第五章5 2三角函数概念课时

第五章三角函数高中快车道成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期5.2

三角函数的概念课时4

三角函数的概念(2)高中快车道教学目标利用任意角的三角函数的定义,推导出任意角的三角函数值在各个象限内的符号的规律.借助任意角的三角函数的定义,得出终边相同角的同一三角函数的值相等即诱导公式一.能正确理解任意角的三角函数在各个象限内的符号规律和诱导公式一,初步掌握其应用.学习目标课程目标学科核心素养通过三角函数的定义,理解任意角的三角函数值在各象限内的符号规律通过探究任意角的三角函数值在各象限内的符号规律,培养数学抽象、逻辑推理等素养借助任意角的三角函数的定义,推导出诱导公式一,理解诱导公式一的意义通过借助任意角的三角函数的定义推导诱导公式一,培养直观想象、逻辑推理等素养理解任意角的三角函数值在各象限内的符号规律和诱导公式一,掌握它们的应用通过运用三角函数值在各象限内的符号规律和诱导公式一,培养逻辑推理、数学运算等素养情境导学上一课时我们已经分析过了摩天轮的转动情况，并抽象出了任意角的三角函数定义．把摩天轮所得的模型一般化，记点P为座舱位置，将点P放入单位圆(r＝1)中，观察点P坐标随点P位置变化的具体情况．对任意角α，其顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆(圆心在原点O，半径为1)的交点为P.请你思考：若知道角α的值，你能写出动点P的坐标吗？点P在不同象限时，角α的三角函数值变化有什么规律？点P在不同象限时，点P的坐标变化有什么规律？上述两个规律是否有内在联系？初探新知【活动1

】探究三角函数值在各象限的符号规律【问题1】怎样确定三角函数值在各象限的符号呢？【问题2】你能在坐标系中直观地表示三角函数值在各象限的符号规律吗？【活动2

】探究终边相同的角的同一三角函数值之间的关系【问题3】与角α终边相同的角怎样表示？【问题4】终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？【问题5】诱导公式一揭示了三角函数值怎样的变化规律？【问题6】诱导公式一有什么作用？典例精析【例1】[教材改编题]以原点为圆心的单位圆上一点从P(1，0)出发：𝟑(1)

沿单位圆逆时针方向运动弧长𝟕𝛑，到达点Q，则点Q坐标为；A. sin

θ>0 B.

sinθ<0 C.

tan

θ>0 D.

tan

θ<0思路点拨：(1)可由三角函数定义确定点Q的坐标．(2)可由各象限角三角函数值的符号规律作出判断．(𝟏,𝟑

𝟐

𝟐

)(2)(多选)若到达点M时，记∠POM为θ，当θ终边OM落在第二象限时，下列结论中正确的有(AD

)【解】(1)

单位圆半径r＝1，圆弧PQ的长为l，圆心角为α，α＝𝐥＝𝟕𝛑＝2π＋𝛑.设Q(x𝐫

𝟑

𝟑，y)，由任意角三角函数定义，可得x＝cos

α＝cos

𝛑＝𝟏，y＝sin

α＝sin

𝛑＝

𝟑，故𝟑

𝟐

𝟑

𝟐点Q坐标为(𝟏,

𝟑).𝟐

𝟐(2)

当终边OM落在第二象限，即角θ的终边位于第二象限时，设终边上点的坐标为𝐱(x，y)，其中x<0，y>0.由sinθ与y同号，cos

θ与x同号，tan

θ与𝐲同号，知AD正确．【【方法规律】(1)由任意角的三角函数的定义,已知一个角的大小,可以在这个角的终边上确定一个点,从而可求出这个角的各个三角函数的值;(2)利用三角函数值在各个象限内的符号规律,可判断已知角的各个三角函数值的符号.A.第一象限C.第三象限B.

第二象限D.第四象限(2)

(多选)|

𝐬𝐢𝐧

𝛂|

－

𝐜𝐨𝐬

𝛂

的值为0，则α是(

)𝐬𝐢𝐧

𝛂A.第一象限角C.第三象限角|𝐜𝐨𝐬

𝛂|B.

第二象限角D.第四象限角【变式训练1】(1)

已知点P(sin

α，cos

α)在第二象限，则角α的终边在(

D

)AC【解】(1)点P(sin

α，cosα)在第二象限时，则sinα＜0，cosα＞0.由sinα<0，则α的终边在第三、四象限；由cos

α>0，则α的终边在第一、四象限．综上，角α的终边在第四象限．故选D.【例2】[教材改编题]确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证：(1)

sin

156°；(2)

cos(－450°)；𝟖(3)tan(－

𝟏𝟕𝛑)；(4)

tan556°；𝟏𝟐(5)

sin

(－465°)；(6)

cos𝟕𝛑

.思路点拨：用公式一把任意角的三角函数值分别转化为0°～360°(或0～2π)范围内角的三角函数值，利用三角函数值的符号规律直接判号．【解】(1)

