高中数学推理与证明章末综合提升学案新人教A版选修22

/08/8/第2章推理与证明[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]合情推理【例1】(1)观察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，……，据此规律，第n个等式可为________．(2)类比三角形内角平分线定理：设△ABC的内角A的平分线交BC于点M，则eq\f(AB,AC)＝eq\f(BM,MC).若在四面体P-ABC中，二面角B-PA-C的平分面PAD交BC于点D，你可得到的结论是________．(1)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)(2)eq\f(S△BPA,S△CPA)＝eq\f(S△BDP,S△CDP)[(1)等式的左边的通项为eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，前n项和为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；右边的每个式子的第一项为eq\f(1,n＋1)，共有n项，故为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n).(2)画出相应图形，如图所示．由类比推理得所探索结论为eq\f(S△BDP,S△CDP)＝eq\f(S△BPA,S△CPA).证明如下：由于平面PAD是二面角B-PA-C的平分面，所以点D到平面BPA与平面CPA的距离相等，所以eq\f(VD-BPA,VD-CPA)＝eq\f(S△BPA,S△CPA).①又因为eq\f(VD-BPA,VD-CPA)＝eq\f(VA-BDP,VA-CDP)＝eq\f(S△BDP,S△CDP).②由①②知eq\f(S△BPA,S△CPA)＝eq\f(S△BDP,S△CDP)成立．]1．归纳推理的特点及一般步骤2．类比推理的特点及一般步骤[跟进训练]1．(1)观察如图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.按此规律，推出Sn与n的关系式为________．(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn,则T4，________，________，eq\f(T16,T12)成等比数列．(1)Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)(2)eq\f(T8,T4)eq\f(T12,T8)[(1)依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．……猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．(2)等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比数列．]综合法与分析法【例2】若a，b，c是△ABC的三边长，m＞0，求证：eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).思路探究：根据在△ABC中任意两边之和大于第三边，再利用分析法与综合法结合证明不等式成立．[证明]要证明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m)，只需证明eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＞0即可．∵eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)－eq\f(c,c＋m)＝eq\f(a?b＋m??c＋m?＋b?a＋m??c＋m?－c?a＋m??b＋m?,?a＋m??b＋m??c＋m?)，∵a＞0，b＞0，c＞0，m＞0，∴(a＋m)(b＋m)(c＋m)＞0，∵a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m)＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－bcm－acm－cm2＝2abm＋am2＋abc＋bm2－cm2＝2abm＋abc＋(a＋b－c)m2，∵△ABC中任意两边之和大于第三边，∴a＋b－c＞0，∴(a＋b－c)m2＞0，∴2abm＋abc＋(a＋b－c)m2＞0，∴eq\f(a,a＋m)＋eq\f(b,b＋m)＞eq\f(c,c＋m).1.(改变条件)本例删掉条件“m＞0”，证明：eq\f(a＋b,1＋a＋b)＞eq\f(c,1＋c).[证明]要证eq\f(a＋b,1＋a＋b)＞eq\f(c,1＋c)，只需证a＋b＋(a＋b)c>(1＋a＋b)c，即证a＋b>c，而a＋b>c显然成立，所以eq\f(a＋b,1＋a＋b)＞eq\f(c,1＋c).2．(变换条件)本例增加条件“三个内角A，B，C成等差数列”，求证：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c).[证明]要证eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，即证eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，即证eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1.即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列．∴B＝60°.由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，即b2＝c2＋a2－ac.∴c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．分析综合法的应用综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．反证法【例3】已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明a，b，c至少有一个不小于1.[证明]假设a，b，c均小于1，即a＜1，b＜1，c＜1，则有a＋b＋c＜3，而a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋3≥3，两者矛盾，所以假设不成立，故a，b，c至少有一个不小于1.反证法的关注点(1)反证法的思维过程：否定结论?推理过程中引出矛盾?否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的“否定”(即肯定原命题))．(2)反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．[跟进训练]2．若x，y，z∈(0,2)，求证：x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于1.[证明]假设x(2－y)>1，且y(2－z)>1，且z(2－x)>1均成立，则三式相乘有xyz(2－x)(2－y)(2－z)>1，①由于0<x<2，所以0<x(2－x)≤1，同理0<y(2－y)≤1,0<z(2－z)≤1，三式相乘得0<xyz(2－x)(2－y)(2－z)≤1，②②与①矛盾，故假设不成立．所以x(2－y)，y(2－z)，z(2－x)不可能都大于1.数学归纳法【例4】设a>0，f(x)＝eq\f(ax,a＋x)，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．[解](1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝eq\f(a,1＋a)；a3＝f(a2)＝eq\f(a,2＋a)；a4＝f(a3)＝eq\f(a,3＋a).猜想an＝eq\f(a,?n－1?＋a)(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k(k∈N*)时猜想正确，即ak＝eq\f(a,?k－1?＋a)，则ak＋1＝f(ak)＝eq\f(a·ak,a＋ak)＝eq\f(a·\f(a,?k－1?＋a),a＋\f(a,?k－1?＋a))＝eq\f(a,?k－1?＋a＋1)＝eq\f(a,[?k＋1?－1]＋a).这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任何n∈N*，都有an＝eq\f(a,?n－1?＋a).1．数学归纳法的两点关注(1)关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)关注点二：由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．2．与“归纳—猜想—证明”相关的常用题型的处理策略(1)与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．(2)与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．[跟进训练]3．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)>eq\f(13,24)(n≥2，n∈N*)[证明]①当n＝2时，eq\f(1,2＋1)＋eq\f(1,2＋2)＝eq\f(7,12)＞eq\f(13,24).②假设当n＝k(k≥2且k∈N*)时不等式成立，即eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)＞eq\f(13,24)，那么当n＝k＋1时，eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2?k＋1?)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋eq\f(1,k＋1)－eq\f(1,k＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋\f(1,k＋3)＋…＋\f(1,2k)))＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＞eq\f(13,24)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(13,24)＋eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)＝eq\f(13,24)＋eq\f(1,2?2k＋1??k＋1?)＞eq\f(13,24).这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.转化与化归思想的应用【例5】已知α，β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β.求证：eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,2?1＋tan2β?).[证明]要证eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,2?1＋tan2β?)成立，即证eq\f(1－\f(sin2α,cos2α),1＋\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(1－\f(sin2β,cos2β),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2β,cos2β))))，即证cos2α－sin2α＝eq\f(1,2)(cos2β－sin2β)，即证1－2sin2α＝eq\f(1,2)(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1.因为sinθ＋cosθ＝2sinα，sinθcosθ＝sin2β，所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝4sin2α，所以1＋2sin2β＝4sin2α，即4sin2α－2sin2β＝1.故原结论正确．转化与化归思想转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归的原则是将不熟悉的或难解的问题转化为熟知的、易解或已经解决的问题；将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊问题；将实际应用问题转化为数学问题．本章中无论是推理过程还是用分析法、综合法、反证法、数学归纳法证明问题的过程中都用到了转化与化归思想．[跟进训练]4．已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R.(1)求证：如果a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．[解]