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文档简介
章质点力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系动力学的主要内容动力学所涉及的研究内容包括:1.动力学第一类问题——已知系统的运动,求作用在系统上的力。2.动力学第二类问题——已知作用在系统上的力,求系统的运动。
Issac
Newton(1643-1727)杰出的英国物理学家,经典物理学的奠基人.他的不朽巨著《自然哲学的数学原理》总结了前人和自己关于力学以及微积分学方面的研究成果.他在光学、热学和天文学等学科都有重大发现.
牛顿导读牛顿三定律、惯性、力惯性系、非惯性系、惯性力力学相对性原理、伽利略变换§1.4
质点运动定理惯性:
物体保持其运动状态不变的性质力:物体间相互作用1牛顿运动方程任何物体如果没有受到其它物体的作用,都将保持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律牛顿第一定律它不仅说明了物体具有惯性的性质,还为整个力学体系选定了一类特殊的参考系——惯性参考系mgFT惯性系牛顿定律成立的参考系非惯性系相对于惯性系作加速运动的参考系y´x´惯性系与非惯性系牛顿第二定律动量:注意:质点惯性系瞬时性矢量性牛顿第三定律注意:二力同时存在,
分别作用于两个物体上,属同一性质的力例鸵鸟是当今世界上最大的鸟,有人说它不会飞是翅膀的退化.但是如果它长一副和身体成比例的翅膀,它能飞起来吗?解:飞翔的条件是空气的上举力至少等于体重.空气上举力(与空气阻力一样的公式)为:式中C为比例常数,S为翅膀的面积,飞翔的条件,即我们做简单的几何相似性假设,设鸟的几何线度为l,质量m~
l3,S~l2,于是起飞的临界速度燕子最小滑翔速度大约20km/h,鸵鸟体长是燕子的大约25倍,显然它要飞翔的速度最少是燕子的5倍,这是小型飞机的起飞速度,鸵鸟奔跑的速度实际上只有40km/h.思考问题:拔河比赛胜负的关键是什么?摩擦力的大小,大者赢马德堡半球是用两队各8匹马向相反方向拉开的,如果一端拴在固定物上,另一端需要几匹马,才能拉开半球?还是8匹大人国是否能够存在,利用几何相似性分析之.不可能,重力就会压坏他2力学相对性原理和伽利略变换(i)力学相对性原理力学定律在一切惯性系中数学形式不变
对于描述力学规律而言,一切惯性系都是平权的、等价的。
在一个惯性系中所做的任何力学实验,都不能判断该惯性系相对于其它惯性系的运动。《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》伽利略1632
舟行而不觉(ii)牛顿的绝对时空观绝对的空间,就其本性而言,是与任何外界事物无关而永远相同和不动的。绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着,而且由于其本性而均匀地与任何外界事物无关地流逝着。
——牛顿长度的量度和时间的量度都与参考系无关!?(iii)
伽利略变换在两个惯性系中考察同一物理事件两个惯性系:一物理事件:质点到达P
点两个惯性系的描述分别为:两个描述的关系称为变换坐标原点重合逆变换正变换伽利略变换中默认了绝对时空速度变换:x轴方向有相对匀速运动空间有相对匀速运动加速度变换:经典力学规律具有伽利略变换不变性:小结任何物体如果没有受到其它物体的作用,都将保持静止状态或匀速直线运动状态.惯性定律牛顿第一定律牛顿第二定律动量:注意:质点惯性系瞬时性矢量性牛顿第三定律注意:二力同时存在,
分别作用于两个物体上,属同一性质的力
力学相对性原理力学定律在一切惯性系中数学形式不变伽利略变换逆变换正变换§1.5
质点运动微分方程导读运动微分方程建立运动微分方程求解
解微分方程:(1)受力分析万有引力、弹性力、电磁场对电荷的作用力、摩擦力、介质阻力等.建立运动微分方程1.自由质点(2)化为标量方程直角坐标系
