高考数学一轮复习第八章立体几何第6讲空间向量的运算及应用教案理含解析新人教A版

第6讲空间向量的运算及应用基础知识整合1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使eq\o(□,\s\up3(01))a＝λb.(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使eq\o(□,\s\up3(02))p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得eq\o(□,\s\up3(03))p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个eq\o(□,\s\up3(04))基底．推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(□,\s\up3(05))xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→)).2．数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．②a⊥b⇔eq\o(□,\s\up3(06))a·b＝0(a，b为非零向量)．③|a|2＝eq\o(□,\s\up3(07))a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).(2)空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则①|a|＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；②a＋b＝eq\o(□,\s\up3(08))(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；③a－b＝eq\o(□,\s\up3(09))(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；④λa＝eq\o(□,\s\up3(10))(λa1，λa2，λa3)；⑤a·b＝eq\o(□,\s\up3(11))a1b1＋a2b2＋a3b3；⑥设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(□,\s\up3(12))(x2－x1，y2－y1，z2－z1)；⑦cos〈a，b〉＝eq\o(□,\s\up3(13))eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).点共线和点共面问题(1)点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A，B，C三个点共线，即证明eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线(或Aeq\o(B,\s\up6(→))与Beq\o(C,\s\up6(→))共线；或Aeq\o(C,\s\up6(→))与Beq\o(C,\s\up6(→))共线)．(2)点共面问题：点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))，或对空间任一点O，有eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))，或eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．1．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3,2 D．2,2答案A解析∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝kλ＋1，,2μ－1＝0，,2λ＝2k.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))故选A.2．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为()A．－2 B．－eq\f(14,3)C.eq\f(14,5) D．2答案D解析由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝()A.eq\o(D1B1,\s\up6(→))B.eq\o(D1B,\s\up6(→))C.eq\o(DB1,\s\up6(→))D.eq\o(BD1,\s\up6(→))答案D解析eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))，故选D.4．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交答案B解析∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l⊥α5．已知a＝(1,2，－2)，b＝(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为________．答案－eq\f(2\r(5),15)解析cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(2\r(5),15).6．(2018·江苏启东中学期中)已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(－1,3，－3)，c＝(13,6，λ)，若向量a，b，c共面，则λ＝________.答案3解析因为a＝(2，－1,2)，b＝(－1,3，－3)，c＝(13,6，λ)，且a，b，c共面，所以存在实数x，y使得c＝xa＋yb，所以(13,6，λ)＝(2x－y，－x＋3y,2x－3y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝13，,－x＋3y＝6，,2x－3y＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝5，,λ＝3.))核心考向突破考向一空间向量的线性运算例1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).解(1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.触类旁通用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来．O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(OG,\s\up6(→))，eq\o(MG,\s\up6(→)).解eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(OB,\s\up6(→))＋\o(OC,\s\up6(→))－\o(OA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).eq\o(MG,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OG,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up6(→)).考向二共线向量与共面向量定理的应用例2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，G为△A1BD的重心，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))，并证明A，G，C1三点共线．解eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a＋b＋c.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1G,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(A1D,\s\up6(→))＋eq\o(A1B,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.因为eq\o(AC1,\s\up6(→))＝3eq\o(AG,\s\up6(→))，所以A，G，C1三点共线．触类旁通证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))且同过点Peq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up6(→))对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up6(→))即时训练2.如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．(1)向量eq\o(MN,\s\up6(→))是否与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1解(1)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝keq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝keq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋keq\o(BC,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝k(eq\o(C1A,\s\up6(→))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝keq\o(B1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－k(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq\o(AB,\s\up6(→))－keq\o(AA1,\s\up6(→))，∴由共面向量定理知向量eq\o(MN,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面．(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1又由(1)知eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))共面，所以MN∥平面ABB1A1考向三空间向量的数量积角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))坐标法例3已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解(1)∵c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴c＝meq\o(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)．∴|c|＝eq\r(－2m2＋－m2＋2m2)＝3|m|＝3.∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝eq\r(12＋12＋02)＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(－12＋02＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－1,\r(10))＝－eq\f(\r(10),10).∴a和b夹角的余弦值为－eq\f(\r(10),10).(3)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.∴k＝2或k＝－eq\f(5,2).即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－eq\f(5,2).角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))基向量法例4已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)证明：AA1⊥BD.解(1)如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cos120°＝－1.∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b＝1＋1＋22－2－2＝2.∴|eq\o(AC1,\s\up6(→))|＝eq\r(2).即AC1长为eq\r(2).(2)∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝b－c，∴eq\o(AC1,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.又|eq\o(A1D,\s\up6(→))|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，∴|eq\o(A1D,\s\up6(→))|＝eq\r(7).∴cos〈eq\o(AC1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC1,\s\up6(→))·\o(A1D,\s\up6(→)),|\o(AC1,\s\up6(→))||\o(A1D,\s\up6(→))|)＝eq\f(－2,\r(2)×\r(7))＝－eq\f(\r(14),7).∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为eq\f(\r(14),7).(3)证明：∵eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b－a，∴eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.∴eq\o(AA1,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，即AA1⊥BD.触类旁通eq\a\vs4\al(1空间向量数量积计算的两种方法,①基向量法：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.,②坐标法：设a＝x1，y1，z1，b＝x2，y2，z2，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.)(2)利用数量积解决有关垂直、夹角、长度问题①a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0.②|a|＝eq\r(a2).③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝eq\r(14)，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°答案C解析由于a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，即a·c＝－7.又|a|＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，所以cos〈a，c〉＝eq\f(a·c,|a||c|)＝－eq\f(1,2)，所以〈a，c〉＝120°.4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M为PC的中点．(1)求证：PB⊥DM；(2)求AC与PD所成角的余弦值．解(1)证明：结合图形知，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DP,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))－\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\