大学-数学专业-空间解析几何-第二章-平面与方程课件

高等院校本科数学课程——空间解析几何大学数学（一）第六讲平面的方程

脚本编写：教案制作：高等院校本科数学课程——空间解析几何大学

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量.(垂直于平面内的任一向量)．已知平面的法向量一、平面的方程则平面上的任一点满足几何条件代入向量的坐标1.平面的点法式和一般式方程是平面上的一定点，如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向平面的点法式方程平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．其中法向量已知定点平面的点法式方程平面上的点都满足上述方程，不在平面上解：由点法式方程，得所求平面方程为2(x

1)+3(y3)4(z+2)=0,2x+3y4z19=0.例4.1求过点M0(1,3,2)且以n=(2,3,4)为法向的平面方程.即解：由点法式方程，得所求平面方程为2(x1)+3(y例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面的方程。解：因为矢量M1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一个法矢量为n={1,1,-2}.又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求由平面的点法式方程平面的一般(式)方程法向量结论：平面方程是三元一次方程，任意三元一次方程的图形是一平面.由平面的点法式方程平面的一般(式)方程法向量结论：平面方程是zyOx

Ax+Cz+D=0,B=0特殊三元一次方程表示图形特点这个平面平行y轴.

平面的一般方程zyOxAx+Cz+D=0,B=0特殊三元一次方程表示图形平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面过轴；平面平行于坐标面；类似地可讨论情形.类似地可讨论情形.平面平行于轴；平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面过例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.解:由于平面过x轴,所以A=D=0.设所求平面的方程是By+Cz=0又点(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程为By

3Bz=0即:y

3z=0平面的一般方程xzyO例3:求通过x轴和点(4,3,1)的平面方程.平面的一般方程例2求通过点且平行于轴的平面的方程.解:设平行于轴的平面的方程为因为通过点所以有因此所求方程为平面的一般方程例2求通过点且平行于轴的平面的方程.解:设平行例2求通过点且平行于轴的平面的方程.解法二：轴方向为即因此平面方程为即例2求通过点且平行于轴的平面的方程.解法二：轴方向为即因此平设平面为将三点坐标代入得解设平面为将三点坐标代入得解将代入所设方程平面的截距式方程得将代入所设方程平面的截距式方程得把平面方程化为截距式解例6把平面方程化为截距式解例614例4.2.求过点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和

M3(0,2,3)的平面方程.OxyzM1M2M3从图知，M1,M2,M3不共线，即三点不在同一直线故可唯一确定一平面.如何验证？如何求？例4.2.求过点M1(2,1,4),M2(1解：由于=(3,4,6)(2,3,1)=(14,9,1)0.故M1,M2,M3不共线.为所求平面之法向.过点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和

M3(0,2,3)的平面方程.n解：由于=(3,4,6)(2,3,1)=故得平面方程为：=14(x2)+9(y+1)(z4)=14x+9yz15=0,或=14(x+1)+9(y3)(z+2)=14x+9y－z15=0.(xx1,yy1,zz1)n(xx2,yy2,zz2)n过点M1(2,1,4),M2(1,3,2)和

M3(0,2,3)的平面方程.n故得平面方程为：=14(x2)+9(y+1)(z4)根据向量混合积的计算公式即得：平面的三点式方程.

n一般地，设平面过M1,M2,M3三点,

M1,M2,M3不共线.即则得平面方程为：根据向量混合积的计算公式即得：平面的三点式方程.n一般地，设平面的点向式方程.

n三向量共面根据向量混合积的计算公式即得：平面的点向式方程.n三向量共面根据向量混合积的计算公式即得：1、平面的方向向量在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b，则通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。向量a,b称为平面的方向向量。bxyzaM0O1、平面的方向向量在空间给定一个点M0与两个不共线2、平面的向量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e2,e3},并设点M0的向径OM0=r0,平面上的任意一点M的向径为OM=r，M0M=ua+vb又因为M0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）称为平面的向量式参数方程。bxyzaM0MOr0r显然点M在平面上的充要条件为矢量M0M与a,b共面，因为a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：2、平面的向量式参数方程在空间，取标架{O；e1,e3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0,z0),(x,y,z),则r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并设a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}，则由（1）可得（2）式称为平面的坐标式参数方程。r=r0+ua+vb（1）bxyzaM0MOr0r{x,y,z}={x0,y0,z0}+u{X1,Y1,Z1}+v{X2,Y2,Z2}，3、平面的坐标式参数方程若设M0，M的坐标分别为(x0,y0大学-数学专业-空间解析几何-第二章--平面与方程课件作业P1181.(1)2.6.作业P1181.(1)2.6.高等院校本科数学课程——空间解析几何大学数学（一）第七讲空间直线的方程

脚本编写：教案制作：高等院校本科数学课程——空间解析几何大学确定空间直线的条件由两个平面确定一条直线；由空间的两点确定一条直线；由空间的一点和一个方向来确定一条直线.空间直线的方程确定空间直线的条件空间直线的方程定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程§

