy=x+sigma4849利用星座图观察噪声正确的加噪声方法是给实部和虚部分别加噪声xnoisy_real=real(x)+sigma*randn(size(x));xnoisy_imag=imag(x)+sigma*randn(size(x));xnoisy=xnoisy_real+i*xnoisy_imag;49利用星座图观察噪声正确的加噪声方法是给实部和虚部分别加噪4950利用星座图观察噪声正确的星座图50利用星座图观察噪声正确的星座图5051不同信噪比下接收信号星座图51不同信噪比下接收信号星座图5152随机信号分析52随机信号分析5253关于发射信号频谱特性的讨论概率论与随机过程的几个基本定义关于独立随机过程关于自相关函数关于两个随机变量的互相关函数关于功率谱密度53关于发射信号频谱特性的讨论概率论与随机过程的几个基本定义5354概率分布函数(cdf)概率密度函数54概率分布函数(cdf)概率密度函数5455555556多维随机变量联合概率分布函数和概率密度函数离散序列（时间、幅度均离散）：56多维随机变量联合概率分布函数和概率密度函数离散序列（时间5657均值N阶矩N

阶中心矩方差几个概率统计函数的定义57均值N阶矩N阶中心矩方差几个概率统计函数的定义5758随机过程是带有参数t的随机变量，t一般是时间。在任一确定时刻，随机过程都是一个随机变量。随机过程可以由它的多维联合概率密度函数来描述。随机变量可以表示为X(t),X(t)可以是连续的也可以是离散的。

随机变量的取样:t1>t2>t2>…tnX

t1,

X

t2,…,X

t2随机过程58随机过程是带有参数t的随机变量，t一般是时间。在任一确定5859平稳随机过程（严平稳，狭义平稳）如果对于所有的t

和n满足否则随即过程是非平稳的。即pdf函数不随时间改变，统计特性不随时间改变。59平稳随机过程（严平稳，狭义平稳）否则随即过程是非平稳的。5960

统计平均随机过程Xt

的两个取样X

ti,i=1,2（两个随机变量）。X

ti,i=1,2

的相关函数定义为Xt

的自相关函数对于平稳过程，是不随t变化的，其值只是与有关，则有：

其中=t1-t2自相关函数的性质：偶函数60统计平均随机过程Xt的两个取样Xti,i=1,26061自协方差函数对于平稳过程宽平稳随机过程：过程的均值与时间无关，此时只需满足关于平稳随机过程：狭义平稳：p(x)不随时间变化；宽平稳：不随时间变化，即x(t)的均值不随时间变化。61自协方差函数对于平稳过程宽平稳随机过程：过程的均值与时间6162自相关函数连续函数自相关函数

意义：函数值v(t)与自身平移后的函数值v(t-)之间的相似性自相关系数：归一化的自相关函数62自相关函数连续函数自相关函数6263离散序列的自相关函数离散序列的自相关函数

意义：序列x(n)与自身平移m后的值x(n-m)之间的相似性离散序列的自相关系数：自相关函数的归一化表示过程Xt的平均功率63离散序列的自相关函数离散序列的自相关函数表示过程Xt的平6364自相关函数的物理意义：()的物理意义在于表征随机变量x(t)在相隔时间间隔情况下其取值的相关性（相似程度）的平均值。问题：1.某时间函数为f(t)=1，-∞<t<∞，那么其自相关函数是怎样的？2.序列为高斯噪声随机序列，序列的每个取值都不具有相关性，那么其自相关函数是怎样的？64自相关函数的物理意义：()的物理意义在于表征随机变量6465例：随机函数的变化快慢与自相关函数的对应关系设：1.X1(t)较之X2(t)随时间变化慢。2.两随机函数采样时间间隔相同问：如下两个自相关函数的图分别对应X1(t)与X2(t)中的哪一个？X1(t)()()X2(t)tt5510无线系统实际意义：对于随距离变化的信道参数，以相同的时间间隔，不同的移动速度取样65例：随机函数的变化快慢与自相关函数的对应关系X1(t)6566互相关函数设实信号为v(t)与w(t)，为考察两函数的相似性，定义互相关函数为：

意义：函数v(t)与函数w(t)平移后之间的相似性。 相关函数与信号幅度有关!设离散信号为x(n)和y(n)，定义互相关函数为：66互相关函数设实信号为v(t)与w(t)，为考察两函6667随机信号的互相关函数设x(t),y(t)为随机变量，p(x,y)为其联合概率密度函数，则x,y的联合二阶矩为

联合二阶矩给出了函数x,y的相似性设m,n为离散随机变量，p(m,n)为其联合概率密度函数，则m,n的联合二阶矩为67随机信号的互相关函数设x(t),y(t)为随机变量，p6768联合中心矩：协方差

这里mx,my为x,y的均值。 联合中心矩给出了函数x,y与各自均值之差的相关性。68联合中心矩：协方差 6869协方差(Covariance)几点讨论相关函数：表征两个随机变量值的相似性协方差：表征两个随机变量变化的相似性相关系数：协方差的归一化，表征两个随机变量变化的相似性（不考虑变量的值）69协方差(Covariance)几点讨论6970互相关系数的求法连续随机变量：离散随机变量：离散随机变量相关系数的实际求法：70互相关系数的求法连续随机变量：离散随机变量：离散随机变量70ttX(t)y(t)互相关函数的物理意义；两个随机变量取值的相关性互协方差函数的物理意义；两个随机变量相对于其均值变化的相关性ttX(t)y(t)互相关函数的物理意义；两个随机变量取值的7172

关于独立与相关的讨论相互独立

(Statisticallyindependent)：概率密度函数没有相互关系相关函数(Correlationfunction)：不相关(Uncorrelated)：乘积的均值等于均值的乘积两信号独立则一定是不相关的，但不相关不能保证独立不相关

独立正交(Orthogonality)72关于独立与相关的讨论不相关独立7273正交(Orthogonality)不相关(Uncorrelated)结论：如果随机过程是平稳的，那么他们的相关函数只和有关，否则和t与均有关。，

73正交(Orthogonality)，7374例子考虑股票涨跌股票A均值为100；股票B均值为10；涨跌情况完全不同，统计独立，其协方差为0，根据公式得到相关系数（均值的乘积）=1000；结论：两个随机量的变化相关性不能使用相关函数，而应使用协方差函数（将均值去掉）或相关系数。74例子考虑股票涨跌74仿真问题：给出一个随机序列x=(a1,a2,…ak,…)，仿真如何求出该随机变量的均值，方差序列的自相关函数自相关系数给出两个随机序列x=(a1,a2,…ak,…)，y=(b1,b2,…bk,…)，仿真如何求出该随机变量的互相关函数互协方差函数互相关系数仿真问题：给出一个随机序列x=(a1,a2,…ak,…)，仿7576复随机过程

自相关函数注意：随机变量共轭76复随机过程自相关函数注意：随机变量共轭7677对于两个复随机过程自相关函数

and注意：随机变量共轭77对于两个复随机过程自相关函数and注意：随机变量共轭7778例设信号序列Sk

满足递推式,其中，为噪声，噪声和信号相互独立。未加噪声时信号方差为1，求加噪声后信号序列的自相关函，。