高中物理相遇及追及问题(完整版)

高中物理相遇及追及问题[(完整版)]

（2)画出简单的图示，找出两物体的运动位移间的关系式．（3)寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离等等．利用这些临界条件常能简化解题过程．（4)求解此类问题的方法，除了根据追及的主要条件和临界条件解联立方程外，还有利用二次函数求极值，应用图象法和相对运动知识求解．追及问题追及问题分为速度小者追速度大者和速度大者追速度小者两种情形．在速度小者追速度大者的情形中，有匀加速追匀速、匀速追匀减速、匀加速追匀减速三种类型，需要注意它们的图象说明和能否追及且只能相遇一次的条件．在速度大者追速度小者的情形中，有匀减速追匀速和匀减速追匀加速两种类型，需要注意它们的临界条件，即相遇一次或两次的情况．相向运动相遇问题相向运动相遇问题需要注意各自移动的位移大小之和等于开始时两物体的距离时相遇的情况．解此类问题的方法同样需要列出两个物体的位移方程，并注意它们的运动时间之间的关系．同时也需要注意被追赶的物体是否停止运动了．利用两物体相遇时必处在同一位置，可以寻找两物体位移间的关系。同时，需要寻找问题中隐含的临界条件。解题方法与追及问题类似。【例1】物体A、B同时从同一地点，沿同一方向运动，A以10m/s的速度匀速前进，B以2m/s的加速度从静止开始做匀加速直线运动，求A、B再次相遇前两物体间的最大距离。【解析一】物理分析法：A做10m/s的匀速直线运动，B做初速度为零、加速度为2m/s的匀加速直线运动。开始一小段时间内，A的速度大于B的速度，它们间的距离逐渐变大，当B的速度加速到大于A的速度后，它们间的距离又逐渐变小。A、B间距离有最大值的临界条件是υA=υB。设两物体经历时间t相距最远，则υA=at。把已知数据代入两式联立得t=5s。在时间t内，A、B两物体前进的距离分别为sA=υAt=10×5m=50m，sB=at=1/2×2×5m=25m。A、B再次相遇前两物体间的最大距离为Δs=50m-25m=25m。【解析二】相对运动法：因为本题求解的是A、B间的最大距离，所以可利用相对运动求解。选B为参考系，则A相对B的初速度、末速度、加速度分别是υ=10m/s、υt=υA-υB、a=-2m/s。根据υt-υ=2as，有-10=2×(-2)×sAB，解得A、B间的最大距离为sAB=25m。【解析三】极值法：物体A、B的位移随时间变化规律分别是sA=10t，sB=1/2×2×t=t。则A、B间的距离Δs=10t-t，可见，Δs有最大值，且最大值为25m。【解析四】图象法：根据题意作出A、B两物体的υ-t图象，由图可知，A、B再次相遇前它们之间距离有最大值的临界条件是υA=υB，得t1=5s。A、B间距离的最大值数值上等于ΔOυAP的面积，即Δs=1/2×5×10m=25m。【答案】25m【点拨】相遇问题的常用方法：常用方法包括物理分析法、相对运动法、极值法和图象法。需要抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，按照不同的思路进行分析。相对运动法是一种求解物体相对运动关系的方法，其关键在于选取合适的参考系。通过选取参考系，可以将一个复杂的运动问题简化为两个相对简单的运动问题。然后再通过运动学公式求解两个物体在不同参考系下的运动情况，从而得到它们之间的相对运动关系。极值法是一种通过列方程求解物体相遇时间的方法。在这种方法中，需要设定相遇时间为t，并根据物体的运动情况列出关于t的一元二次方程。然后通过求解方程的判别式来判断两个物体是否会相遇，以及相遇的次数和时间。图象法是一种通过绘制速度时间图象来求解物体相对运动关系的方法。通过将两个物体的速度时间图象在同一个坐标系中画出，并分析它们的交点和运动趋势，可以得到它们之间的相对运动关系。在实际应用中，这些方法可以相互结合，根据具体情况选择合适的方法来求解物体的相对运动关系。例如，在解决汽车相遇问题时，可以先通过相对运动法选取合适的参考系，然后再利用极值法或图象法求解相遇时间和距离。、s的大小关系决定，若△＞0，则有两次相遇，若△＝0，则有一次相遇，若△＜0，则不相遇．所以B、C、D都有可能，故选A．【改写】这是一道相遇问题。相遇问题分为追及相遇和相向运动相遇两种情形，其主要条件是两物体在相遇处的位置坐标相同。解决这类问题的思路是：先列出两物体的运动位移方程，然后找到两物体位移间的关系，寻找问题中隐含的临界条件，最后采用追及问题的解题方法。以这道题为例，甲、乙两物体相距s，同时同向沿同一直线运动，甲在前面做初速度为零、加速度为a1的匀加速直线运动，乙在后做初速度为υ，加速度为a2的匀加速直线运动。