高中数学三维设计浙江专版必修1讲义2．2　对数函数

/32/32/eq\a\vs4\al(对数函数)2．2.1对数与对数运算第一课时对数预习课本P62～63，思考并完成以下问题对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？(2)什么是常用对数和自然对数？(3)如何进行对数式和指数式的互化？1．对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．[点睛]logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg_N，logeN简记为ln_N.3．对数与指数的关系若a＞0，且a≠1，则ax＝N?logaN＝x.对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)．4．对数的性质(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)logaN是loga与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()答案：(1)×(2)×(3)√2．若a2＝M(a＞0且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．logaM＝2C．loga2＝M D．.log2a＝M答案：B3．log21＋log22＝()A．3 B．2C．1 D．.0答案：C4．已知log3eq\f(2x－1,5)＝0，则x＝________.答案：3指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化[例1]将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝eq\f(1,9)； (2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16；(3)log27＝－3; (4)logeq\r(x)64＝－6.[解](1)∵3－2＝eq\f(1,9)，∴log3eq\f(1,9)＝－2.(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16，∴log16＝－2.(3)∵log27＝－3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27.(4)∵log64＝－6，∴(eq\r(x))－6＝64.指数式与对数式互化的方法(1)将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；(2)将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．[活学活用]1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)2－7＝eq\f(1,128)；(2)3a＝27；(3)10－1＝0.1;(4)log32＝－5；(5)lg0.001＝－3.解：(1)log2eq\f(1,128)＝－7.(2)log327＝a.(3)lg0.1＝－1.(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.对数的计算(5)10－3＝0.001.对数的计算[例2]求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－eq\f(2,3)；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x;(4)－lne2＝x.[解](1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝eq\f(1,16).(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝eq\r(2).(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2.所以x＝－2.求对数值的3个步骤(1)设出所求对数值；(2)把对数式转化为指数式；(3)解有关方程，求得结果．[活学活用]2．求下列各式中的x值：(1)logx27＝eq\f(3,2)；(2)log2x＝－eq\f(2,3)；(3)x＝log27eq\f(1,9)；(4)x＝log16.解：(1)由logx27＝eq\f(3,2)，可得xeq\f(3,2)＝27，∴x＝27＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(33))＝32＝9.(2)由log2x＝－eq\f(2,3)，可得x＝2.∴x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(3,\f(1,4))＝eq\f(\r(3,2),2).(3)由x＝log27eq\f(1,9)，可得27x＝eq\f(1,9)，∴33x＝3－2，∴x＝－eq\f(2,3).(4)由x＝log16，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝16.∴2－x＝24，∴x＝－4.对数的性质对数的性质[例3]求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lgx)＝1；(3)log3(log4(log5x))＝0.[解](1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)由log3(log4(log5x))＝0可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.[一题多变]1．[变条件]本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“log3(log4(log5x))＝1”，又如何求解x呢？解：由log3(log4(log5x))＝1可得，log4(log5x)＝3，则log5x＝43＝64，所以x＝564.2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625的值．解：因为x＝625，则625＝3.3．[变条件]本例(3)中若将“log3(log4(log5x))＝0”改为“3＝1”，又如何求解x呢？解：由3＝1可得log4(log5x)＝1，故log5x＝4，所以x＝54＝625.1．利用对数性质求解的2类问题的解法(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．层级一学业水平达标1．将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－2＝9写成对数式，正确的是()A．log9eq\f(1,3)＝－2 B．log9＝－2C．log(－2)＝9 D．log9(－2)＝eq\f(1,3)解析：选B根据对数的定义，得log9＝－2，故选 B.2．方程2log3x＝eq\f(1,4)的解是()A．x＝eq\f(1,9) B．x＝eq\f(\r(3),3)C．x＝eq\r(3) D．x＝9解析：选A∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝eq\f(1,9).3．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()A．a＞eq\f(1,2)且a≠1 B．0＜a＜eq\f(1,2)C．a＞0且a≠1 D．a＜eq\f(1,2)解析：选B由对数的概念可知使对数loga(－2a＋1)有意义的a需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,a≠1，,－2a＋1＞0，))解得0＜a＜eq\f(1,2).4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．e0＝1与ln1＝0B．8－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)与log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)C．log39＝2与9＝3D．.log77＝1与71＝7解析：选C由指对互化的关系：ax＝N?x＝logaN可知A、B、D都正确；C中log39＝2?9＝32.5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是()A．1B．0C．x D.y解析：选B由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logx(yx)＝log2(12)＝0.6．lg10000＝________；lg0.001＝________.解析：由104＝10000知lg10000＝4,10－3＝0.001得lg0.001＝－3.答案：4－37．方程log2(1－2x)＝1的解x＝________.