第四章连续时间傅立叶变换heconinuousi

第4章连续时间傅立叶变换

TheContinuoustimeFourierTransform本章的主要内容:连续时间傅立叶变换;傅立叶级数与傅立叶变换之间的关系;傅立叶变换的性质;系统的频率响应及系统的频域分析；

在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，线性时不变系统对非周期信号的响应如何求得，就是这一章要解决的问题。4.0引言Introduction在钢时渠域淘可汗以窗看奋到膜，怪如绝果煮一巧个奇周黄期铜信灿号酱的贷周资期宵趋旬于凳无鸽穷捡大筝，苏则蛾周转期葱信应号尊将垂演械变蝴成澡一退个悉非透周洗期侵信颈号廊；岭反牙过虑来经，翁如忽果旱将饼任息何援非北周垮期屋信燥号续进肌行貌周题期躺性嚼延则拓达，猫就泪一佳定肢能跃形后成绑一序个僵周至期源信挂号桂。我票们飘把惜非弦周析期炒信你号忆看谊成泄是芬周耀期调信鹊号损在企周届期婚趋废于球无匠穷涨大疲时栋的血极恼限近，肉从钱而超考崖查使连白续富时林间固傅统立然叶夫级抹数午在T趋顽于劫无齐穷锹大央时回的返变孔化者，盏就缸应摧该默能造够壶得是到骡对劳非毒周皱期惕信垃号涉的催频付域居表卧示尿方午法法。4利.粗1非朴周邀期例信肥号咱的控表隙示手—彼连颈续集时棕间察傅秘立置叶幕变益换R板e甘p圈r照e糖s惩e量n考t飘a斩t强i茎o超n赌o巾f困A候p铃e稿r飞i悉o谨d疫i箱c追S盏i匪g吼n挤a茫l井s捎:却T躺h机e恋C母o脑n昏t翅i逝n高u痛o激u劳s语-降T某i洁m别e窃F针o取u河r婶i组e垦r惭T侨r学a乱n祝s娘f侵o抬r冻m一骆.东从昆傅痕立沟叶携级活数欧到卡傅些立寒叶堂变欢换我们已经看到，周期性矩形脉冲，当周期增大时，频谱的幅度随的增大而下降；谱线间隔随的增大而减小；但频谱的包络不变。再酱次惕考棵察役周油期连性鲁矩淘形奏脉甘冲衰的找频学谱遥图宪：

当时，周期性矩形脉冲信号将演变成为非周期的单个矩形脉冲信号。（a）（b）(a)(b)

00由于也随增大而减小，并最终趋于0，考查的变化，它在时应该是有限的。

于是，我们推断出:当时，离散的频谱将演变为连续的频谱。由当时,如果令则有与周期信号傅立叶级数对比有：这樱表衫明漆:周寨期疑信吵号叫的述频遥谱配就矿是供与疯它呜相芳对捡应据的野非嗓周径期朴信卡号酱频希谱君的翠样辱本询。根据傅立叶级数表示：连续时间傅立叶变换当时，于是有：傅立叶反变换此式表明，非周期信号可以分解成无数多个频率连续分布、振幅为的复指数信号之和。由于具有频谱随频率分布的物理含义，因而称为频谱密度函数。于畜是穗，涌我扇们巧得责到丙了禽对域非摆周袭期鲁信误号静的让频问域匆描优述融方剪法这图一傅对趴关掀系扶被爽称驾为塞连音续麻时丛间显傅揭立挂叶伟变圾换雨对梅。可师见角，闯周惧期袖信粒号叨的这频量谱蹄是验对慎应戚的讽非本周扭期庄信您号频远谱因的静样汤本；珍而造非肿周缺期职信低号挤的驳频萌谱谁是铲对造应腹的篇周惰期戏信舞号频但谱映的钥包度络蚂。既蹦然手傅严立沸叶块变筒换睡的寸引肤出旧是己从促周张期管信宰号外的敏傅旱立蓄叶熊级临数捕表锡示塞出董发剩，挨讨林论驾周系期素趋填于使无复穷薪大近时将的灭极耍限嚷得肿来眨的汉，赴傅耐立爽叶系变秆换饰的榨收敲敛锐问漂题满就轮应孟该传和拘傅脑立泽叶来级举数哲的民收狱敛华相朽一销致影。二喷.配傅夜立纺叶腰变衣换猛的吩收焰敛这纤表淋明父能链量杏有烦限腰的犁信互号油其差傅槐立奥叶粮变目换纺一冠定侦存牵在妥。2熊.D券i诸r梁i倡c举h乡丰l抽e袋t条岔件a.绝对可积条件1.若则存在。也然有示相她应库的维两类组奴条迫件航：b.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值有限。c.在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。应犹该桑指敢出搞:这抽些集条萌件屿只奔是露傅嗓立乏叶穿变父换滨存畅在益的展充百分虑条歼件。和周期信号的情况一样，当的傅立叶变换存在时，其傅立叶变换在的连续处收敛于信号本身，在间断点处收敛于左右极限的平均值，在间断点附近会产生Gibbs现象。

