高中数学第二章随机变量及其分布2.2.2事件的相互独立性学案新人教A版选修2-

2．2.2事件的相互独立性，了解两个事件相互独立的概念．2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．,1．相互独立的概念设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2．相互独立的性质若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．[注意]事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)·P(B)．(1)充分性：由定义知P(AB)＝P(A)·P(B)时，事件A，B相互独立．(2)必要性：由A，B相互独立得P(B|A)＝P(B)，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(A)P(B)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．()答案：(1)√(2)√(3)√若事件E与F相互独立，且P(E)＝P(F)＝eq\f(1,4)，则P(EF)的值等于()A．0B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)答案：B下列事件A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A表示“出现点数为奇数”，B表示“出现点数为偶数”D．A表示“一个灯泡能用1000小时”，B表示“一个灯泡能用2000小时”答案：A探究点1相互独立事件的判断判断下列各对事件，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？(1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”，事件N：“出现的点数为偶数”；(2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或6点”；(3)袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M：“第一次摸到白球”，事件N：“第二次摸到白球”．【解】(1)二者不可能同时发生，所以M与N是互斥事件．(2)基本事件Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}，P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，即P(AB)＝P(A)P(B)，故事件A与事件B相互独立，A，B不是互斥事件．(3)事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件．eq\a\vs4\al()判断两个事件是否独立的两种方法(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；(2)定义法：通过式子P(AB)＝P(A)P(B)来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩．(2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为eq\f(1,4).这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为eq\f(1,8)，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，显然有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．探究点2相互独立事件同时发生的概率甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)至多1个人译出密码的概率．【解】记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码“为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4).(1)“2个人都译出密码”的概率为：P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12).(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)]×[1－P(B)]＝(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(1,2).(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”，所以至多1个人译出密码的概率为：1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,12).[变问法]在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率；(2)至少1个人译出密码的概率．解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P(Aeq\o(B,\s\up6(－))＋eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,4))＋(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).(2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”，所以至少1个人译出密码的概率为：1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).eq\a\vs4\al()相互独立事件概率的求解方法(1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤：①确定各事件是相互独立的；②确定各事件会同时发生；③先求每个事件发生的概率，再求其积．(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法，即三个公式的联用：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)，P(A)＝1－P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)(A，B相互独立)．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．解：记“甲、乙、丙三人100m跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3).设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)，(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).(2)三人都不合格的概率：P0＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).综合(1)(2)(3)可知P1最大．所以出现恰有1人合格的概率最大．探究点3相互独立事件的综合应用在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众要彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率．(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．【解】(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).因为事件A与B相互独立，所以观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).(或P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(4,15))．(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，因为X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝P(ABC)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,75)，P(X＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,75)，P(X＝2)＝P(ABC)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75)，所以X的分布列为X0123Peq\f(4,75)eq\f(20,75)eq\f(33,75)eq\f(18,75)eq\a\vs4\al()概率问题中的数学思想(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(A)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件)．(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．一个箱子中原来装有大小相同的5个小球，其中3个红球，2个白球，规定：进行一次操作是指“从箱子中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱子中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱子中”．(1)求进行第二次操作后，箱子中红球个数为4的概率；(2)求进行第二次操作后，箱子中红球个数ξ的分布列．解：(1)进行第二次操作后，箱子中红球个数为4的对应事件为两次操作恰好一次白球一次红球，所以概率为：P＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(14,25).(2)由题意进行第二次操作后，箱子中红球个数ξ的可能取值为3，4，5，P(ξ＝3)＝eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,25)，P(ξ＝4)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(14,25)，P(ξ＝5)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(2,25)，所以箱子中红球个数ξ的分布列为：ξ345Peq\f(9,25)eq\f(14,25)eq\f(2,25)1．(2018·云南曲靖一中期中)某人提出一个问题，甲先答，，如果甲答错，由乙答，答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为()C．解析：选D.由相互独立事件同时发生的概率可知，问题由乙答对的概率为P，故选D.2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是()A.eq\f(5,24)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,24)D.eq\f(3,8)解析：选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A、B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(9,36)×eq\f(6,36)＝eq\f(1,24).3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：(1)第3次拨号才接通电话；(2)拨号不超过3次而接通电话．解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3.(1)第3次才接通电话可表示为A1－A2－A3，于是所求概率为P(A1－A2－A3)＝eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,10).(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋A1A2＋A1－A2－A3，于是所求概率为P(A1＋A1－A2＋A1－A2－A3)＝P(A1)＋P(A1A2)＋P(A1－A2－A3)＝eq\f(1,10)＋eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＋eq\f(9,10)×eq\f(8,9)×eq\f(1,8)＝eq\f(3,10).

