人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》

人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》/人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》因动点产生的等腰三角形问题例12017年重庆市中考第25题如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的均分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长；2）如图1，求证：HF＝EF．3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明原由．图1图2例22017年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过1(0,0)和(a,)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)．1）求a、b、c的值；2）求证：在点P运动的过程中，⊙P向来与x轴订交；3）设⊙P与x轴订交于M(x1,0)、N(x2,0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图11人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》例32018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ90°．1）求ED、EC的长；2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图例42017年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；3）在直线l上可否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有切合条件的点M的坐标；若不存在，请说明原由．图1例52017年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．1）求点B的坐标；2）求经过A、O、B的抛物线的分析式；（3）在此抛物线的对称轴上，可否存在点P，使得以点P、O、B为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明原由．2人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》图1例62017年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比率函数y4x的图象交于点A，且与x轴3交于点B．1）求点A和点B的坐标；2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为极点的三角形的面积为8？②可否存在以A、P、Q为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明原由．图13人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》因动点产生的等腰三角形问题答案例12017年重庆市中考第25题如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的均分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．1）如图1，若点H是AC的中点，AC＝23，求AB、BD的长；2）如图1，求证：HF＝EF．3）如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明原由．图1图2动感体验请打开几何画板文件名“15重庆25”，拖动点E运动，可以体验到，△FAE与△FDH保持全等，△CMF与△CAE保持全等，△CEF保持等边三角形的形状．思路点拨1．把图形中所有30°的角都注明出来，便于搜寻等角和等边．2．中点F有哪些用途呢？联想到斜边上的中线和中位线就有思路构造辅助线了．满分解答（1）如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝23，因此AB＝43．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝3，因此DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝43，由勾股定理，得BD＝213．2）如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE均分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝1AD．在Rt△ADH中，DH＝1AD．因此AE＝DH．22因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，因此FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．4人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》因此∠FAE＝∠FDH．因此△FAE≌△FDH．因此EF＝HF．图3图4图5（3）如图5，作FM⊥AB于M，联系CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．因此FM＝1AD，△ACM是等边三角形．21又因为AE＝AD，因此FM＝EA．又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，因此△CMF≌△CAE．因此∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．因此∠ECF＝∠ACM＝60°．因此△CEF是等边三角形．考点伸展我们再看几个特别地址时的奏效图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6图7如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8图9图10图115人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》例22017年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过1(0,0)和(a,)两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)．1）求a、b、c的值；2）求证：在点P运动的过程中，⊙P向来与x轴订交；3）设⊙P与x轴订交于M(x1,0)、N(x2,0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P在抛物线上运动，可以体验到，圆与x轴总是订交的，等腰三角形AMN存在三种状况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P在x轴上截得的弦长MN＝4是定值．2．等腰三角形AMN存在三种状况，其中MA＝MN和NA＝NM两种状况时，点P的纵坐标是相等的．满分解答（1）已知抛物线的极点为(0,0)，因此y＝ax2．因此b＝0，c＝0．将(a,1)代入y＝ax2，得1a2．解得a1（舍去了负值）．16164（2）抛物线的分析式为y1x2，设点P的坐标为(x,1x2)．44已知A(0,2)，因此PA21x22)2144＞12x(xx．4164而圆心P到x轴的距离为1x2，因此半径PA＞圆心P到x轴的距离．4因此在点P运动的过程中，⊙P向来与x轴订交．（3）如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直均分MN．在Rt△PMH中，PM2PA21x44，PH2(1x)21x4，因此MH2＝4．164166人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》因此MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在三种状况：①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．图2图3②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，因此OM＝23．此时x＝OH＝232．因此点P的纵坐标为1x1(232)(31)423．22244③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为423．图4图5考点伸展若是点P在抛物线y1x2上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0,1)，那么4在点P运动的过程中，⊙P向来与直线y＝－1相切．这是因为：设点P的坐标为(x,1x2)．4已知B(0,1)，因此PBx2(1x21)2(1x21)21x21．444而圆心P到直线y＝－1的距离也为1x21，因此半径PB＝圆心P到直线y＝－14的距离．因此在点P运动的过程中，⊙P向来与直线y＝－1相切．7人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》例32018年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ90°．1）求ED、EC的长；2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直均分线上，不存在DF＝DP的状况．请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直均分线上，不存在DF＝DP的状况．思路点拨1．第（2）题BP＝2分两种状况．2．解第（2）题时，画正确的表示图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题研究等腰三角形PDF时，依照相似三角形的传达性，转变成研究等腰三角形CDQ．满分解答1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，因此BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，因此EDCDtanC5315，EC25．444（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．因此PMDM4．因此QN3PM，PM4QN．QNDN3438人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》图2图3图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时QN3PM3．因此CQCNQN4319．4444②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时QN3PM15．因此CQCNQN41531．4444（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，tanQPDQDDN3．PDDM4在Rt△ABC中，tanCBA3．因此∠QPD＝∠C．CA4由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时PM4QN4．因此BPBMPM345．3333②如图6，当QC＝QD时，由cosCH，可得CQ5425．CCQ258因此QN＝CN－CQ＝4257（如图2所示）．88此时PM4QN7．因此BPBMPM3725．3666③不存在DP＝DF的状况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5图6考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，依照等角的余角相等，可以获取△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解BP25．69人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》例42017年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；3）在直线l上可否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有切合条件的点M的坐标；若不存在，请说明原由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个极点与对边的垂直均分线的地址关系，可以看到，点M有1次时机落在AC的垂直均分线上；点A有2次时机落在MC的垂直均分线上；点C有2次时机落在MA的垂直均分线上，但是有1次M、A、C三点共线．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△PAC的周长最小．2．第（3）题分三种状况列方程议论等腰三角形的存在性．满分解答1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．因此抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由BHPH，BO＝CO，得PH＝BH＝2．BOCO因此点P的坐标为(1,2)．图2（3）点M的坐标为(1,1)、(1,6)、(1,6)或(1,0)．10人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m6．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，因此此时切合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5例52017年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．1）求点B的坐标；2）求经过A、O、B的抛物线的分析式；（3）在此抛物线的对称轴上，可否存在点P，使得以点P、O、B为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明原由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体11人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》验到，⊙O和⊙B以及OB的垂直均分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线．请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、为极点的三角形是等腰三角形思路点拨1．用代数法研究等腰三角形分三步：先分类，按腰相均分三种状况；再依照两点间的距离公式列方程；今后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特别，三种状况的点P重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，因此BC＝2，OC23．因此点B的坐标为(2,23)．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的分析式为y＝ax(x－4)，代入点B(2,23)，232a(6)．解得a3．6因此抛物线的分析式为y3x(x4)3x223x．663（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．因此4+y2＝16．解得y23．当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．因此42(y23)216．解得y1y223．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．因此42(y23)222y2．解得y23．综合①、②、③，点P的坐标为(2,23)，如图2所示．图2图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的极点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰12人教版数学中考复习《因动点产生的等腰三角形问题》三角形．由y3x(x4)3(x2)223，得抛物线的极点为D(2,23)．6633因此tanDOA23．因此∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．3例62017年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比率函数y4x的图象交于点A，且与x轴3交于点B．1）求点A和点B的坐标；2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为极点的三角形的面积为8？②可否存在以A、P、Q为极点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明原由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象中可以看到，△APR的面积有一个时辰等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的状况；P在CA上时，有三个时辰，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，依照点P的地址分两种状况议论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的