设乙追上甲的时间为t，追上时它们的位移有υt＋a2t－a2t＝s/2。化简得：(a1－a2)t－2υt＋2s＝2υ±4υ－8s(a1－a2)。解得：t＝2(a1－a2)/(a1－a2)。当a1＞a2时，差别式“△”的值由υ、a1、a2、s的大小关系决定，若△＞0，则有两次相遇，若△＝0，则有一次相遇，若△＜0，则不相遇。因此，选项A正确，而B、C、D都有可能。经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行驶时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行驶发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行驶，司机立即制动，能否发生撞车事故？【解析】根据题意，A车行驶40s后停下来，因此A车的平均加速度为：a=(0-20)/40=-0.5m/s^2而B车的速度为常数6m/s，因此B车的加速度为0。假设两车在t秒后相遇，则此时A车行驶的距离为：S1=20t-0.5t^2B车行驶的距离为：S2=6t两车相遇时，它们行驶的距离相等，因此有：20t-0.5t^2=180+6t化简得：0.5t^2-14t+180=0解得t=10s或t=28s因为A车行驶40s后就停下来了，所以只有t=10s时才有可能发生撞车事故。此时两车相遇的位置为：S1=20×10-0.5×10^2=100mS2=6×10=60m因此两车相遇时，它们之间的距离为100-60=40m，此时A车已经停下，因此不会发生撞车事故。综上所述，答案为不能发生撞车事故。在平直公路上，一辆自行车和一辆汽车在t=0时同时经过一个路标，它们的位移随时间变化的规律为：汽车x=10t-t^2，自行车x=5t。其中，汽车做匀减速直线运动，自行车做匀速直线运动。当两车速度相等时，它们相距最远。因此，选项A和B错误。根据v=v0+at，汽车的初速度为v0=10m/s，加速度为a=-2m/s^2。当t=2.5s时，两车相距最远。因此，选项C正确。当两车位移相等时再次经过同一位置，此时t'=5s，x=25m。因此，选项D错误。【实战演练2】从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的速度-时间图象如图所示。在t=2时间内，下列说法中正确的是B，即在第一次相遇之前，t1时刻两物体相距最远。解析：根据速度-时间图象，Ⅰ物体的加速度逐渐减小，所以Ⅰ物体所受合外力不断减小，因此选项A错误。在t1时间内，Ⅱ物体的速度始终大于Ⅰ物体的速度，所以两物体间距离不断增大，当两物体速度相等时，两物体相距最远，因此选项B正确。在速度-时间图象中，图线与坐标轴所围面积表示位移，故到t2时刻，Ⅰ物体速度图线所围面积大于Ⅱ物体速度图线所围面积，两物体平均速度不可能相同，因此选项C、D错误。【限时基础训练】1.根据图1-2-6中的图片，能够大致反映该同学运动情况的速度-时间图象是图1-2-7中的选项C。2.根据图1-2-8中的v-t图像，AC对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆。3.一质点从A点沿直线向B点运动，开始时以加速度a1加速运动到AB之间的某一点C，然后接着又以加速度a2继续作匀加速运动到达B点。该质点若从B点以加速度a2运动到C点，接着又以加速度a1继续加速运动到达A点，则两次运动的过程中，由于相同的路段加速度相同，所以它们所用的时间相同，因此选项A正确。B.因为相同路段的加速度相同，所以它们的平均速度大小也相同。C.虽然相同路段的加速度相同，但是它们的加速度顺序不同，所以所用的时间不同。D.因为相同路段的加速度相同，它们的位移大小也相同，所以它们的末速度大小相同。3.答案：CD。解析：两次运动在每段相同的路径上的加速度相同，说明两次的末速度相同，位移的大小相同。利用这两个特点作出两次运动中的路程与时间图像（见答图1-2-1），就可以判断出正确的选项。设质点第一次到达C点的速度为vC1，第一次的末速度为vB，那么在第一次的运动中，有vC12=2a1sAC，v-vC1=2a2sCB，2vB=2a1sAC+2a2sCB（①）。同理，在第二次运动中有vC22=2a2sBC，2vA-vC22=2a1sCA，2vA=2a1sAC+2a2sCB（②）。比较①②两末速度的大小，它们是相等的。由于两段路段上的加速度不同，所以假设a1>a2，分别作出质点在这两次运动中的速率-时间图像，如图所示。由图像与时间轴所围的面积相等，显然，第一次所用的时间少一些。因此，C、D正确。4.甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙前甲后同向匀速行驶。甲、乙两车的速度分别为v01=40m/s和v02=20m/s。当两车距离接近到s=250m时，两车同时刹车。已知两车刹车时的加速度大小分别为a1=1m/s2和a2=1/3m/s2，问甲车是否会撞上乙车？4.答案：略。解析：作两车的运动草图和v-t图像（见答图1-2-2、1-2-3）。从图中可看出，在t秒即两车速度相等之前，后面的甲车速度大，追得快；前面的乙车速度小，“逃”得慢。两车之间的距离越来越小，而在t秒后，后面的车速度小于前面车的速度。可见，速度相等时，两者距离最近。此时若不会相撞，那么以后一定不会相撞。由此可知速度v相等是解决本题的关键。在30秒内，甲、乙两车的位移分别为s甲=v01t-1/2a1t^2=750m，s乙=v02t-1/2a2t^2=450m。由于s乙+s甲=700m<750m，所以甲车会撞上乙车。5.一物体做直线运动，速度图像如图2所示，设向右为正方向，则前4秒内，物体先向左运动，后2秒开始向右运动。前2秒物体位于出发点左方，后2秒位于出发点右方。在t=2秒时，物体距出发点最远。6.某物体运动的v-t图像如图1所示，则物体运动情况是朝同一方向做直线运动。7.某同学从学校匀速向东去邮局，邮寄信后返回学校。在下图2中，能够正确反映该同学运动情况的s-t图应是直线段AC+CB。8.如图3所示，图线a、b、c是三个质点同时同地开始沿直线运动的位移-时间图像，则t时间内，三质点的平均速度相等。9.A、B两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动，如图6所示，为避免相撞，B车应该减速。正确答案为B，阴影部分表示B车追上A车前的最小距离。图6展示了两车运动的速度-时间图像，阴影部分表示B车追上A车前的最小距离。当两车从同一点出发时，B车追上A车前的最小距离为阴影部分所示。在图中，有一足够长的水平传送带，以速度v=3m/s向左运动。传送带上有一质量为M=2kg的小木盒A，与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.3。一开始，A与传送带之间保持相对静止。之后，两个光滑的质量为m=1kg的小球B从传送带的左端出发，以速度v=15m/s在传送带上向右运动，两球相隔△t=3s。第1个球与木盒相遇后，球立即进入盒中与盒保持相对静止，第2个球出发后历时△t1=1/3s而与木盒相遇。取g=10m/s。（1）设第1个球与木盒相遇后瞬间，两者共同运动的速度为v1，根据动量守恒定律：mv-Mv=(m+M)v1。代入数据，解得：v1=3m/s。（2）设第1个球与木盒的相遇点离传送带左端的距离为s，第1个球经过t与木盒相遇，则t=s/v。设第1个球进入木盒后两者共同运动的加速度为a，根据牛顿第二定律：μ(m+M)g=(m+M)a。得：a=μg=3m/s2。故木盒在2s内的位移为零。依题意：s=vΔt1+v(Δt+Δt1-t1-t2)。代入数据，解得：s=7.5m，t=0.5s。（3）自木盒与第1个球相遇至与第2个球相遇的这一过程中，传送带的位移为S，木盒的位移为s1，则：S=v(Δt+Δt1-t)=8.5m，s1=v(Δt+Δt1-t1-t)=2.5m。故木盒相对传送带的位移为Δs=S-s1=6m。剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。木盒与传送带间的摩擦而产生的热量是：Q=fΔs=54J。课后练习：1.有一质点从原点开始做直线运动，当t=0.5s时离原点最远，t=1s时回到原点，t=2s时再次回到原点。解析：通过v-t图象，可以求出质点的位移和运动方向。2.某物体沿直线运动的v-t图象表明物体做匀变速直线运动，加速度大小不变。解析：根据v-t图象，可以判断物体的运动状态和加速度。3.一辆汽车甲以匀速v沿直线运动，另一辆汽车乙以初速度0做匀加速直线运动去追甲车。可以求出乙车追上甲车时乙车的速度，但无法求出乙车追上甲车时乙车所走的路程和时间。解析：通过两车的位移关系，可以求出乙车追上甲车时乙车的速度，但由于乙车的加速度未知，所以无法求出追上的时间和乙车所走的路程。4.两个物体以相同的加速度做匀加速直线运动，如果一个物体比另一个物体提前一段时间开始运动，它们之间的距离会逐渐增大。解析：通过计算两个物体的位移关系，可以得出它们之间的距离会逐渐增大。5.两辆完全相同的汽车在水平直路上以相同的速度v一前一后匀速行驶。当前车突然以恒定的加速度刹车时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车。