解析：∵log2(1－2x)＝1＝log22，∴1－2x＝2，∴x＝－eq\f(1,2).经检验满足1－2x>0.答案：－eq\f(1,2)8．已知log7(log3(log2x))＝0，那么x＝________.解析：由题意得：log3(log2x)＝1，即log2x＝3，转化为指数式则有x＝23＝8，∴x－eq\f(1,2)＝8－eq\f(1,2)＝＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).答案：eq\f(\r(2),4)9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125；(2)4－2＝eq\f(1,16)；(3)log8＝－3；(4)log3eq\f(1,27)＝－3.解：(1)∵53＝125，∴log5125＝3.(2)∵4－2＝eq\f(1,16)，∴log4eq\f(1,16)＝－2.(3)∵log8＝－3，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－3＝8.(4)∵log3eq\f(1,27)＝－3，∴3－3＝eq\f(1,27).10．若logx＝m，logy＝m＋2，求eq\f(x2,y)的值．解：∵logx＝m，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m.∵logy＝m＋2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m＋4.∴eq\f(x2,y)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16.层级二应试能力达标1．若logaeq\r(5,b)＝c，则下列关系式中正确的是()A．b＝a5c B．b5＝acC．b＝5ac D.b＝c5a解析：选A由logaeq\r(5,b)＝c，得ac＝eq\r(5,b)，∴b＝(ac)5＝a5c.2．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为()A．－3 B．3C．－1或3 D．.1或－3解析：选B由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.3.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值为()B.eq B.eq\f(7,2)C．8 D.eq\f(3,7)解析：选Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2×4＝8.4．若a>0，a＝eq\f(4,9)，则loga等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B∵a＝eq\f(4,9)，a>0，∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3，设loga＝x，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x＝a.∴x＝3.5．使方程(lgx)2－lgx＝0的x的值为________．解析：由lgx(lgx－1)＝0得lgx＝0或lgx＝1，即x＝1或x＝10.答案：1或106．计算23＋log23＋32－log39＝________.解析：23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋eq\f(32,3log39)＝8×3＋eq\f(9,9)＝25.答案：257．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1.求eq\r(x)·y的值．解：∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.因此eq\r(x)·y＝eq\r(64)×16＝8×8＝64.8．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；(2)已知logx27＝31＋log32，求x的值．解：(1)∵log189＝a，log1854＝b，∴18a＝9,18b＝54，∴182a－b＝eq\f(182a,18b)＝eq\f(92,54)＝eq\f(3,2).(2)logx27＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.∴x6＝27，∴x6＝33，又x＞0，∴x＝eq\r(3).第二课时对数的运算预习课本P64～67，思考并完成以下问题(1)对数具有哪三条运算性质？(2)换底公式是如何表述的？1．对数的运算性质若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．[点睛]对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．换底公式若c>0且c≠1，则logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)loga(xy＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得logab＝eq\f(log?－2?b,log?－2?a).()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．计算log84＋log82等于()A．log86B．8C．6 D．.1答案：D3．计算log510－log52等于()A．log58 B．lg5C．1 D．.2答案：C4．log48＝________.对数运算性质的应用答案：eq\f(3,2)对数运算性质的应用[例1]求下列各式的值：(1)log2(47×25)；(2)lgeq\r(5,100)；(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(4)lg52＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[解](1)log2(47×25)＝log247＋log225＝7log24＋5log22＝7×2＋5×1＝19.(2)lgeq\r(5,100)＝lg100＝eq\f(1,5)lg100＝eq\f(1,5)×2＝eq\f(2,5).(3)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.(4)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．[活学活用]1．求下列各式的值：(1)lg0.00001；(2)lneq\r(e).(3)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(4)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).解：(1)lg0.00001＝lg10－5＝－5lg10＝－5.(2)lneq\r(e)＝eq\f(1,2)lne＝eq\f(1,2).(3)原式＝2log32－(log332－log39)＋3log32－3＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(4)原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)对数换底公式的应用＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,?4－3?lg3)＝eq\f(11,5).、对数换底公式的应用[例2]计算(1)log29·log34；(2)eq\f(log5\r(2)×log79,log5\f(1,3)×log7\r(3,4)).[解](1)由换底公式可得，log29·log34＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3,lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝4.(2)原式＝eq\f(log5\r(2),log5\f(1,3))×eq\f(log79,log7\r(3,4))＝logeq\f(1,3)eq\r(2)×logeq\r(3,4)9＝eq\f(lg\r(2),lg\f(1,3))×＝eq\f(\f(1,2)lg2,－lg3)×eq\f(2lg3,\f(2,3)lg2)＝－eq\f(3,2).换底公式的应用技巧(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．[活学活用]2．计算(log43＋log83)×eq\f(lg2,lg3).解：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(lg3,2lg2)×eq\f(lg2,lg3)＋eq\f(lg3,3lg2)×eq\f(lg2,lg3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).