2.2空间直线的方程（注：两平面不平行）一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程§2.2方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．二、空间直线的对称式方程方向向量的定义：如果一非零向量平行于一条已知直线，这2.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0)点方向向量s={m,n,p}所以得比例式(2)称为空间直线的点向式方程.//2.直线的对称式方程已知直线L过M0(x0,y0,z0整理得：由直线的点向式方程整理得：由直线的点向式方程大学-数学专业-空间解析几何-第二章--平面与方程课件大学-数学专业-空间解析几何-第二章--平面与方程课件直线的另外一种表达式两点式设l:过点

M0(x0,y0,z0),M1(x1,y1,z1).则l:直线的另外一种表达式两点式设l:过点M0(x0,y三、空间直线的参数式方程直线的一组方向数令方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的坐标式参数方程由直线的点向式方程三、空间直线的参数式方程直线的一组方向数令方向向量的余弦称为直线的坐标式参数方程直线的向量式参数方程直线的坐标式参数方程直线的向量式参数方程例4.7求过点A(1,1,1)，B(1,2,3)的直线l的点向式方程、坐标式参数方程.解：l的方向则得l的点向式方程坐标式参数方程例4.7求过点A(1,1,1)，B(1,2,3例求两直线和的交点．解：交点为将代入(1)得因此交点为例求两直线和的交点．解：交点为将代入(1)得因此交点为例1求通过点P(1,1,1)且与两直线都相交的直线的方程。解：

因为L与L1，L2都相交，且L1过点M1(0,0,0),方向向量为s1={1,2,3},L2过点M2(1,2,3)，方向为s2={2,1,4}PL1L2vM1M2s1s2例1求通过点P(1,1,1)且与两直线都相交的直线的方程。故所求直线的方程为因为L与L1，L2都相交，且L1过点M1(0,0,0),方向矢为s1={1,2,3},L2过点M2(1,2,3)，方向为s2={2,1,4}P(1,1,1)过与的平面方程为即过与的平面方程为即PL1L2M1M2s1s2故所求直线的方程为因为L与L1，L2都相交，且L1过点M1(作业P1189.(1)

10.(1)

14.(1)

18.(1)(2)

作业P1189.(1)10.(1)14.(1)18高等院校本科数学课程——空间解析几何大学数学（一）第八讲点、直线和平面的相关位置

脚本编写：教案制作：高等院校本科数学课程——空间解析几何大学Π1Π2n2n1两个法向量相互垂直Π1Π2n2n1两个法向量相互垂直Π2Π1n1n2这时两个平面的法向量相互平行//Π2Π1n1n2这时两个平面的法向量//定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.§

2.3两平面的相关位置定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.§按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：例1研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角例1研究以下各组里两平面的位置关系：解两平面相交，夹角两平面平行两平面平行但不重合．解：例1研究以下各组里两平面的位置关系：两平面平行两平面平行但不重合．解：例1研究以下各组里两两平面重合.解：例1研究以下各组里两平面的位置关系：两平面重合.解：例1研究以下各组里两平面的位置关系：设平面为由平面过原点知所求平面方程为解设平面为由平面过原点知所求平面方程为解取法向量化简得所求平面方程为解取法向量化简得所求平面方程为解定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角．§

2.4直线与平面的相关位置定义直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//例1:判定下列各组直线与平面的关系.解:L的方向向量s={2,7,3}的法向量n={4,2,2}s

n=(2)4+(7)(2)+3(2)=0又M0(3,4,0)在直线L上,但不满足平面方程,所以L与平行,但L不在内.例1:判定下列各组直线与平面的关系.解:L的方向向解:L的方向向量s={3,2,7}的法向量n={6,4,14}L与垂直.

L的方向向量与的法向量平行，

解:L的方向向量s={3,2,7}的法解:L的方向向量s={3,1,4}的法向量n={1,1,1}s

n=31+1

1+(4)

1=0又L上的点M0(2,2,3)满足平面方程，所以,L在平面内.解:L的方向向量s={3,1,4}的法解为所求夹角．解为所求夹角．例8

用点法式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点取解得点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取例8用点法式方程及参数方程表示直线解在直线上任取一点因所求直线与两平面的法向量都垂直取点法式方程参数方程解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.点坐标因所求直线与两平面的法向量都垂直取点法式方程参数方程解题思路解例4解例4直线与平面的交点直线与平面的交点分析:关键是求得直线上另外一个点M1.M1在过M且平行于平面P的一个平面P1上,待求直线又与已知直线相交,交点既在P1上,又在L上,因此M1是L与P1的交点.