这两组条件并不等价。例如：是平方可积的，但是并不绝对可积。三填.侵常廊用腐信滴号深的都傅弦立归叶搭变纠换思：1.0102.结朗论炸：实改偶逃信枣号技的派傅搭立粮叶挂变势换第是轨实燥偶予函升数轨。此沉时沈可观以蛋用心一旋幅拍图乖表卖示承信座号罢的选频咬谱丸。对此例有103.0这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应才能完全描述一个LTI系统的特性，才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。01

显然，将中的代之以再乘以，即是相应周期信号的频谱4.矩形脉冲:101000不等同天脉喘冲徒宽帖度蒜对锤频软谱夏的任影锈响可包见细，信酒号幅在差时棒域企和览频章域秃之环间辜有胀一移种队相绕反梢的顾关窗系。(飘称洽为理态想栗低钟通啦滤皇波名器)与占矩添形仓脉谢冲产情晨况捐对机比筑，遗可抄以促发麻现信拳号明在细时鸟域唐和须频专域纤之搂间告存跳在添一雾种拳对镰偶爹关大系费。5.1，0，100对撑偶平关被系石可更表鬼示知如突下野:101000

同时可以看到，信号在时域和频域之间也有一种相反的关系。即信号在时域脉冲越窄，则其频谱主瓣越宽，反之亦然。对例5.我们可以想到，如果，则将趋于一个冲激。6.若则有因为所以四握.颂信畜号影的旦带骗宽(B诊a涌n挨d蔑w扮i蹲d盗t善h虾o臭f础S略i腾g指n翅a扁l怀s)茂:由爸信且号随的印频遍谱拥可伟以属看汤出订：庸信蚊号贯的绢主绣要佩能厚量方总召是恩集全中朴于心低为频种分竖量冒。忙另偿一疮方牢面浩，蓝传可输该信碑号栏的丢系嚼统夕都道具活有赠自恶己顾的膜频字率禽特疼性疾。悼因傍而复，弱工仿程利中元在眯传蚊输凭信隔号糊时朽，课没绸有只必兽要购一伸定鹅要慕把纷信计号汁的插所逢有朱频畏率树分统量冶都烟有垦效号传趁输盼，任而忙只嫌要后保谦证窑将眉占徐据伪信榆号泊能纯量傅主贸要宇部脾分班的蛮频衔率赴分琴量饱有溪效烂传头输说即邮可仁。丛为如此建，乏需源要良对蜻信贺号相定甩义膝带伙宽隆。驶通滴常殿有花如裙下涌定撑义的带相宽另的偷方忠法抬:2.对包络是形状的频谱，通常定义主瓣宽度(即频谱第一个零点内的范围)为信号带宽。

下降到最大值的时对应的频率范围,此时带内信号分量占有信号总能量的1/2。1.以万矩报形和脉串冲钻为旨例鸦，悟按葬带筝宽注的梦定殃义枕，上可狮以箱得鸽出姓，脉嚷宽割乘类以饥带陵宽洁等助于知常栋数损C(惯脉登宽夏带魔宽府积列)晓。鹿这聚清撕楚祖地辰反螺映栗了赖频果域浴和余时坛域阅的控相本反歇关端系蚁。4根.密2周课期污信虚号没的巡寿傅揪立票叶涨变鸦换到讯此水为狼止浮，夫我乞们傅对般周瓶期仿信谅号孝用贯傅乓立启叶纹级梢数喘表历示狗，劈燕非洞周订期劣信组号蚂用眯傅赵立猫叶付变缓换涂表德示呜。忽因那为畜数浅学言描蹦述腿方某法竹的霸不仔一夫致卵，窜在姥某似些繁情乏况镜下奶,顶会挽给糕我牲们劫带穿来阿不迫便痰。柔但驴由卫于针周汗期替信市号袍不究满总足D芽i邪r闭i盗c佳h焰l芒e蚕t条伸件引，壳因哭而延不场能林直蚊接景从深定放义甩出橡发混，瓶建池立呈其角傅沙立窄叶碗变叨换筋表绞示毕。T争h呈e悔F耐o陡u傍r西i暗e诱r勇T抖r便a膨n葡s泰f芬o训r予m热a雾t滩i煌o衡n否o衰f箩P把e帮r贤i巨o怀d围i铃c厦S紫i割g张n谈a宴l微s所对应的信号考查这挖表简明周补期毅性班复圾指之数臣信巩号怨的拢频哗谱块是球一指个展冲截激。于是当把周期信号表示为傅立叶级数时，因为就有周期信号的傅立叶变换表示若则

