北京第五十七中学高三数学理月考试题含解析

北京第五十七中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在区间上随机取一个数,则的概率是A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知函数，满足，且在上的导数满足，

则不等式的解为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C3.设是R上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（

）A． B．C.

D．参考答案：C由题意令，则，∴函数在R上单调递减，又，∴，即．选C．

4.已知复数z=，则z的共轭复数的虚部为（）A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z===1+i．复数z=，则z的共轭复数1﹣i的虚部为﹣1．故选：A．5.在等差数列中，，则的值为A.14

B.15

C.16

D.17

参考答案：C略6.如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图则该几何体的体积是（）A．6π B．7π C．12π D．14π参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，且底面圆的半径为2，高为4，∴几何体的体积V=π×22×4﹣=14π，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，注意三视图中实线与虚线的在直观图中的位置，考查空间想象能力．7.ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a>b”是“cos2A<cos2B”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C8.已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m?α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ参考答案：A【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由m?α，m⊥γ，知α⊥γ，由β∩γ=l，知l?γ，故l⊥m．【解答】解：∵m?α，m⊥γ，∴α⊥γ，∵β∩γ=l，∴l?γ，∴l⊥m，故A一定正确．故选A．9.设，且，则等于A．2

B．－2

C．8

D．－8参考答案：C【分析】由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=﹣3，再利用诱导公式求得f（2019）的值．【详解】∵∴即而=8故选：C

10.若双曲线的一条渐近线与圆x2+（y﹣2）2=2至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B．[2，+∞） C． D．（1，2]参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，可得圆心（0，2）到渐近线的距离d≥r，由点到直线的距离公式可得a的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围．【解答】解：双曲线的一条渐近线设为y=，由渐近线与圆x2+（y﹣2）2=2至多有一个交点，可得：圆心（0，2）到渐近线的距离d≥r，即有≥，解得a≥1，则离心率e===∈（1，]．故选：C．【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数，存在区间，当时，，则称为倍值函数。已知是倍值函数，则实数的取值范围是

．参考答案：12.若对恒成立，则实数m的取值范围是

。参考答案：13.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，3S2，5S3成等差数列，则{an}的公比为．参考答案：

【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据S1，3S2，5S3成等差数列，可得6S2=5S3+S1，结合等比数列的前n项和公式可得{an}的公比．【解答】解：由题意，S1，3S2，5S3成等差数列，可得6S2=5S3+S1，∵{an}是等比数列，∴6（a1+a1q）=5（a1+a1q）+a1．解得：故答案为：．14.已知双曲线的右焦点为F，O是坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A、B两点，使得，则双曲线的离心率e的取值范围是___________．参考答案：

【分析】根据直线与双曲线的位置关系设出直线方程，联系直线与双曲线整理出关于的方程，再利用数量积求解即可。【详解】设，，直线的方程，由整理得，由直线交双曲线C的右支于两点，可得，且，两式解得。因为整理可得，因为，所以即整理可得，由

得，解得，所以双曲线的离心率的取值范围是【点睛】本题考查直线、双曲线的位置关系，由双曲线的性质求离心率，难度较大。15.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．参考答案：【分析】由古典概型及其概率计算公式得：取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为，得解．【详解】从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，共有种不同的取法，从这5支彩笔中任取3支不同颜色的彩笔，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔，共有种不同的取法，则取出的3支彩笔中含有红色彩笔的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，属简单题．16.某学校高中三个年级的学生人数分别为：高一950人，髙二1000人，高三1050人.现要调查该校学生的视力状况，考虑采用分层抽样的方法，抽取容量为60的样本，则应从高三年级中抽取的人数为______参考答案：略17.已知变量满足则的最大值是________．参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M，N分别是棱AB，AA1上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，E1，D四点共面；（2）求直线BC与平面MNE1D所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）正面四点共面的方法主要采用线线平行来得到．（2）首先建立空间直角坐标系，进一步利用法向量知识利用向量的夹角余弦公式求出结果．【解答】（1）证明：连接A1B，D1B1，BD，A1E1，在四边形A1B1D1E1中，A1E1=B1D1，且，A1E1∥B1D1，在四边形BB1D1D中，BD∥B1D1，且BD=B1D1，所以：A1E1∥BD，且A1E1=BD，则四边形A1BDE1是平行四边形．所以A1B∥E1D．在△ABA1中，AM=AN=1，AB=AA1=3，所以：则：MN∥BA1，且：MN∥DE1，所以：M，N，E1，D四点共面；（2）解：以点E坐标原点，EA，ED，EE1线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，则B（），C（），D（0，3，0），E1（0，0，3），M（3，1，0）．，，，设平面MNE1D的法向量为：，则：，即：，解得：，设直线BC与平面MNE1D所成的角为θ，则sinθ==故直线BC与平面MNE1D所成的角的正弦值为．【点评】本题考查的知识要点：四点共面的判定，直线与平面的夹角的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，向量的数量积的应用．主要考查学生的应用能力．19.15．设为数列的前n项和，则（1）_____；（2）___________。参考答案：（1）

（2）20.（本小题满分13分）已知抛物C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为.（I）求抛物线C的标准方程；（II）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.参考答案：(I)由题意,抛物线C的方程为---------------------------------------------------------------------3分(II)设,直线MN的方程为联立得,,-----------------------------------------------------------------6分由对称性,不妨设,

(i)时,,同号,又不论a取何值,t均与m有关,即时A不是“稳定点”;-------------------------9分

(ii)时,,异号,又

所以,仅当,即时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”.------------------------------------------------------------13分21.已知数列中.为实常数．（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）若.①是否存在常数求出的值，若不存在，请说明理由；②设.证明：n≥2时，.参考答案：解:(Ⅰ)，，又，（）

------6分（Ⅱ）①设

即

故

…4分

且

故存在是等比数列

…………6分②

-------1分

------2分

（4分）略22.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，并利