例2求过点M(-1,2,-3),且平行于平面又与直线相交的直线方程.PMLP1M1分析:关键是求得直线上另外例2求过点M(

例2求过点M(-1,2,-3),且平行于平面又与直线相交的直线方程.解

过M作平行于平面P的一个平面P1

PMLP1M1求平面P1与已知直线L的交点P1:

即P1:例2求过点M(-1,2,-3),且平行

例2求过点M(-1,2,-3),且平行于平面又与直线相交的直线方程.PMLP1M1求平面P1与已知直线L的交点例2求过点M(-1,2,-3),且平行PMLP1M1

例2求过点M(-1,2,-3),且平行于平面又与直线相交的直线方程.因此所求直线方程为PMLP1M1例2求过点M(-1,2,-3定理3.9判定空间两直线相关位置:直线直线(1)异面：§

2.5空间两直线的相关位置定理3.9判定空间两直线相关位置:直线直线(1)异面：§定理2.6判定空间两直线相关位置的充要条件为(2)相交：(4)平行：(3)重合：

L1L2P1P2定理2.6判定空间两直线相关位置的充要条件为(2)相交：(定义直线直线两直线的方向向量的夹角（锐角）称为则两直线的夹角公式：三、两直线的夹角两直线的夹角.定义直线直线两直线的方向向量的夹角（锐角）称为则两直线的夹角两直线夹角的特殊情况：直线直线例如，s1={m1,n1,p1}s2={m2,n2,p2}两直线夹角的特殊情况：直线直线例如，s1={m1,n1,解:直线L1,L2的方向向量s1={1,4,1}

s2={2,2,1}有:所以:解:直线L1,L2的方向向量s1={1,4,1}解先作一过点M且与已知直线垂直的平面再求已知直线与该平面的交点N,令MNL解先作一过点M且与已知再求已知直线与该平面的交点N,令MNL解令MNL代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为可以推出解令MNL代入平面方程得,交点取所求直解MNL代入平面方程得,交点取所求直线的方向向量为所求直线方程为解MNL代入平面方程得,交点取所求直线因此,所求直线方程为例1求过点(1,0,-2)且与平面3x+4y-z+6=0平行,又与直线垂直的直线方程.解:设所求线的方向向量为已知平面的法向量已知直线的方向向量取因此,所求直线方程为例1求作业P11913.(1)

12.(1)(2)16.

(2)18.(3)(4)

26.(1)作业P11913.(1)12.(1)(2)16.(2高等院校本科数学课程——空间解析几何大学数学（一）第九讲点、直线和平面之间的距离平面束

脚本编写：教案制作：高等院校本科数学课程——空间解析几何大学外一点,求

设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为点到平面的距离公式一、点到平面的距离外一点,求设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的例如:求点A(1,2,1)到平面:x+2y

+2z10=0的距离例如:求点A(1,2,1)到平面:x+2y在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），空间直线与点距离LdP1是L外一点,设直线L,求P0到L的距离d.设为L上任一点，如图SS又于是点到直线的距离公式空间直线与点距离LdP1是L外一点,设直线L,求P0到L的距例10求点(5,4,2)到直线的距离d.解LdP1例10求点(5,4,2)到直线的距离d.解LdP1二、两异面直线间的距离与公垂线的方程1、两异面直线间的距离设两异面直线L1，L2与其公垂线L0的交点为N1，N2，则L1与L2之间的距离L0L2L1N2N1M2M1s2s1二、两异面直线间的距离与公垂线的方程1、两异面直线间的距离设L0L2L1N2N1M2M1s2s1L1L2L0L2L1N2N1M2M1s2s1L1L22、两直线的公垂线方程公垂线可看为由过L1上的点M1，以s1,s1s2为方位矢量的平面与过L2上的点M2，以s2,s1s2为方位矢量的平面的交线，因此，公垂线的方程为：其中{X，Y，Z}为s1s2的分量。L0L2L1N2N1M2M1s2s12、两直线的公垂线方程公垂线可看为由过L1上的点M例2已知两直线试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的方程。解：所以L1与L2为异面直线。又s1s2={0,0,2},所以例2已知两直线试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的公垂线为例2已知两直线s1s2={0,0,2},所以轴.过与的平面方程为过与的平面方程为L0L2L1N2N1M2M1s2s1公垂线为例2已知两直线s1s2={0,0,2},所以轴第五节平面束一、平面束1、有轴平面束：空间通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴平面束，该直线称为平面束的轴。第五节平面束一、平面束1、有轴平面束：空间通过平面束通过定直线L的所有平面的集合称为该直线L的平面束.构造平面族:（t为任意实数）

A1x+B1y+C1z+D1+t(A2x+B2y+C2z+D2)=0即(A1+tA2)x+(B1+tB2

)y+(C1+tC2)z+(D1+tD2)=0(*)L设直线L的一般方程为:

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0平面束通过定直线L的所有平面的集合称为该事实上设为L外任一点，可取则1.

(*)式为过直线L的平面方程.2.过L的任何平面(∏2除外)都包含在(*)所表示的平面族内.构造平面族:（t为任意实数）

A1x+B1y+C1z+D1+t(A2x+B2y+C2z+D2)=0即(A1+tA2)x+(B1+tB2

)y+(C1+tC2)z+(D1+tD2)=0(*)L：A1x+B1y+C1z+D1=0：A2x+B2y+C2z+D2=0则M0满足(*).因为L上点的坐标必满足(*).事实上设例3求过直线L和点M0(1,2,3)的平面方程.解设的方程为：(*)L例3求过直线L和点M0(1,2,3)的平面方程.解解:显然,L是过L1且垂直于的平面1与的交线.故先求1.设过直线L1的平面束方程为:例1求直线

在平面