这表明：周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组成，每一个冲激分别位于信号的各次谐波的频率处，其冲激强度正比于对应的傅立叶级数的系数。例1：

例2：

例3：

均匀冲激串010例剑4银.峰周惭期燃性束矩才形赤脉捡冲014疏.板3连矮续沟时副间授傅丙立犁叶丧变供换惩的盟性腊质讨溜论街傅徐立朴叶陆变演换题的退性硬质障，因旨佳在似通慈过羊这罩些戏性做质芒揭罗示剑信端号抄时何域饲特拘性蔽与践频武域局特测性抖之溪间漆的裳关鲁系厕，川同乓时习掌款握花和撞运处用星这圾些蛙性辞质匙可跨以贡简仗化厅傅柔立织叶熟变钳换牧对廊的辨求厅取休。1霞.牢线总性庙:L贪i易n邀e象a变r锐i做t嚷y则P斩r疏o狠p睛e武r盛t丧i亡e南s粘o罗f爪t泥h朵e奶C调o刑n持t立i尝n啊u详o禾u白s束-恼T垃i篇m葡e胃F泡o俩u首r皱i分e稼r戒T亚r医a矩n偿s葡f凯o雁r段m若2态.祝时肢移柳:T苏i祥m督e面S猴h吧i牛f悔t炊i锹n兴g这星表困明族信镇号还的陕时药移赛只倍影奸响爆它俭的岸相昏频星特触性杯，守其顾相酒频循特周性她会徒增幕加讽一抵个隶线犹性爱相代移锻。则若3梨.掉共倾轭酸对床称铅性明:C乒o占n铜j册u债g扭a抄t夕e晴a读n购d握S蚀y辫m鸟m匀e贺t顷r臂y若

则所以即若是实信号，则于是有:由可得即实兴部抽是沙偶已函偷数虚朵部珍是骡奇勿函潜数若则可得出即扶：模恼是驼偶牺函猴数丛，车相踢位篇是泄奇猛函魄数若则可得如果即信号是偶函数。则表慈明碍：实持偶早信帐号近的羞傅斑立争叶绒变比换子是扛偶膨函私数扶。表明是实函数。若即信号是奇函数，同样可以得出:所以又因为表明是奇函数表明是虚函数若则有:例:的频谱:101/20-1/21/20将分解为偶部和奇部有4胶.布时悲域身微龄分卷与宝积篇分畜:D倍i音f铸f筛e失r沉e者n抖t雕i略a慨t在i葬o激n勿a绳n房诚d垮I术n压t沾e姜g蹈r径a膊t楚i倡o哗n(雨可泡将舟微字分圆运蜡算逗转碑变卫为朵代殖数逢运四算陕)(将两边对微分即得该性质)由时域积分特性从也可得到:（时域积分特性）则若5担.秩时薯域拢和换频哥域杂的框尺岭度继变隙换逐:S求c趋a稍l莫i功n弃g当时，有尺扭度颂变且换邻特斧性叨表腥明悔：信挑号优如泥果疏在君时体域更扩汁展见a亡倍队，哗则坑其丸带师宽痕相纽奉应掏压阵缩短a登倍喷，掘反叶之巴亦袖然下。这脑就秃从荒理锡论充上忘证马明骑了叶时李域谈与功频腥域晕的秆相年反良关痰系搬，仙也率证摘明棋了呆信绸号怜的唐脉堂宽绢带猎宽有积工等杰于胳常故数捆的戒结娘论假。则若时逼域秤中径的周压句缩耽（鹿扩市展魔）怠对瞒应静频流域眨中坡的舅扩羽展宴（快压卖缩各）6崭.摔对殿偶各性铜:D届u向a稀l凤i建t灭y若则证明：也可由得到证明。根据得这摧就宵是移井频柄特航性例如:由有对偶关系利用时移特性有再次对偶有由兆对镜偶兔性恒可招以粒方财便掠地毅将罪时叨域遍的谈某型些众特纹性娃对桶偶涛到侵频葱域由得所以频钟域止微尚分隶特相性该抵特板性讨也锣可拿由虹对吴偶杏性片从豪时威域俯微斥分贯特昌性漂得吉出训:由有利用时域微分特性有对再次对偶得频蛙域环微钩分壤特大性由场时棍域阿积萌分惨特复性洞，它可百对格偶们出址频泳域拨积旷分功特托性利惕用时舱域堪积户分网特原性再次对偶由有频有域朋积爪分示特改性7刮.P甲a头r须s荐e支v虎a袖l定开理眨:若则这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以在频域求得。由于表示了信号能量在频域的分布，因而称其为“能量谱密度”函数。4樱.棉4卷辞积究性星质T成h语eC哄o源n稿v冲o展l嘱u贤t大i越o霞n雾P辆r丧o姐p滋e袄r证t锦y一读.沈卷壶积决特妥性景：由慕于飘卷陆积批特轰性脖的糖存摄在赤，警使衫对L槽T左I系言统毅在需频右域夹进瘦行薄分挣析所成猪为向可旋能赌。逃本发质尤上宿，佣卷傅积子特热性学的也成跟立畜正巨是棒因湖为窄复琴指享数棍信仆号畅是夸一碑切L眉T损I系宰统忍的虑特卵征慕函默数骆。则若由表明：故夸有可将分解成复指数分量的线性组合，每个通过LTI系统时都要受到系统与对应的特征值的加权。这个特征值就是所以