平面极坐标•自然坐标(3)初始条件(4)求解运动微分方程2.非自由质点解决方法:去掉约束,用约束反作用力代替
运动微分方程
解方程与自由质点一样
注意(1)一般未知,加约束方程(2)用自然坐标系很方便
1)光滑约束,约束力在轨道的法平面内(1)式求出运动规律,(2)和(3)解出约束力.2)非光滑约束4个方程4个未知数,可解例题1力仅是时间的函数自由电子在沿x轴的振荡电场中运动:电子受力:由积分得例题2力是速度的函数在具有阻力的媒质中运动的抛射体分析:受力mgR运动微分方程
用自然坐标系分解(运动方向为正)两式相比可解出本问题还可在直角坐标系中处理,见P25因此:消去参量可得运动方程例题3力是坐标的函数原子在晶体点阵中的运动可解得初始条件:令直角坐标分解:运动微分方程:三维简谐振动受迫振动LRC电路例题4质量为m的质点,在有阻力的空气中无初速地自离地面为h的地方竖直下落,如阻力与速度成正比(mkv),试求运动方程。解:受力建一维直角坐标系,分解运动微分方程积分速度
匀速直线运动讨论:t增加,运动方程如阻力与速度平方成正比(mk2gv2),见P30例题5
小环的质量为m,套在一条光滑的钢索上,钢索的方程式为.试求小环自x=2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。解微分方程组可得自然坐标,运动方向为正运动微分方程解:受力:小结自由质点非自由质点受力分析写出运动微分方程矢量式建立适当的坐标系分解标量方程解微分方程§1.6
非惯性系动力学惯性系牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。非惯性系相对于惯性系做加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿定律不成立。S系:静系移项于是S’系:动系mgT物理意义惯性力反映参照系不是惯性系惯性力不是物体间的相互作用,没有施力者,也不存在反作用力惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现。在非惯性系中,牛顿运动定律表示为:例5升降电梯相对于地面以加速度a
沿铅直向上运动。电梯中有一轻滑轮绕一轻绳,绳两端悬挂质量分别为m1和m2的重物(
m1>m2
)。求:(1)物体相对于电梯的加速度;(2)绳子的张力。解:消去§1.7
功与能功、能量定义势能、动能保守力系导读1什么是能量?什么是功?麦克斯韦定义:能量是一个物体具有的做功能力.一般功的定义:物体能量改变的度量.循环定义!!所以必须先给出其中一个物理量确切的定义!(本教材定义)功:凡是作用在物体上的力,使得物体沿力的方向上移动了位置,就说力对物体做了功.一般来说,功等于力乘以物体在力的方向所产生的位移.功的单位:J质点沿曲线L
从a
运动到b力F
所做的功:例重力的功y1y2abyxm例弹性力的功x2box1mxamFx例平方反比力Mabc万有引力、电磁力等合力的功:合力的功等于各分力的功的代数和.功率:2能
物体处在某一状态所具有的能量能是状态量,功是过程量,是能量变化的量度机械能
物体相对位置发生变化V3保守力、非保守力与耗散力力场:假如力仅是坐标x、y、z的单值的、有限的和可微的函数,则在空间区域每一点上,都将有一定的力作用着,这个空间叫做力场.如果力是一个单值、有限和可微函数的负梯度,即则为一个全微分.显然这个力作用物体在空间运动一个闭合曲线做功为零.保守力:使物体运动任一闭合路径作功等于零的力做功与经历的路径有关的力(又叫涡旋力)保守力做功与路径无关非保守力:耗散力:做功与经历的路径有关,但总是做负功的力.例如:摩擦力例子(i)重力(ii)弹性力(iii)平方反比力4
势能函数在物体从位置a移动到b时,保守力做功为
显然知道了V和空间位置,我们就知道了物体运动做功的大小.所以我们用V可以完全替代保守力的做功概念.这时引入势能函数的概念.势能:由相互作用的物体的相对位置所确定的系统能量称为势能定义式:保守力作功在数值上等于系统势能的减少例子:重力势能、弹性势能、引力势能势能属于系统势能的大小只有相对的意义势能零点存在人为因素
