青岛版八年级数学下册专题讲练巧用中点解决问题试题含答案

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巧用中点办理问题

一、中位线定理

1、三角形中位线界说:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。

如图,在△ABC中,D、E辩解是AB、AC两边中点,求证DE平行且等于BC。利用全等和平行四边形进行证明。2

重申治解:

1）要把三角形的中位线与三角形的中线区走开。三角形中线是连结一极点和它的对边中点的线段,而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。

2）三角形有三条中位线,首尾相接时,小三角形面积等于原三角形的四分之一,这四个三角形都相互全等。

二、直角三角形斜边中线

假如一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。如图,

在

Rt△ABC中,

∠ACB＝90°,D是

AB的中点,求证

CD

AB

。

2

利用矩形性质进行证明。

总结:

1）当图形中有一此中点的时候考虑倍长中线,当图形中有两此中点的时候考虑连结后用中位线；

2）计算中常常使用直角三角形斜边中线等于斜边一半,特别要留意等腰直角三角形。

例1垂足N,且A、28

如,M是△ABC的BC的中点,AN均分∠BAC,且

AB＝6,BC＝10,MN＝1、5,△ABC的周是（

B、32C、18D

BN⊥AN,

）

、25

剖析:延段BN交AC于E,从而结构出全等三角形,（△ABN≌△AEN）,而明MN是中位,从而求出CE的。

答案:延段BN交AC于E。∵AN均分∠BAC,∴∠BAN＝∠EAN,AN＝AN,∠ANB＝∠ANE＝90°,∴△ABN≌△AEN,∴AB＝AE＝6,BN＝EN,

又∵M是△ABC的BC的中点,∴CE＝2MN＝2×1、5＝3,∴△ABC的周是AB＋BC＋AC＝6＋10＋6＋3＝25,故D。

例2如,以1的正方形的四中点点作四形,

再以所得四形四中点点作四形,⋯挨次作下去,中所作

的第三个四形的周；所作的第n个四形的周

。

剖析:依照正方形的性和三角形中位的定理,求出第二个,第三个四形的周,从而律,即可求出第n个四形的周。

答案:依照三角形中位定理得,第二个四形的

(1)2(1)2＝1,周22,第三个四形的周4×(2)2＝2,2222第n个四形的周4·（2）n-1,故答案2,4·（2）n-1。22

利用中点判断三角形形状

示比喻图,在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE（∠ACE＜120°）,点P、点M辩解是线段BE、AD的中点,则△CPM是

（）

A、钝角三角形B、直角三角形C、等边三角形D、非等腰三角形

剖析:开始依照等边三角形的性质,得出AC＝BC,CD＝CE,∠ACB

＝∠ECD＝60°,则∠BCE＝∠ACD,从而依照SAS证明△BCE≌△ACD,得∠CBE＝∠CAD,BE＝AD；再由点P、点M辩解是线段BE、AD的中点,

得BP＝AM,依照SAS证明△BCP≌△ACM,得PC＝MC,∠BCP＝∠ACM,则

∠PCM＝∠ACB＝60°,从而证明该三角形是等边三角形。

答案:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,∴AC＝BC,CD＝CE,∠ACB＝∠ECD＝60°。∴∠BCE＝∠ACD。∴△BCE≌△ACD。∴∠CBE

＝∠CAD,BE＝AD。又点P、点M辩解是线段BE、AD的中点,∴BP＝AM。

∴△BCP≌△ACM。∴PC＝MC,∠BCP＝∠ACM。∴∠PCM＝∠ACB＝60°。∴△CPM是等边三角形。应选C。

改变三角形结构中位线

示例已知两个共极点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC＝∠CEF＝90°,连结AF,M是AF的中点,连结MB、ME。

1）如图1,当CB与CE在同不停线上时,求证:MB∥CF；

2）如图1,若CB＝a,CE＝2a,求BM,ME的长；

3）如图2,当∠BCE＝45°时,求证:BM＝ME。

剖析:（1）如答图1所示,延长AB交CF于点D,证明BM为△ADF的中位线即可；

（2）如答图2所示,作协助线,推出BM、ME是两条中位线；

（3）如答图3所示,作协助线,推出BM、ME是两条中位线:BM＝DF,ME＝1

22

AG；此后证明△ACG≌△DCF,获取AG＝DF,从而证明BM＝

ME。

答案:（1）证明:如答图1,延长AB交CF于点D,则易知△ABC与

DBC均为等腰直角三角形,∴AB＝BC＝BD,∴点B为线段AD的中点,又∵点M为线段AF的中点,∴BM为△ADF的中位线,∴BM∥CF。

2）解:如答图2所示,延长AB交CF于点D,则易知△DBC与△ABC为等腰直角三角形,∴AB＝BC＝BD＝a,AC＝DC＝2a,∴点B为AD中

点,又∵点M为AF中点,∴BM＝1DF。2

辩解延长FE与CA交于点G,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,∴CE＝EF＝GE＝2a,CG＝CF＝22a,∴点E为FG中点,又∵点M为AF中点,∴ME＝1AG。∵CG＝CF2＝22a,CA＝CD＝2a,∴AG＝DF＝2a,∴BM＝ME＝1×2a＝2a。2

