北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明测试题（含答案）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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北师大版八年级上册数学第七章题（附答案）

一、单选题（共12题；共24分）

1.如图，下列条件中，不能判断直线的是

A.B.C.D.

2.如图，已知l1∥l2，∠A=40°，∠1=60°，则∠2的度数为（）

A.60°B.80°C.100°D.120°

3.下列命题是真命题的是（）

A.同角的补角相等B.一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等

C.有公共顶点且相等的两个角是对顶角D.两个无理数的和仍是无理数

4.如图，己知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C的度数是（）

A.100°B.110°C.120°D.150°

5.下列语句正确的是()

A.一个角小于它的补角B.相等的角是对顶角

C.同位角互补，两直线平行D.同旁内角互补，两直线平行

6.下列说法中正确的是（）

A.不相交的两条直线叫做平行线B.点到直线的距离是这点到直线的垂线段

C.过一点有且只有一条直线与已知直线平行D.在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行

7.下列命题中是真命题的个数是（）①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③若a∥b，b∥c，则a∥c；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤三条直线两两相交，总有三个交点．

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，从①∠1=∠2②∠C=∠D③∠A=∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

9.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）

A.0.5B.1C.1.5D.2

10.下列命题真命题是()

A.同位角相等B.同旁内角相等，两直线平行

C.不相等的角不是内错角D.同旁内角不互补，两直线不平行

11.如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点.设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）

A.B.C.D.

12.如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是()

A.4B.3C.2D.1

二、填空题（共6题；共12分）

13.如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=________

14.已知：如图，∠1=∠2，求证：AB∥CD

∵∠1=∠2，(已知)

又∠3=∠2，________∴∠1=________．________

∴AB∥CD．(________，________)

15.把命题“实数是无理数”改成“如果…，那么…”的形式；________，它是个________命题．（填“真”或“假”）

16.如图所示，将长方形ABCD的纸片沿EF折叠，点D、C分别落在点D′、C′处，若∠AED′=50°，则∠EFB的度数为________．

17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕点D逆时针旋转m度后（0°＜m＜360°），如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边所在的直线上，那么m＝________

18.如图，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）

①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

三、解答题（共4题；共17分）

19.如图，已知AB∥CD，AF=CE，∠B=∠D，证明BE和DF的关系．

20.如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC=3，求AB的长．

21.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．

（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；

（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．

22.有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠C＝∠A，求∠B与∠C的度数之和；

（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA于点E，连结DE并延长交AC于点F，∠AFE＝2∠EAF．

求证：四边形DBCF是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DG⊥OB于点H，交BC于点G．当DH＝BG时，求△BGH与△ABC的面积之比．

四、综合题（共4题；共47分）

23.在中，分别是边上的点，和交于点，且.

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，过点作，交于点，求证；

（3）如图3，在（2）的条件下，，求线段的长.

24.【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；

【问题迁移】

如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.

（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC=________°

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．

25.如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．

（1）求∠AEC的度数；

（2）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30°，求∠A1EC的度数．

（3）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．

26.探究题

学行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。

（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1∥l2，点P在l1、l2内部，探究∠A，∠APB，∠B的关系．小明过点P作l1的平行线，可证∠APB，∠A，∠B之间的数量关系是：∠APB=________．

（2）如图2，若AC∥BD，点P在AB、CD外部，∠A，∠B，∠APB的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程.

过点P作PE∥AC.

∴∠A=________

∵AC∥BD

∴________∥________

∴∠B=________

∵∠BPA=∠BPE-∠EPA

∴________．

（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：

已知：如图3，三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.

答案

一、单选题

1.C2.C3.A4.C5.D6.D7.B8.D9.B10.D11.A12.D

二、填空题

13.115°14.对顶角相等；∠3；等量代换；同位角相等；两直线平行

15.如果一个数是实数，那么它是无理数；假16.65°17.100°或120°18.①②④

三、解答题

19.证明：∵AB∥CD，BE=DF，∴∠A=∠C，

又∵AF=CE，∴AF+FE=CE+FE，

即AE=CF．

在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF

20.解：过点C作CD⊥AB于点D，

∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°，

在△ADC中，AC=3，

∵sinA=，∴AD=sin45°×3=3=CD，

在△BDC中，∠DCB=30°，

∵ctgB=∴BD=cot60°×3=，∴AB=+3，

21.解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，

∴PB＝PC，

∴∠PBC＝∠PCB，

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC＝∠ABP，

∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，

∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，

∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，

∴3∠ABP＝120°﹣24°，

∴∠ABP＝32°；

（Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC，

∴BM⊥AC，

∴∠BMC＝90°，

∵PD⊥BC，点D是BC边的中点，

∴PD垂直平分BC，

∴PB＝PC，

∵△PCM的周长为m+2，

∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2，

∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BMCM＝m2+2BMCM＝（m+2）2，

∴BMCM＝2m+2，

∴△BCM的面积＝BMCM＝m+1．

22.（1）解：在半对角四边形ABCD中，∠B=∠D，∠C=∠A.

∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

∴3∠B+3∠C=360°.

∴∠B+∠C=120°.

即∠B与∠C的度数之和120°.

（2）证明：在△BED和△BEO中，

.∴△BED≌△BEO（SAS）.∴∠BDE=∠BOE.

又∵∠BCF=∠BOE.∴∠BCF=∠BDE.

如下图，连结OC.

设∠EAF=.则∠AFE=2∠EAF=2.

∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2.

∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=.

∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2.∴∠ABC=∠AOC=∠EFC.

∴四边形DBCF是半对角四边形.

（3）解：如下图，作过点OM⊥BC于点M.

∵四边形DBCF是半对角四边形，

∴∠ABC+∠ACB=120°.

∴∠BAC=60°.

∴∠BOC=2∠BAC=120°.

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB=30°.

∴BC=2BM=BO=BD.

∵DG⊥OB,

∴∠HGB=∠BAC=60°.

∵∠DBG=∠CBA,

∴△DBG△CBA.

∴=2=.

∵DH=BG,BG=2HG.∴DG=3HG.

∴=∴=.

四、综合题

23.（1）证明：在中，∠ECF+∠CFE+∠CEF=180°，

在中，

且是公共角

∴∠CEF=∠CDB

即

（2）证明：，

∴∠DCB=∠ACG=90°，∴

即

∵∠ACD+∠B=∠CAB，∴∠GCB+∠B=∠CAB，

∵∠CGA=∠GCB+∠B，∴∠CAB=∠CGA，∴AC=GC

（3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点分别作于点，于点

且

∴∠CAG=∠CGA=45°，，

∴，

∴∴

∵∴，

∵∠CAG=45°，∴∠CAH=∠CAG，

平分，

∵，∴，

∵，∴，

在四边形中，，

∴，

∵，∴，

又，，，

∴，

∴AE=AH，

∵，CM=CN，∠HNC=∠CMD，

∴△HNC≌△CMD，∴CD=CH，

∵CE+CD=AE，

∴CE+CH=AE=EH∴AE=EH=HA，∴∠H=60°，

在中，∴∠B=30°，

在中，

∴，

∵，

∴，∴，

∴，∴.

24.（1）70

（2）解：如图1，

∠DPC=β-α

∵DF∥CE,

∴∠PCE=∠1=β，

∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．

∴∠DPC=β-α

如图2，

∠DPC=α-β

∵DF∥CE,

∴∠PDF=∠1=α

∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．