已知前车在刹车过程中所行的距离为s，若要保证两车在上述情况下不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为多少？解析：设匀速运动时两车最少应相距S，两车刹车加速度为a。前车刹车时间为t1，则v=at1。前车在此时间内前进位移为s，后车在t1时间内前进位移为s=vt1=2as。之后后车刹车距离也等于s，所以两车在匀速运动阶段至少相距S=2s，正确答案为B。6.甲、乙两车以相同的速率V在水平地面上相向做匀速直线运动。某时刻，乙车先以大小为a的加速度做匀减速运动，当速率减小到0时，甲车也以大小为a的加速度做匀减速运动。为了避免碰车，在乙车开始做匀减速运动时，甲、乙两车的距离至少应为多少？解析：在乙做减速运动的过程中，甲做匀速运动，分别发生的位移为s1=V^2/(2a)和s2=V^2/(2a)。在乙停止运动后，甲也做减速运动，设与乙相遇时甲的速度恰好为零，则甲减速运动位移为s3=s1=V^2/(2a)，故乙开始减速运动时，甲乙之间的距离至少为s=s1+s2+s3=3V^2/a，正确答案为C。7.经检测汽车A的制动性能：以标准速度20m/s在平直公路上行使时，制动后40s停下来。现A在平直公路上以20m/s的速度行驶，发现前方180m处有一货车B以6m/s的速度同向匀速行使，司机立即制动，能否发生撞车事故？解析：汽车A与货车B同速时，两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据。当两车同速时，两车位移差大于初始时刻的距离时，两车相撞；小于、等于时，则不相撞。因此，需要求出两车同速时的距离和初始时刻的距离，即20t-0.5t^2=180+6t，解得t=8s。此时，两车距离为20*(8)-0.5*(8)^2=136m，小于初始时刻的距离180m，所以两车会相撞。一、剔除格式错误和明显有问题的段落，小幅度改写每段话：（无需改写）二、改写后的文章：图4-68：光滑圆轨道竖直放置不动（如图1-4-21），A、B是水平直径上两个端点，小球以相同的速率沿ACB和ADB运动到B点，比较两种情况用时长短。解析：由机械能守恒定律可知，小球沿ACB和ADB运动到B点时速率相等，位移也相等。两种情况下小球运动速率图象如图4-6所示，两图线与时间轴围成的几何图形的“面积”（位移大小）要相等，则必须tc>tD，故从ACB运动到B点的时间长一些。图1-4-219：一个质点由A点出发沿直线AB运动，先作加速度为a1的匀加速直线运动，紧接着作加速度大小为a2的匀减速直线运动，抵达B点时恰好静止。如果AB的总长度是S，试求质点走完AB所用的时间。解析：画出质点运动的速度图像（如图4-6所示），由速度图像的面积表示位移的知识可得S=(a1+a2)S/(2a1a2)，又V=(a1+a2)S/2，t=V/(a1+a2)，因此质点走完AB所用的时间为t。10：一个物体原来静止在光滑的水平地面上，从t=0开始运动，在第1、3、5、……奇数秒内，物体受到大小为2m的加速度，在第2、4、6、……偶数秒内，撤去水平推力，物体做匀速直线运动。向经过多长时间，物体位移的大小为40.25m？解析：物体在奇数秒内做匀加速直线运动，加速度大小为2m/s^2；在偶数秒内做匀速直线运动。直观地描述物体的运动可以借助速度-时间图象，如图4-7所示为该物体的运动的速度-时间图像，物体在第1s内的位移为1m，第2s内的位移为2m，第3s内的位移为3m，由此规律可得物体在整数秒n+1内的位移S=n(n+1)，得n<9，物体在8s内的位移为36m，余下的4.25m将在9s的部分时间内完成，8s末物体的速度为1m/s，4.25=8t+2t^2，解得t=0.5s，所以物体总共用8.5s。11：一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。初始时，传送带与煤块都是静止的。现让传送带以恒定的加速度α开始运动，当其速度达到v后，便以此速度做匀速运动。经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。求此黑色痕迹的长度。解析：煤块与传送带之间的摩擦力为μmg，其中m为煤块的质量，g为重力加速度。当传送带的速度达到v时，煤块受到的摩擦力减小为μmg-ma，其中a为传送带的加速度。当煤块相对于传送带不再滑动时，煤块受到的摩擦力为μmg-μm(g+α)，即μmg-μmg-μmα=-μmα，所以煤块受到的加速度为-α，即煤块做匀减速直线运动。设煤块在传送带上停留的时间为t，根据位移公式可得黑色痕迹的长度为S=vt-(1/2)αt^2。又因为