对数的综合应用对数的综合应用[例3](1)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2000(e为自然对数的底)．(ln3≈1.099)当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(2)已知log189＝a,18b＝5，求log3645.(用a，b表示)[解](1)因为v＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))2000＝2000·lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，所以v＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.(2)因为18b＝5，所以b＝log185.所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log18?5×9?,log18?2×18?)＝eq\f(log185＋log189,log182＋log1818)＝eq\f(a＋b,1＋log182)＝eq\f(a＋b,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(a＋b,2－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).[一题多变]1．[变设问]若本例(2)条件不变，如何求log1845(用a，b表示)?解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋ B.2．[变条件]若将本例(2)条件“log189＝a,18b＝5”改为“log94＝a,9b＝5”，则又如何求解呢？解：因为9b＝5，所以log95＝B.所以log3645＝eq\f(log945,log936)＝eq\f(log9?5×9?,log9?4×9?)＝eq\f(log95＋log99,log94＋log99)＝eq\f(b＋1,a＋1).解对数综合应用问题的3种方法(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．层级一学业水平达标1.eq\f(log29,log23)＝()A.eq\f(1,2)B．2C.eqC.\f(3,2)D.eqD.q\f(9,2)解析：选B原式＝eq\f(log29,log23)＝eq\f(log232,log23)＝2.2．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2 D．.4解析：选C原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.3．若a＞0，且a≠1，则下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．.若M＝N，则logaM2＝logaN2解析：选B在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M＞0，N＞0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2 B．3a－(1＋a)2C．5a－2 D．－a2＋3a－1解析：选A∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.5．计算log225·log32eq\r(2)·log59的结果为()A．3B．4C．5 D．.6解析：选D原式＝eq\f(lg25,lg2)·eq\f(lg2\r(2),lg3)·eq\f(lg9,lg5)＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(\f(3,2)lg2,lg3)·eq\f(2lg3,lg5)＝6.6．已知a2＝eq\f(16,81)(a＞0)，则loga＝________.解析：由a2＝eq\f(16,81)(a＞0)得a＝eq\f(4,9)，所以logeq\f(4,9)＝logeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝2.答案：27．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．解析：lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1.答案：18．若logab·log3a＝4，则b的值为________．解析：logab·log3a＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f(lgb,lg3)＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案：819．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)； (2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z))； (4)lgeq\f(\r(x),y2z).解：(1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz.(3)lgeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz.(4)lgeq\f(\r(x),y2z)＝lgeq\r(x)－lg(y2z)＝eq\f(1,2)lgx－2lgy－lgz.10．求下列各式的值：(1)2log525＋3log264；(2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))；(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解：(1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4，3log264＝3log226＝18log22＝18，∴2log525＋3log264＝4＋18＝22.(2)原式＝eq\f(1,2)lg(eq\r(3＋\r(5))＋eq\r(3－\r(5)))2＝eq\f(1,2)lg(3＋eq\r(5)＋3－eq\r(5)＋2eq\r(9－5))＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).(3)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2＝(lg5)2－(lg2)2＋2lg2＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.层级二应试能力达标1．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，则x等于()A．9B.eq\f(1,9)C．25D.eqD.q\f(1,25)解析：选D由换底公式，得eq\f(－lg3,lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝eq\f(1,25).2．若ab＞0，给出下列四个等式：①lg(ab)＝lga＋lgb；②lgeq\f(a,b)＝lga－lgb；③eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝lgeq\f(a,b)；④lg(ab)＝eq\f(1,logab10).其中一定成立的等式的序号是()A．①②③④ B．①②C．③④ D．③解析：选D∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，∴①②中的等式不一定成立；∵ab＞0，∴eq\f(a,b)＞0，eq\f(1,2)lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2＝eq\f(1,2)×2lgeq\f(a,b)＝lgeq\f(a,b)，∴③中等式成立；当ab＝1时，lg(ab)＝0，但logab10无意义，∴④中等式不成立．故选D.3．若lgx－lgy＝t，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))3－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))3＝()A．3tB.eqB.q\f(3,2)tC．t D.eq\f(t,2)解析：选Algeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))3－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))3＝3lgeq\f(x,2)－3lgeq\f(y,2)＝3lgeq\f(x,y)＝3(lgx－lgy)＝3t.4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝()A.eq\f(1,3) B．