取r0点为势能零点,则任意一点r的势能为:
空间某点的势能
V
等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功.关于势能的几点说明重力势能:(h=0为势能零点)弹性势能:(弹簧自由端为势能零点)引力势能:(无限远处为势能零点)例题1设作用在质点上的力是求此质点沿螺旋线运行自时,力对质点所做的功.解:力是否保守力?力是保守力,做功与路径无关势函数例题2接上题条件,若可以证明做功与路径有关不存在势函数小结功、能量定义势能、动能保守力系物体相对位置V势能函数§1.8
质点动力学的基本定理与基本守恒律导读
动量定理与动量守恒律力矩与动量矩(角动量)
动量矩定理与动量矩守恒律动能定理与机械能守恒律势能曲线牛顿运动定律:如果力的作用时间从,质点动量从
1质点动量定理:质点在运动过程中,所受合外力的冲量等于质点动量的增量平均冲力:F(t)Ft冲量:质点所受合外力为零时,质点的动量保持不变条件:动量守恒定律
动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律之一,它不仅适合宏观物体,同样也适合微观领域则但分量形式:若意义:质点不受外力作用时,动量保持不变.则若(1)对定点的力矩设作用力作用于矢径为的某一点上单位:N·m作用力对参考原点O的力矩定义为:Od2力矩与动量矩力矩的大小:力矩的方向:
位矢与作用力的矢积方向力臂:作用力线到参考点O的垂直距离(d=rsin)Odzd对转轴力矩的定义:
在垂直于转轴的平面内,外力与作用力线到转轴的距离d的乘积定义为对转轴的力矩.对于定轴转动,规定:力矩逆时针方向为正.力矩顺时针方向为负.(2)对定轴的力矩求作用力对空间某轴的力矩,考虑分量,力对原点的力矩为Fxyz(L)FyFzO上式中三个分量是力矩在三个坐标轴的分量,也就是力分别对三坐标轴的力矩.所以求力对轴的力矩,可以先求对轴上一点的力矩,再投影到轴的方向.(3)力偶如果两个平行力F2=-F1=F,但不作用在同一直线上,此时二者合力为零,但是对空间任何一点的力矩不为零.F1F2O1O2ABP为力偶面内的任何一点,则二力对P的总力矩值为力偶矩是力偶唯一的力学效果,是矢量.但这个矢量可以用垂直力偶面的任一直线表示,方向用右手螺旋法则确定.由于力偶矩可作用于力偶面上任何一点,这种矢量是自由矢量.像力等不能改变作用线的矢量叫滑移矢量.力偶的任一力和两力作用线间垂直距离的乘积,等于两力对垂直于力偶面的任意轴线的力矩的代数和.O1O2称为力偶臂.力与力偶臂乘积为力偶矩.-FFM(4)质点的动量矩定义:动量对空间某点或某轴的矩,叫做动量矩,也叫角动量o质点对O点的动量矩:kg·m2·s-1质点对轴的动量矩:按动量矩的定义:两边对时间求导:其中:所以:又
质点所受的合外力矩就等于角动量对时间的变化率.动量矩定理:3质点的动量矩定理质点的动量矩守恒定律:若质点不受力的作用,或者虽然受力但是合外力矩为零,则质点的动量矩守恒。
合外力矩的冲量矩等于质点系动量矩的增量。例2、一质点所受的力,如通过某一个定点,则质点必在一平面上运动,试证明之.解:
力所通过的那个定点叫做力心.如取这个定点为坐标系的原点,则质点的位矢r与F共线,二者的矢量乘积为零,故L为一恒矢量.所以:(1)(2)(3)用x乘(1),y乘(2),z乘(3),并相加得由解析几何,知上式代表一个平面方程,故质点只能在这个平面上运动.(1)动能定理单位:J
动能4动能定理和机械能守恒定律牛顿方程经过数学运算得到质点动能定理微分形式质点动能定理:(2)机械能守恒定律
如果一个系统只有保守内力内作功,非保守内力和一切外力都不做功,那么系统的总机械能保持不变.这个系统也常称为保守系.力是保守力第一积分或初积分如果方程对时间的一次微商就是牛顿运动微分方程,就称上式为牛顿运动方程的第一积分或初积分.
