线性代数知识点总结第章

线性代数知识点总结第一章行列式第一节：二阶与三阶行列式把表达式a11a22a12a21称为a11a12所确立的二阶行列式，并记作a11a12，a21a22a21a12即Da11a12a11a22a12a21.结果为一个数。a21a22同理，把表达式a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,称为由数a11a12a13a11a12a13表a21a22a23所确立的三阶行列式，记作a21a22a23。aaaa31a32a33313233a11a12a13即a21a22a23=a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31,a31a32a33二三阶行列式的计算：对角线法规注意：对角线法规只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组和三元方程组：对二元方程组a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2设Da11a120D1b1a12D2a11b1.a21a22b2a22a21b2b1a12a11b1则x1D1b2a22，x2D2a21b2.Da11a12Da11a12a21a22a21a22a11x1a12x2a13x3b1对三元方程组a21x1a22x2a23x3b2，a31x1a32x2a33x3b3a11a12a13设Da21a22a230，a31a32a33b1a12a13a11b1a13a11a12b1D1b2a22a23，D2a21b2a23，D3a21a22b2，b3a32a33a31b3a33a31a32b3则xD1，x2D2，xD3。（课本上没有）1DD3D注意：以上规律还可以推行到n元线性方程组的求解上。第二节：全摆列及其逆序数全摆列：把n个不一样样的元素排成一列，叫做这n个不一样样的元素的全部摆列的总数，平时用

n个元素的全摆列（或摆列）Pn(或An)表示。（课本P5）

。逆序及逆序数：在一个摆列中，假如两个数的前后地址与大小序次相反，即前面的数大于后边的数，那么称它们构成一个逆序，一个摆列中，逆序的总数称为这个摆列的逆序数。摆列的奇偶性：逆序数为奇数的摆列称为奇摆列；逆序数为偶数的摆列称为偶摆列。（课本P5）计算摆列逆序数的方法：方法一：分别计算出排在1,2,L,n1,n前面比它大的数码之和即分别算出1,2,L,n1,n这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求摆列的逆序数。方法二：分别计算出摆列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出摆列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求摆列的逆序数。（课本上没有）第三节：n阶行列式的定义a11a12La1n定义：n阶行列式Da21a22La2n等于全部取自不一样样行、不一样样列的n个元素的乘积MMOMan1an2Lanna1p1a2p2Lanpn的代数和，此中p1p2pn是1，2，，n的一个摆列，每一项的符号由a11a12La1n其逆序数决定。D0a22La2nt12Lna11a22Lanna11a22Lann也可简记为MMO1M00Lanndetaij，此中aij为行列式D的（i，j元）。a11a12La1na21a22La2n1tp1p2Lpna1pa2pLanp依据定义，有DMMOM1p1p2Lpn2nan1an2Lann说明：1、行列式是一种特定的算式，它是依据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n阶行列式是n!项的代数和;3、n阶行列式的每项都是位于不一样样行、不一样样列n个元素的乘积;4、a1pa2pLanptp1,p2,...pn的逆序数的符号为1，t的符号等于摆列12n5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。a11a12La1n即D0a22La2n1t12Lna11a22Lanna11a22LannMMOM00Lann推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于1nn12乘以其副对角线上各元的乘积。1122nn1即12Ln，1212LnONnn第四节：行列式的性质a11a12La1na11a21Lan1定义记Da21a22La2n，DTa12a22Lan2，行列式DT称为行列式MMOMMMOMan1an2anna1na2nLann的转置行列式。性质1行列式与它的转置行列式相等。说明行列式中行与列拥有相同地位，所以凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质2互换行列式的两行rirj或列cicj，行列式变号。推论假如行列式有两行（列）完满相同，则此行列式为零。性质3行列式的某一行（列）中全部的元素都乘以同一数k(rjk)，等于用数k乘此行列式；推论1D的某一行（列）中全部元素的公因子可以提到D的外面;推论2D中某一行（列）全部元素为零，则D=0。性质4行列式中假如有两行（列）元素成比率，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则a11a12L(a1ia1i)a21a22L(a2ia2i)DMMMan1an2L(aniani)a11a12La1iLa1na21a22La2iLa2nLLLLLan1an2LaniLann

a1na2nManna11a12a21a22LLan1an2

a1iLa1na2iLa2nLLLLaniLann性质6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数此后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算rikrj把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。说明行列式中行与列拥有相同的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也相同成立。第五节行列式按行（列）张开余子式在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划去后，留下来的n1阶行列式叫做元素aij的余子式，记作Mij。代数余子式记Aij1ijMij，叫做元素aij的代数余子式。引理一个n阶行列式，假如此中第i行全部元素除（i，j）(i,j)元外aij都为零，那么这行列式等于a与它的代数余子式的乘积，即DaijAij。ija11a12La1n定理n阶行列式a21a22La2n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应DMOMMan1an2Lann的代数余子式的乘积之和，即Dai1Ai1ai2Ai2LainAin，(i1,2,L,n)或Da1jA1ja2jA2jLanjAnj，(j1,2,L,n)。11L1x1x2Lxn扩展范德蒙德(Vandermonde)行列式Dnx12x22Lxn2(xixj)MMOnij1M