2022年四川省德阳市罗江县鄢家初级中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022年四川省德阳市罗江县鄢家初级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，，全集，则图中阴影部分表示的集合为

（

）

A.

B.C.

D.

参考答案：C略2.设sin（+θ）=，则sin2θ=（） A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】二倍角的余弦；三角函数的恒等变换及化简求值． 【专题】计算题． 【分析】根据两角和的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化简已知条件，然后两边平方利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可sin2θ的值． 【解答】解：由sin（+θ）=sincosθ+cossinθ=（sinθ+cosθ）=， 两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣， 则sin2θ=2sinθcosθ=﹣． 故选A 【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题． 3.已知，满足，，则在区间上的最大值与最小值之和为A．

B．

C．

D．参考答案：A4.某同学对函数进行研究后，得出以下结论：①函数的图像是轴对称图形；②对任意实数，均成立；③函数的图像与直线有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；④当常数满足时，函数的图像与直线有且仅有一个公共点.其中所有正确结论的序号是

▲

．参考答案：①②④①，所以函数是偶函数，所以关于轴对称，所以①正确。②，所以②正确。③由，得或，所以,所以任意相邻两点的距离不一定相等，所以③错误。④由，即，因为，所以，所以必有，所以函数的图像与直线有且仅有一个公共点，所以④正确。所以所有正确结论的序号是①②④。5.函数上的零点个数为（

）

A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：B略6.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A、B两点，若|AB|=5，则AB中点的横坐标为（）A． B．2 C． D．1参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出p的值，再由抛物线的性质可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x，∴P=2，设经过点F的直线与抛物线相交于A、B两点，其横坐标分别为x1，x2，利用抛物线定义，AB中点横坐标为x0=（x1+x2）=（|AB|﹣P）=（5﹣2）=．故选：C．7.已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，4） D．（﹣2，4）参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求对数函数的定义域得出集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}={x|x2+4x﹣12＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．8.若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据直线与圆的位置关系，得到圆心到直线的距离大于半径，得到关于a，b的关系式，这个关系式正好是点到圆心的距离，得到圆心与点到距离小于半径，得到点在圆的内部．【解答】解：∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，∴，∴，∴点P（a，b）到圆心的距离小于半径，∴点在圆内，故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系，本题解题的关键是正确利用点到直线的距离公式，本题是一个基础题．9.(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是A.

B.

C.

D.参考答案：A解析：易得准线方程是

所以

即所以方程是联立可得由可解得A10.四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是A.④①②③ B.①④②③ C.③④②① D.①④③②参考答案：B【分析】先分析四个函数奇偶性，再讨论函数对应区间上函数值正负，即可进行判断选择.【详解】①为偶函数，所以对应第一个图；②为奇函数，且时函数值为负，所以对应第三个图；③为奇函数，且时函数值恒非负，所以对应第四个图；④为非奇非偶函数，所以对应第二个图.【点睛】本题考查函数奇偶性以及函数数值，考查基本分析与判断求解能力，属基本题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设正三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且该正三棱柱的底面边长为，侧棱长为2，则该球的表面积为________．参考答案：8π略12.设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：或13.设是等差数列的前项和，若，，则等于参考答案：3略14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为___________参考答案：515.设，则等于

．参考答案：，所以，故答案为．16.正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是

．参考答案：因为是它的内切球的一条弦，所以当弦经过球心时，弦的长度最大，此时.以为原点建立空间直角坐标系如图.根据直径的任意性，不妨设分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为，设坐标为，则,,所以，即.因为点为正方体表面上的动点，，所以根据的对称性可知，的取值范围与点在哪个面上无关，不妨设，点在底面内，此时有，所以此时，,所以当时，，此时最小，当但位于正方形的四个顶点时，最大，此时有，所以的最大值为2.，所以，即的取值范围是17.设，则＝

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：

（Ⅰ）直线AB分别与平面所成角的大小；

（Ⅱ）二面角A1—AB—B1的大小.

参考答案：解法一：（I）如图，连接A1B，AB1.∵⊥，∩=l，AA1⊥l，BB1⊥l，∴AA-1⊥，BB1⊥a.则∠BAB1，∠ABA1分别是AB与和所成的角.Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1=

∴∠BAB1=45°Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，∴sin∠ABA1=

∴∠ABA1=30°.故AB与平面，，所成的角分别是45°，30°.

（II）∵BB1⊥，

∴平面ABB1⊥.在平面内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴在Rt△AA1B中，由AA1·A1B=A1F·AB得A1F=

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=，∴二面角A1—AB—B1的大小为arcsin.解法二：（I）同解法一.（II）如图，建立坐标系，则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）.在AB上取一点F（x,y,z），则存在t∈R，使得，即(x,y,z－1)=t(,1,－1),∴点F的坐标为(t,t,1－t).要使即(t,t,1－t)·(,1,－1)=0,2t+t－(1－t)=0,解得t=,∴点F的坐标为设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，），

∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥P-ABM的体积．参考答案：（1）证明见解析

（2）三棱锥的体积试题分析：（1）由中位线定理可得∥∥平面.

再证得∥∥平面平面∥平面；（2）由（1）知，平面∥平面点到平面的距离等于点到平面的距离.试题解析：（1）证明：∵分别为的中点，则∥.

又∵平面，平面，∴∥平面.

在中，，∴.又∵，

∴∥.∵平面，平面，∴∥平面.

又∵，∴平面∥平面.（2）由（1）知，平面∥平面，∴点到平面的距离等于点到平面的距离.由已知，，，，∴，∴三棱锥的体积.

20.设集合A={x∈Z|x2＜4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（） A．{0，1} B． {﹣1，0} C． {﹣1，0，1} D． {0，1，2}参考答案：A21.已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；（2）表示出f（x1）+f（x2）=lna++ln2+1，通过求导进行证明．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣，（x＞0，a＞0），不妨设φ（x）=2ax2﹣x+1（x＞0，a＞0），则关于x的方程2ax2﹣x+1=0的判别式△=1﹣8a，当a≥时，△≤0，φ（x）≥0，故f′（x）≤0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当0＜a＜时，△＞0，方程f′（x）=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）及x∈（x2，+∞）时f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x1），（x2，+∞）递减，在（x1，x2）递增；（2）由（1）知当且仅当a∈（0，）时f（x）有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=，x1x2=，∴f（x1）+f（x2）=（x1+x2）﹣a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣（lnx1+lnx2）=ln（2a）++1=lna++ln2+1（0＜a＜），令g（a）=lna++ln2+1，当a∈（0，）时，g′（a）=＜0，∴g（a）在（0，）内单调递减，故g（a）＞g（）=3﹣2ln2，∴f（x1）+f（x2）＞3﹣2ln2．22.已知数列{an}中，a1=1，a3=9，且an=an﹣1+λn﹣1（n≥2）．（I）求λ的值及数列{an}的通项公式；（II）设，且数列{bn}的前n项和为Sn，求S2n．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）a1=1，a3=9，且an=an﹣1+λn﹣1（n≥2），可得a2=2λ，a3=5λ﹣1=9，解得λ．可得an﹣an﹣1=2n﹣1（n≥2）．利用“累加求和”方法即可得