3C．－eq\f(1,3) D．－3解析：选A∵x＝log2.51000，y＝log0.，∴eq\f(1,x)＝eq\f(1,log2.51000)＝log10002.5，同理eq\f(1,y)＝log10000.25，∴eq\f(1,x)－eq\f(1,y)＝log10002.5－log10000.25＝log＝eq\f(lg10,lg1000)＝eq\f(1,3).5.eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________.解析：eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg22－1,lg1.2)＝eq\f(lg12－1,lg1.2)＝eq\f(lg\f(12,10),lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝1.答案：16．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则eq\f(x,y)＝________.解析：因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，y＞0，,x－2y＞0，,xy＝?x－2y?2.))由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则eq\f(x,y)＝4.答案：47．计算下列各式的值：(1)log535＋2logeq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2＝log5eq\f(35×50,14)＋logeq\f(1,2)2＝log553－1＝2.(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))2＋log62·?log62＋log632?))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.8．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．解：原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq\f(1,2).又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2).∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgb,lga)＋\f(lga,lgb)))＝(lga＋lgb)·eq\f(?lgb?2＋?lga?2,lga·lgb)＝(lga＋lgb)·eq\f(?lga＋lgb?2－2lga·lgb,lga·lgb)＝2×eq\f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.2．2.2对数函数及其性质第一课时对数函数的图象及性质预习课本P70～73，思考并完成以下问题(1)对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？(2)对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？(3)反函数的概念是什么？1．对数函数的概念函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．[点睛]形如y＝2log2x，y＝log2eq\f(x,3)都不是对数函数，可称其为对数型函数．2．对数函数的图象及性质a的范围0＜a＜1a＞1图象a的范围0＜a＜1a＞1性质定义域(0，＋∞)值域R定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数[点睛]底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的定义域为R.()(2)y＝log2x2与logx3都不是对数函数．()(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．下列函数是对数函数的是()A．y＝lnx B．y＝ln(x＋1)C．y＝logxe D．y＝logxx答案：A3．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是()A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D.(－∞，1]答案：B4．已知y＝ax在R上是增函数，则y＝logax在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”)答案：增对数函数的概念对数函数的概念[例1]指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x； (2)y＝log6x；(3)y＝logx5; (4)log2x＋1.[解](1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．判断一个函数是对数函数的方法[活学活用]1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.求对数型函数的定义域答案：1求对数型函数的定义域[例2]求下列函数的定义域：(1)y＝log5(1－x);(2)y＝log(1－x)5；(3)y＝eq\f(ln?4－x?,x－3)；(4)y＝eq\r(log0.5?4x－3?).[解](1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域是{x|x<1}．(2)要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,1－x≠1，))解得x<1，且x≠0，所以函数y＝log1－x5的定义域是{x|x<1，且x≠0}．(3)要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x>0，,x－3≠0，))解得x<4，且x≠3，所以函数y＝eq\f(ln?4－x?,x－3)的定义域是{x|x<4，且x≠3}．(4)要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3>0，,log0.5?4x－3?≥0，))解得eq\f(3,4)＜x≤1，所以函数y＝eq\r(log0.5?4x－3?)的定义域是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＜x≤1)))).求对数型函数定义域的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.[活学活用]2．求下列函数的定义域：(1)y＝lg(x＋1)＋eq\f(3x2,\r(1－x))；(2)y＝logx－2(5－x)．解：(1)要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＞0，,1－x＞0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞－1，,x＜1，))∴－1＜x＜1.∴该函数的定义域为(－1,1)．(2)要使函数式有意义，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－x＞0，,x－2＞0，,x－2≠1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜5，,x＞2，,x≠3，))∴2＜x＜5，且x≠3.∴该函数的定义域为(2,3)∪(3,5).对数型函数的图象问题对数型函数的图象问题题点一：对数型函数图象的判断1．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()解析：选Cy＝a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x，∵a＞1，∴0＜eq\f(1,a)＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.题点二：作对数型函数的图象2．已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log5x?x＞0?，,log5?－x??x＜0?.))所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．题点三：对数型函数图象的数据分析3．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞1解析：选B作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．层级一学业水平达标1．