数学上:二阶微分方程降为一阶物理上:力学量G是一个守恒量物理意义明显的初积分:动量守恒、动量矩守恒、能量守恒由初积分出发问题的求解简化了一步优先使用守恒律(3)保守系与时间反演对称性时间反演:相当于电视片的倒放效果理论:每个质点都满足牛顿运动定律做时间反演,动量也反向,右端不变.因保守力只与质点的相对位置有关,它是时间反演不变的.所以可逆过程能够发生.摩擦力不是保守力.例题重锤,轻杠,固定o点,在竖直平面内圆周运动,自由落下,用两种方法,求最低点的速度.解1:受力分析:mgT
机械能守恒:mgTP0v积分变量变换解2:运动微分方程自然坐标系切向向上为+5一维势能曲线物体一维运动的势能曲线x0A’A’’AB’B’’CBE1E2V(x)x对一维运动,只要力是坐标的单值函数,一定是保守力.(i)保守力指向势能下降的方向,大小正比于势能曲线的斜率(ii)总能量E水平线在各点相距下边势能曲线的高度,代表质点在该处的动能.由于经典动能为正,所以水平线低于势能曲线的区间,是具有该能量的质点不能达到的地段(势垒).(iii)势能曲线在局部的最低(极小)点,都是稳定平衡点.总能量略高于它们的质点,只能在它们附近一定范围内活动.势能曲线在局部的最高(极大)点,都是不稳定平衡点.总能量略高于它们的质点,都会远离而去.(iv)在势能曲线任何极小点附近,质点可能围绕着它做小振动.可以如下计算振动周期(v)以A点(x0)为例,计算小振动的振动周期显然势能在这里一阶导数为零,二阶导数大于零.在x=x-x0不大的范围内,把势能函数展开成泰勒级数:对于小振动,我们忽略三阶及以上的小量.由于坐标原点选择具有任意性,我们设x0=0,x=x,V(x0)=0,上式简化为:,这代表一根抛物线.将机械能守恒定律改写为由此得方程:或者为了积分方便,换元令从而这样,上述方程化为:两边积分还原到x,有周期T的意思是,当t变化到t+T,变化到+2,x回到原来的数值.所以动能:物体由于运动而具有的能量如何定量!!伽利略:重的东西在坠落时所获得的冲力(动能),足够使它回到原来的高度.yxvOdyhdsP质点P以速度v沿任意光滑曲线向上冲,看它能够上升的高度从牛顿运动方程,经过计算做功得到物体由于运动而具有的能量yxvOdyhdsP亦即,描述运动的能量在数值上与重力势能相等,给出动能的表达式应为这导致了一个形式方程解:这是一维运动,物体的速度为例题分析如图势能平衡点的稳定性ACBDF在A、B、C和D,dU/dx=0,均有Fx=0.但是,由于各点附近曲线的形状不同,将导致不同的结果.