156°是第二象限角，所以sin

156°>0.(2)

cos(－450°)＝cos(－450°＋2×360°)＝cos

270°，270°角的终边在y轴的负半轴上，所以cos(－450°)＝0.𝟖

𝟖

𝟖

𝟖

𝟖(3)

tan(－𝟏𝟕𝛑)＝tan(－𝟏𝟕𝛑+4𝛑)＝tan𝟏𝟓𝛑，𝟏𝟓𝛑是第四象限角，所以tan(－𝟏𝟕𝛑)<0.tan

556°＝tan（196°+360°）

＝tan

196°，196°是第三象限角，所以

tan

556°＞0.sin(－465°)＝sin(－465°＋720°)＝sin

255°，255°是第三象限角，所以sin(－465°)<0.𝟕𝛑是第二象限角，所以cos

𝟕𝛑<0.计算工具验证略．𝟏𝟐

𝟏𝟐【方法规律】判断任意角的三角函数值符号的一般步骤：①变形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z；②转化：根据公式一，转化为求角α的某个三角函数值；③判号：利用三角函数值的符号规律，判断角α的符号．【变式训练2】不用计算器，sin180°，sin591.2°，sin(－358°)三者的大小顺序是(

D

)sin

180°<sin

(－358°)<sin

591.2°sin

(－358°)<sin

180°<sin

591.2°sin

591.2°<sin

(－358°)<sin

180°sin

591.2°<sin

180°<sin

(－358°)【解】sin(－358°)＝sin(－358°+360°)＝sin

2°，2°是第一象限角，则sin(－358°)＞0；180°角的终边在x轴负半轴，sin

180°＝0；sin

591.2°＝sin(－231.2°+360°)

＝sin

231.2°，231.2°是第三象限角，则sin

591.2°＝sin231.2°<0.可得sin591.2°<sin180°<sin(－358°).故选D.(也可由三角函数定义画单位圆上对应角得出答案)【例3】[教材改编题]求下列三角函数值：sin810°+cos-420°+tan1

125°cos𝟏𝟏𝛑+tan（-𝟏𝟑𝛑）𝟒

𝟔思路点拨

用诱导公式一,把任意角的三角函数值分别转化为0°~360°(0~2π)范围内角的三角函数值,完成求值计算.【方法规律】求任意角的三角函数值的一般步骤:①变形:将已知的任意角写成2kπ+α的形式,其中α∈,k∈Z;②转化:根据公式一,转化为求角α的某个三角函数值;③求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值.【解】【变式训练3】求出下列各式的值：(1)

cos

1

470°；(3)

sin

(－

𝟏𝟏𝛑)＋cos𝟏𝟐𝛑

·tan

4𝛑.𝟔

𝟓【解】（1）cos

1

470°＝（cos

360°×4＋30°)＝

𝟑𝟐（2）思路点拨

(1)

求出点B的纵坐标,运用任意角的三角函数定义求解.

(2)易得α=గ,从而可得角β的集合,运用诱导公式一,求出求出sinβ. (3)

运用三𝟑角函数值的符号规律作出判断.（备选例题）在平面直角坐标系xOy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.(1)

若点B的横坐标为-𝟒,求tanα的值;𝟓若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合,并求出sinβ的值;若点B在第二象限,试判断cos(sinα)·sin(cosα)的符号.【解】(1)

设点B的纵坐标为m,则由题意m2+（-𝟒）2=1,且m>0,所以m=𝟑,故B（-𝟒，𝟑）,根𝟓

𝟓

𝟓

𝟓𝟑𝟓𝟒ష𝟓𝟑𝟒据三角函数的定义得tanα= =-

.(2)𝟐

𝟐(3)

因为点B在第二象限,所以α是第二象限的角,得0<sinα<1<గ,-గ<-1<cosα<0,所以cos(sinα)>0,sin(cosα)<0,所以cos(sinα)·sin(cosα)<0.【方法规律】(1)已知一个角的终边的位置,运用任意角的三角函数的定义求出这个角的三角函数的值;(2)运用诱导公式一,可将求任意角的三角函数值转化为求0°~360°(或0~2π)范围内角的三角函数值;(3)

要确定三角函数值的符号,只要确定该角所在的象限.课堂反思通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练A．第一象限C.第二象限或第四象限B.第二象限D.第二象限或第三象限1.

[2021·湖北省十堰市高一期末改编题]若tan

θ·sin2θ<0，则角θ在(C

)2.

[2021·福建省漳州市高一期末改编题]已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且A.(-2,3]C.[-2,3)B.

(-2,3)D.

[-2,3]cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是

(

A

)3. (多选)已知sin

α·cos

α<0，tan

α·sin

α<0，下列说法中正确的是(AC)A.