由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过LTI系统时，系统对输入信号在幅度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。

鉴于与是一一对应的，因而LTI系统可以由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的频率响应都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对稳定系统。因为，稳定性保证了二省.L元T笼I系丛统词的段频丸域居分烤析浩法灯:根议据坏卷我积粥特乐性萝,位可膊以誓对L痕T秆I系博统赖进现行封频闹域构分魄析肆,喝其蜓过参程肝为纯:1.由2.根据系统的描述，求出3.4.4娱.缝5相激乘齐性结质T税h咸eM摊u倾l赞t甘i凉p宿l鸣i牛c弓a牢t龄i尾o锡n灭P柏r凡o铸p撇e色r愁t丛y利股用属对锦偶鸭性猴可铲以从撤卷乐积熔性接质芽得乎出锋相青乘杰性通质若则两酸个名信环号贿在围时仿域窑相卡乘泛，矩可升以刷看四成闹是漏由许一童个跪信患号蹦控仰制欲另绍一比个笼信冷号低的挖幅蹈度嚷，心这移就改是幅付度眯调反制。粘其明中狱一酒个残信跳号净称和为载佳波，历另枝一疗个嘴是调战制是信偿号。例1:移频性质例加2飘.正妇弦络幅有度恩调香制毯:1001/2正兵弦歼幅阶度菠调袜制童等晓效链于伟在芝频滴域炕将鸣调尾制笛信乒号喉的沾频与谱标搬赔移谷到晚载哄频挎位增置惨。例符3且.同典步变解抖调酱:1/21/41/4此时，用一个频率特性为的系统即可从恢复出。20只要即可。具缎有台此良频奖率拜特贷性筋的L而T样I系密统忆称蝴为理驻想员低亿通泄滤晓波夕器。例皇4柄.中锤心筑频晶率眠可辞变耻的贞带壳通琴滤牲波娘器侨：A1理想低通的频率响应1等亡效虑带膊通拴滤性波汤器

相当于从中直接用一个带通滤波器滤出的频谱。表明整个系统相当于一个中心频率为的带通滤波器，改变即可实现中心频率可变。4.6傅立叶变换的性质与傅立叶变换对列表(自学)工肚程粘实炼际窑中踏有争相包当符广杂泛轨的L确T影I系添统搞其炊输基入枯输门出蛇关游系铜可代以踏由洞一借个露线炊性赚常票系淘数免微富分名方屈程打描俗述耀。爷一孝般继形鸡式例的L笨C漫C票D糠E是始:4扭.猜7由菜线愁性控常紫系劲数易微沃分星方摩程酒表滨征阅的忆系猪统一晕.斥由L评C凡C歌D爹E描伏述度的L洁T婚I系泄统玻的趋频吴率鸣特裂性拾:S裁y蜻s辅t淘e尽m脆s咽C任h傻a笼r帖a简c大t老e葱r绑i那z雹e慕d优b守y辛L昌i念n武e坡a天r板C莫o威n怎s睁t唱a嫂n维t把-晨C勒o哲e秧f蜂f狸i姻c冰i航e觉n霸t养D宗i臭f叨f乎e马r知e宁n科t捕i坦a经l碗E钻q团u莫a艰t芬i涨o亦n迁s由于是一切LTI系统的特征函数，因此，当系统的输入为时，系统所产生的响应就是。表明在的情况下，求解LCCDE即可得到。但是这种方法太麻烦，很少使用。对L馋C柴C行D韵E两迟边析进形行询傅扁立斤叶兆变任换博有别：由于

可见由LCCDE描述的LTI系统其频率特性是一个有理函数。由此可以看出，对由LCCDE描述的LTI系统，当需要求得其时(比如时域分析时)，往往是由做反变换得到。对日有北理炸函永数雅求遣傅从立乱叶训反愈变树换底通除常圈采休用部毅分疲分凤式雕展版开和利推用帅常笼用坝变赏换蜻对进叶行餐。二斥.多频助率辈响占应所的咸求毫法蛮：1