A、C两点是势能曲线的极小点,有d2U/dx2>0,即ACBDF说明力F是回复力,意味着在这两点的平衡是稳定平衡.在B点,平衡是不稳定的.在D点,U是常量,平衡被称为随遇平衡,最后在F点,Fx>0,质点将向右运动.在上图中,某些区域T=E-U<0是经典力学禁止的,而在量子力学中质点可以以一定的概率进入.ACBDF例1、单摆是由一质量为m的质点用长为L的弦或者轻杆悬挂在点O构成的.假定弦不能伸长,且质量可以忽略.研究单摆的运动规律.OLFTmg解:
分析受力,得到运动方程为径向:横向:(1)(2)改写方程(2)对于小角度,sin~,方程简化为通解为考虑初始条件(3)得到解对于一般情况,方程(3)可积分一次得到完整的解需要特殊函数,我们作图可以看出:角度越大,频率越低,不是固定频率的形式.其实只要我们简单考虑(3)就可以看出频率随角度的变化例2、单摆是由一质量为m的质点用长为l的轻杆悬挂在某点构成的.假定弦不能伸长,且质量可以忽略.(1)以角度为参数做势能曲线,说明图上哪个范围是小球能够达到的;(2)对于H=E/mgl=0.1,1,2,3.5,试做角速度与角位移曲线,并讨论它们各自对应的单摆运动情况;(3)
求小振幅时的周期.lmg解:
(1)单摆的重力势能为曲线如图所示,它在=0处有极小值,即这里是稳定平衡点.表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表动能Ek.因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线低于水平线的范围内才能实现,则虚线的位置标示着振幅.V/mgl当H=0.1时振幅很小,曲线是一个椭圆;H=2对应于振幅为的情况,曲线仍闭合,但两端凸出略呈尖角状;H=3.5时曲线分裂成上下两支,分别对应于摆锤顺时针和逆时针的旋转;H=2是介于往复摆动与单向旋转之间的临界状态,它在两端交叉成尖角,此处对应于摆锤在正上方的不稳定位置.这条把两种运动形式分开的曲线称为“相分界线”.(2)摆锤的速度,故动能为,从而或者所以分别把给定的H值带入,则由每个值就可以画出角速度与它的关系.(见上图)(3)线位移x=l,计算势能在平衡点的二阶导数:周期为:例3、弹簧振子一质量为m的质点连接一个轻质弹簧,弹簧振子的弹性系数为k.(1)做V(x)-x曲线,说明图上哪个范围是振子能够达到的;(2)对于E,2E,3E,试做速度与位移曲线,并讨论其对应的运动情况;(3)
求弹簧振子的周期.x0mxkmf解:(1)振子的势能为:曲线是一条抛物线.在x=x0
=0处有极小值,即这里是稳定平衡点.表示总能量E的水平线与势能曲线之间相差的高度代表动能Ek.因为动能恒正,所以运动只能在势能曲线低于水平线的范围内才能实现,虚线的位置为其振幅.(2)振子的总能量为显然,无论能量(或者振幅)大小,轨迹总是椭圆.(3)计算势能在平衡点的二阶导数:弹簧振子的周期为:-1-212-1123例4、如图为一倒摆装置,螺旋弹簧把它支撑在=0的平衡位置上,摆锤在重力和弹性力的共同下运动,试从它的势能曲线讨论其运动的稳定性.解:弹簧服从胡克定律,即其弹性势能为倒摆的重力势能为平衡位置对应于势能的极值上述方程可以用作图法来求解(如图).即找到两条曲线的交点,显然=0总是解;但是还可能存在解,(1)当k/mgl>1时(弹簧硬,或者摆短)不再有交点;(2)当k/mgl<1时(弹簧软,或者摆长)左右对称的交点;(3)当k/mgl=1时是临界状态.为了分析平衡位置的稳定性,需要考虑势能的二阶导数证明:
在中央平衡点=0处,当k/mgl>1时二阶导数为正,是稳定点.当k/mgl<1时二阶导数为负,是不稳定平衡点,即中央失稳.可以证明这时另外两个平衡点二阶导数为正,是稳定平衡点.
从相图知:(i)k/mgl>1时,相轨都是围绕中央唯一平衡点的闭合曲线,(ii)k/mgl<1时,中央为极大值,势能V=0.若E>0,相轨是一条闭合曲线,摆锤作大幅度摆动,左右仍是对称的.当E<0时,相轨分裂为两个较小的闭合曲线,它们各自围绕左右两个稳定的平衡点运动.对应于E=0的相轨是分界线,它呈“8”字形,在中央自我交叉.倒摆的势能曲线和相图左(i)k/mgl>1右(ii)k/mgl<1例5、质量为m的小环套在半径为R的光滑大圆环上,后者绕竖直轴以匀角速度转动.试用势能曲线讨论小环的运动.解一:在随大环转动的参照系内只有一个坐标参量,是一维运动
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