函数f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：选C由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,1－x≠0，))解得x>－1且x≠1.2．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4x B．y＝logxC．y＝logx D．.y＝log2x解析：选D由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：选A∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2(3x＋1)＞0.∴函数f(x)的值域为(0，＋∞)．4．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()解析：选C由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)5．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝()A．log2x B.eq\f(1,2x)C．logx D．2x－2解析：选A函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－4a－5＝0，,a＞0，,a≠1，))解得a＝5.答案：57．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．解析：y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.答案：(4，－1)8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1,3]时，f(x)的值域是________．解析：设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1,3]，所以0≤f(x)≤1.答案：[0,1]9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图象过点(－1,0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．解：(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，所以函数的定义域为{x|x＞－2}．10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．解：(1)由x－2＞0，得x＞2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.(2)因为对任意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.又因为x2＋8≥8，所以log4(x2＋8)≥log48＝eq\f(3,2)，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).层级二应试能力达标1．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)解析：选C当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.2．函数f(x)＝eq\f(\r(x－4),lgx－1)的定义域是()A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)C．(4,10)∪(10，＋∞) D．[4,10)∪(10，＋∞)解析：选D由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,lgx－1≠0，,x＞0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥4，,x≠10，,x＞0，))∴x≥4且x≠10，∴函数f(x)的定义域为[4,10)∪(10，＋∞)．故选D.3．函数f(x)＝eq\r(a－lgx)的定义域为(0,10]，则实数a的值为()A．0B．10C．1D.eqD.q\f(1,10)解析：选C由已知，得a－lgx≥0的解集为(0,10]，由a－lgx≥0，得lgx≤a，又当0＜x≤10时，lgx≤1，所以a＝1，故选C.4．函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为()解析：选C函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知，选C.5．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a＞1，,a＞1，))即1＜a＜2，若f(x)，g(x)均为减函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜3－a＜1，,0＜a＜1))无解．答案：(1,2)6．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．解析：作出f(x)＝|logx|的图象(如图)可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.答案：[1,2]7．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．解：(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．∴所求a的取值范围为(0,2)．8．求y＝(logx)2－eq\f(1,2)logx＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x≤4，所以log2≥logx≥log4，即－1≥logx≥－2.设t＝logx，则－2≤t≤－1，所以y＝t2－eq\f(1,2)t＋5，其图象的对称轴为直线t＝eq\f(1,4)，所以当t＝－2时，ymax＝10；当t＝－1时，ymin＝eq\f(13,2).第二课时对数函数及其性质的应用(习题课)比较对数值的大小比较对数值的大小[例1]比较下列各组数中两个值的大小：(1)log23.4，log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．[解](1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.比较对数值大小时常用的4种方法(1)同底的利用对数函数的单调性．(2)同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．[活学活用]1．比较下列各题中两个值的大小：(1)lg6，lg8； (2)log0.56，log0.54；(3)log2与log2; (4)log23与log54.解：(1)因为函数y＝lgx在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg6＜lg8.(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log0.54.(3)由于log2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，log2＝eq\f(1,log2\f(1,5)).又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(1,3)＞eq\f(1,5)，∴0＞log2eq\f(1,3)＞log2eq\f(1,5)，∴eq\f(1,log2\f(1,3))＜eq\f(1,log2\f(1,5)).∴log2＜log2.(4)取中间值1，求解对数不等式∵log23＞log22＝1＝log55＞log54，∴log23＞log54.求解对数不等式[例2](1)已知logaeq\f(1,2)＞1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．[解](1)由logaeq\f(1,2)＞1得logaeq\f(1,2)＞logaa.①当a＞1时，有a＜eq\f(1,2)，此时无解．②当0＜a＜1时，有eq\f(1,2)＜a，从而eq\f(1,2)＜a＜1.∴a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72x＜log0.7(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＞0，,x－1＞0，,2x＞x－1，))解得x＞1.∴x的取值范围是(1，＋∞)．常见对数不等式的2种解法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．[活学活用]2．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．解：由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.