例析运动变化的思想在解题中的应用

精品文档-下载后可编辑例析运动变化的思想在解题中的应用运动与变化是解决数学问题的基本思想方法.在解数学问题尤其是几何图形问题时，经常要用这种运动变化的观念来审视或分析问题.用运动变化的思想解决问题的基本思路是“以静制动”，将运动的元素看成静止的元素，从特殊情形入手，过渡到一般情形.下面，我们以2022年的几道中考试题为例加以探究.

例1（2022・成都）点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BDBE，AD=BC.

（1）求证：AC=AD+CE；

（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQDP，交直线BE于点Q，①当点P与A、B两点不重合时，求的值；②当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）

【解析】（1）根据同角的余角相等求出∠DBA=∠E，再利用“角角边”证明ABD和CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；

（2）①P在动，但∠DPQ=90°这个条件不变，利用这个条件想到过点Q作QFBC于F，Q、F也都是动点，但RtDAP∽RtPFQ不变，且的值就是它们的相似比.下面根据图中BFQ和BCE相似可得=，然后求出QF=BF.再根据ADP和FPQ相似可得=，即=，然后整理得到（AP-BF）・（5-AP）=0，点P与A、B两点不重合，则AP≠5，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得=，从而得解值为.

②判断出DQ的中点的路径为BDQ的中位线MN（如图3）.因为线段DQ的中点随着点P的变化而变化，我们把点P叫做“主动点”，点Q叫做“从动点”，所以要考虑线段DQ的中点所经过的路径，可以先考虑点P在几个特殊位置时线段DQ的中点的位置，譬如点P的起始和终点位置，此时线段DQ的中点位置分别对应的是图中的点M和N，然后大胆猜想DQ的中点的轨迹为BDQ的中位线MN.要想验证的话，只要再任找一个点P，看看此时对应的DQ的中点是否在线段MN上即可.下面先求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长为.

例2（2022・湖州）如图4，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，ACx轴于点M，交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BAPA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是______.

【解析】本题中点B随着点P的运动而运动，点P的位置决定着点B的位置.考虑点P的两个特殊位置时对应的点B位置.如图5所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn，线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.下面来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.

【点评】突破本题的关键在于通过探索动点运动的几个“瞬间”（动中求静），捕捉轨迹形成的“影子”（框架），进而论证和求解.这种运动―静止―运动的过程蕴涵着辩证与智慧，是一种颇为有效的思想方法.

例3（2022・湖北荆门）如图7所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图像大致是（）.

【解析】我们把直线l“动”起来就可以发现扫过的阴影部分形状有三种情况：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过AD段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小.综上所述，选C.

【点评】判断函数大致图像的试题，一般应先确立函数关系解析式，再根据函数图像及性质做出合理的判断.分段函数的图像问题一般遵循以下步骤：①根据自变量的取值范围对函数进行分段；②求出每段的解析式；③由每段的解析式确定每段图像的形状.解题时要注意