知识结构深化拓展1.互斥事件与相互独立事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)2．与相互独立事件A，B有关的概率计算公式事件A，B的各种情形概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B都不发生P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰好有一个发生P＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B),[A基础达标]1．(2018·广州综合测试)投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(3,4)解析：选C.因为P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(5,6).又A，B为相互独立事件，所以P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,12).所以A，B中至少有一件发生的概率为1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(5,12)＝eq\f(7,12).2．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件是独立事件的组数为()①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}；②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}；③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}；④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}；A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝0，所以A与B不独立．②P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝0，A与B不独立．③P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(1,6)，P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B独立．④P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,6)，P(A)P(B)≠P(AB)，所以A与B不独立．3．某种开关在电路中闭合的概率为p，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为eq\f(65,81)，则p＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：选B.因为该电路为通路的概率为eq\f(65,81)，所以该电路为不通路的概率为1－eq\f(65,81)，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－eq\f(65,81)＝(1－p)4，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去)．故选B.4．从甲袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq\f(1,2)，从两袋各摸出一个球，则eq\f(2,3)等于()A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A、B，则P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A、B相互独立，所以1－P(A)P(B)＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).根据互斥事件可知C正确．5．(2018·重庆外国语学校高二期末)已知A，B是相互独立事件，若P(A，P(AB＋AB＋AB，则P(B)＝()解析：选A.因为A，B是相互独立事件，所以A，B和A，B均相互独立．因为P(A，P(AB＋AB＋AB)＝，所以P(A)P(B)＋P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝，P(BP(B)＋0.2[1－P(B，解得P(B)＝0.3.6．某自助银行设有两台ATM机．在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，则客户此刻到达需要等待的概率为________．解析：客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用，故所求概率为P＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝eq\f(1,6)，P(BC)＝eq\f(1,8)，P(ABC)＝eq\f(1,8)，则P(B)＝________，P(AB)＝________．解析：因为P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＝P(AB)P(C)＝eq\f(1,6)P(C)＝eq\f(1,8)，所以P(C)＝eq\f(3,4)，即P(C)＝eq\f(1,4).又P(BC)＝P(B)·P(C)＝eq\f(1,8)，所以P(B)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2).又P(AB)＝eq\f(1,6)，则P(A)＝eq\f(1,3)，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,3)8．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按包装可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，则这一事件的概率是________．解析：设“任取一本书是文科书”为事件A，“任取一本书是精装书”为事件B，则A，B是相互独立事件，所求概率为P(AB)．据题意可知P(A)＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(70,100)＝eq\f(7,10)，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(7,25).答案：eq\f(7,25)9．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5，0.6，0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A，P(B，P(C)＝0.9.(1)应聘者用方案一考试通过的概率为p1＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋××＝0.75.(2)应聘者用方案二考试通过的概率为p2＝eq\f(1,3)P(AB)＋eq\f(1,3)P(BC)＋eq\f(1,3)P(AC)＝eq\f(1,3)×0.5×0.6＋eq\f(1,3)×0.6×0.9＋eq\f(1,3)＝0.43.10．如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一点(每次都能投中)，记“投中最左侧3个小正方形区域”为事件A，“投中最上面3个小正方形区域”为事件B.(1)求P(AB)，P(B|A)；(2)试判断事件A与事件B是否相互独立.解：(1)根据几何概型，得P(AB)＝eq\f(1,9)，P(A)＝eq\f(1,3)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,9),\f(1,3))＝eq\f(1,3).(2)根据几何概型，得P(B)＝eq\f(1,3)，所以有P(B|A)＝P(B)，即P(B)＝eq\f(P（AB）,P（A）)，因而P(A)P(B)＝P(AB)．由独立事件的定义，得事件A与事件B相互独立．[B能力提升]11．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为eq\f(1,9)，则A与B都发生的概率的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(8,9))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(5,9)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(8,9))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,9)))解析：选D.设事件A，B发生的概率分别为P(A)＝x，P(B)＝y，则P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－x)·(1－y)＝eq\f(1,9)，即1＋xy＝eq\f(1,9)＋x＋y≥eq\f(1,9)＋2eq\r(xy)，当且仅当x＝y时取“＝”，所以eq\r(xy)≤eq\f(2,3)或eq\r(xy)≥eq\f(4,3)(舍去)，所以0≤xy≤eq\f(4,9).所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝xy∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(4,9))).12．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任意取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C，且B与C互斥，又P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(4,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),