当a＞1时，y＝logax是增函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＞1，,3a－1＞0，))解得a＞eq\f(2,3)，∴a＞1；当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＜1，,3a－1＞0，))解得eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3).∴eq\f(1,3)＜a＜eq\f(2,3).有关对数型函数的值域与最值问题综上所述，a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))∪(1，＋∞).有关对数型函数的值域与最值问题[例3]求下列函数的值域．(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log(3＋2x－x2)．[解](1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.因为u＞0，所以0＜u≤4.又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，所以logu≥log4＝－2，所以y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．(1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解．(2)求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值．[活学活用]3．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．解：y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.∵f(x)的定义域为[1,9]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x≤9，,1≤x2≤9，))∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.∴当x＝3时，y取得最大值，为13.对数函数性质的综合应用对数函数性质的综合应用[例4]已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(1－x)，其中(a＞0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)．求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由．[解]∵f(x)＝loga(1＋x)的定义域为{x|x＞－1}，g(x)＝loga(1－x)的定义域为{x|x＜1}，∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x＞－1}∩{x|x＜1}＝{x|－1＜x＜1}．∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，∴h(－x)＝loga(1－x)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－h(x)，∴h(x)为奇函数．[一题多变]1．[变条件]若f(x)变为logaeq\f(1＋x,1－x)(a＞1)：求f(x)的定义域．解：因为f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)，需有eq\f(1＋x,1－x)＞0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x＞0，,1－x＞0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x＜0，,1－x＜0，))所以－1＜x＜1.所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．2．[变设问]在本例条件下，若f(3)＝2，求使h(x)＜0成立的x的集合．解：∵f(3)＝loga(1＋3)＝loga4＝2，∴a＝2.∴h(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)，∴h(x)＜0等价于log2(1＋x)＜log2(1－x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x＜1－x，,1＋x＞0，,1－x＞0，))解得－1＜x＜0.故使h(x)＜0成立的x的集合为{x|－1＜x＜0}．层级一学业水平达标1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是()A．(－∞，7] B．(2,7]C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)解析：选B∵lg(2x－4)≤1，∴0＜2x－4≤10，解得2＜x≤7，∴x的取值范围是(2,7]，故选B.2．已知logm＜logn＜0，则()A．n＜m＜1 B．m＜n＜1C．1＜m＜n D．1＜n＜m解析：选D因为0＜eq\f(1,2)＜1，logm＜logn＜0，所以m＞n＞1，故选D.3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(0,1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)解析：选Df(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．4．已知实数a＝log45，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为()A．b＜c＜a B．b＜a＜cC．c＜a＜b D．c＜b＜a解析：选D由题知，a＝log45＞1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a.5．函数f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是()A．奇函数 B．偶函数C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数解析：选Af(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x2＋1)－x)))＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))＝lgeq\f(1,?x2＋1?－x2)＝lg1＝0，∴f(x)为奇函数，故选A.6．比较大小：(1)log22______log2eq\r(3)；(2)log3π______logπ3.解析：(1)因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且2＞eq\r(3)，所以log22＞log2eq\r(3).(2)因为函数y＝log3x增函数，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.答案：(1)＞(2)＞7．不等式log(5＋x)<log(1－x)的解集为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋x>0，,1－x>0，,5＋x>1－x，))得－2<x<1.答案：{x|－2<x<1}8．设a＞1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为eq\f(1,2)，则a＝________.解析：∵a＞1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，∴loga(2a)－logaa＝eq\f(1,2)，即loga2＝eq\f(1,2)，∴a＝2，a＝4.答案：49．已知对数函数f(x)的图象过点(4,2)，试解不等式f(2x－3)＞f(x)．解：设f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，因为f(4)＝2，所以loga4＝2，所以a＝2，所以f(x)＝log2x，所以f(2x－3)＞f(x)?log2(2x－3)＞log2x?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3＞0，,x＞0，,2x－3＞x))?x＞3，所以原不等式的解集为(3，＋∞)．10．求函数y＝log(1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．解：要使y＝log(1－x2)有意义，则1－x2＞0，∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．令t＝1－x2，x∈(－1,1)．当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，∴x∈(－1,0]时，y＝log(