湖南省常德市龙潭桥乡联校高三数学理测试题含解析

湖南省常德市龙潭桥乡联校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=± D．y=±x参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即有y=±x．故选：C．2.已知数列满足，则等于()参考答案：答案：B解析：根据题意，由于数列{an}满足a1＝0，an＋1＝，那么可知∴a1=0，a2=-，a3=，a4=0，a5=-，a6=…，故可知数列的周期为3，那么可知，选B.3.如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于A．

B．

C． D．参考答案：B4.函数的图象大致是（

）参考答案：B为奇函数，排除A，C．当时，，排除D．5.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（sin，cos），则sin（2α﹣）=（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：A考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用三角函数的定义确定α，再代入计算即可．解答：解：∵角α的终边过点P（sin，cos），∴sinα=cos，cosα=sin，∴α=+2kπ，∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=sin=．故选：A．点评：本题考查求三角函数值，涉及三角函数的定义和特殊角的三角函数，属基础题．6.若,则下列不等式成立的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D7.函数的图像的一条对称轴是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知的值（）A． B．﹣ C．﹣ D．参考答案：D【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式化简已知条件，结合同角三角函数基本关系式，求解即可．【解答】解：由cos（α﹣9π）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，∵α∈（π，2π），∴sinα=﹣=cos（）=﹣sinα=．故选：D．9.已知集合且a3≠0，则A中所有元素之和等于(

)A．3240

B．3120

C．2997

D．2889参考答案：D由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法(均可取0，1，2)，a3有2种取法(可取1，2)，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为(0＋1＋2)×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0＋3×1＋3×2)×18；集合A中含有a2项的所有数的和为(32×0＋32×1＋32×2)×18；集合A中含有a3项的所有数的和为(33×1＋33×2)×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S＝(0＋1＋2)×18＋(3×0＋3×1＋3×2)×18＋(32×0＋32×1＋32×2)×18＋(33×1＋33×2)×27＝18(3＋9＋27)＋81×27＝702＋2187＝2889.故选D.10.设与是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意∈[a，b]，都有成立，则称和在[a，b]上是“紧密函数”.若与在[1，2]上是“紧密函数”，则m的取值范围是（

）。

A．[0，1]

B．[2，3]

C．[1，2]

D．[1，3]参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.执行右图所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围为

．参考答案：略12.已知，，则

。参考答案：13.已知抛物线的焦点为F，P是的准线上一点，Q是直线PF与的一个交点．若则直线PF的方程为

。参考答案：或

14.在平面直角坐标系中，三点,，，则三角形的外接圆方程是

．参考答案：设三角形的外接球方程是，由点,，在圆上可得，，解得，故三角形的外接球方程为，故答案为.

15.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为

__________.参考答案：12由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成，梯形面积即是主视图和侧视图的面积.故梯形面积之和为.

16.如图是一个几何体的三视图．若它的表面积为，则正（主）视图中

参考答案：2略17.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数的图象如图所示，则当时，电流强度是

。参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos（B﹣C）=1+4sinBsinC．（1）求角A的大小；（2）若a=2，△ABC的面积2，求b+c的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围0＜B+C＜π，利用三角形内角和定理即可得解A的值．（2）由（1）及三角形面积公式可求bc=8，又利用余弦定理可得（b+c）2﹣bc=28．从而可求b+c的值．【解答】（本题满分12分）解：（1）由2cos（B﹣C）=1+4sinBsinC，得2（cosBcosC+sinBsinC）﹣4sinBsinC=1，即2（cosBcosC﹣sinBsinC）=1，亦即2cos（B+C）=1，∴．∵0＜B+C＜π，∴，∵A+B+C=π，∴…（2）由（1）得．由，得，∴bc=8．①由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得，即b2+c2+bc=28．∴（b+c）2﹣bc=28．②，将①代入②，得（b+c）2﹣8=28，∴b+c=6…19.如图，已知P是椭圆+=1（a＞b＞0）上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆的中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x=﹣（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率的平方的值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】依题意，可求得P（c，），H（﹣，0），利用HB∥OP求得c2=ab，再利用椭圆的性质即可求得e2．【解答】解：依题意，作图如下：∵F（c，0）是椭圆的右焦点，PF⊥OF，∴P（c，），∴直线OP的斜率k==；又H是直线（c是椭圆的半焦距）与x轴的交点，∴H（﹣，0），又B（0，b），∴直线HB的斜率k′==；∵HB∥OP，∴=，∴c2=ab，又b2=a2﹣c2，∴c4=a2b2=a2（a2﹣c2），∴e4+e2﹣1=0，∴e2=．【点评】本题考查椭圆的性质，利用HB∥OP求得c2=ab是关键，考查分析与计算能力，属于中档题．20.某保险公司对一个拥有20000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12000，6000，2000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表（并以此估计赔付概率）：

工种类别ABC赔付频率

已知A，B，C三类工种职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年10万元.（Ⅰ）求保险公司在该业务所或利润的期望值；（Ⅱ）现有如下两个方案供企业选择：方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支.请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议.参考答案：解：（Ⅰ）设工种A、B、C职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X、Y、Z，则X、Y、Z的分布列为X25PY25P

Z40P保险公司的期望收益为；；；保险公司的利润的期望值为，保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元．（Ⅱ）方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：，方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：，，故建议企业选择方案2．

21.设，，Q=；若将，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列的前三项.（1）试比较M、P、Q的大小；（2）求的值及的通项；（3）记函数的图象在轴上截得的线段长为，设，求，并证明.参考答案：解：（1）由

………1分得

………2分

………3分

………4分，又当时，，当时，即，则

………5分当时，，则当时，，则

…6分（2）当时，即解得，从而

………7分当时，即,无解.………8分（3）设与轴交点为