（3）证明:如答图3,延长AB交CE于点D,连结DF,则易知△ABC

与△DBC均为等腰直角三角形,

∴AB＝BC＝DB,AC＝DC,∴点B为AD中点,又∵点M为AF中点,∴BM＝12

DF。延长FE与CB交于点G,连结AG,则易知△CEF与△CEG

均为等腰直角三角形,∴CE＝EF＝EG,CF＝CG,∴点E为FG中点,又∵

点M为AF中点,∴ME＝1AG。在△ACG与△DCF2AC＝DC中,ACG＝DCF＝45,∴△ACG≌△DCF（SAS）,∴AG＝DF,∴ME＝BM。CG＝CF

（答题时间:45分钟）一、选择题1、直角三角形ABC的周长为2＋6,斜边上的中线长为1,则该三角形的面积等于（）A、1B、1C、1D、32442、如图,∠MON＝90°,矩形ABCD的极点A、B辩解在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,此中AB＝2,BC＝1,运动经过中,点D到点O的最大间隔为（）

A、2＋1B、5C、145D、552*3、如图,BE、CF辩解是△ABC的高,M为BC的中点,EF＝5,BC＝8,则△EFM的周长是（）

A、21B、18C、13D、15

**4、如图,E、F、G、H辩解是BD、BC、AC、AD的中点,且AB＝CD。以下结论:①EG⊥FH,②四边形EFGH是矩形,③HF均分∠EHG,④EG＝1（BC－AD）,

⑤四边形

EFGH是菱形。此中正确结论的个数是（

）

2

A、1个B、2个C、3个D、4个**5、在正方形ABCD中,P为AB的中点,BE⊥PD的延长线于点E,连结AE、BE、FA⊥AE交DP于点F,连结BF,FC。以下结

论:①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF,此中结论正确

的是（）

A、①②④B、①③④C、①②③D、①②③④

二、填空题

*6、如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的均分

线笔挺于AE,垂足为Q,∠ACB的均分线笔挺于AD,垂足为P,若BC＝10,

则PQ的长为。

*7、如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A刚巧落在菱形的对称核心O处,折痕为EF,若菱形ABCD的边长为2cm,∠A＝120°,则EF＝

cm。

*8、如图,在△ABC中,AB＝AC,M,N辩解是AB,AC的中点,D,E为BC上的点,连结DN,EM。若AB＝13cm,BC＝10cm,DE＝5cm,图中暗影部分

的面积为。

*9、命题:如图,正方形ABCD中,E、F辩解为AB、AD上的点,AF＝BE,CE、BF交于点H,BF交AC于点M,O为AC的中点,OB交CE于点N,连结OH。以下结论中:①BF⊥CE；②OM＝ON；③OH＝1CN；④2OH2＋BH＝CH。此中正确的结论有________。

三、解答题

*10、如图,直线a、b订交于点A,C、E辩解是直线b、a上两点且BC⊥a,DE⊥b,点M、N辩解是CE、BD的中点。

求证:（1）DM＝BM；（2）MN⊥BD。

*11、已知:在△ABC中,∠ABC＝90°,点E在直线AB上,ED与直线AC笔挺,垂足为D,且点M为EC中点,连结BM,DM。

1）如图1,若点E在线段AB上,研究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数目关系,并直接写出你获取的结论；

2）如图2,若点E在BA延长线上,你在（1）中获取的结论能否发生变动？写出你的猜想并加以证明；

3）若点E在AB延长线上,请你依照条件画出相映的图形,并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数目关系。

**12、已知:在△ABC中,BC＞AC,动点D绕△ABC的极点A逆时针转动,且AD＝BC,连结DC。过AB、DC的中点E、F作直线,直线EF与直线AD、BC辩解订交于点M、N。

1）如图1,当点D转动到BC的延长线上时,点N刚巧与点F重合,取AC的中点H,连结HE、HF,依照三角形中位线定理和平行线的性质,可得结论∠AMF＝∠BNE（不需证明）；

2）当点D转动到图2或图3中的地址时,∠AMF与∠BNE有何数目关系？请辩解写出猜想,并任选一种状况证明。

1、B剖析:∵CD是直角三角形ABC斜边上的中线,∴AB＝2CD＝

2,∵直角三角形ABC的周长是2＋6,∴AC＋BC＝6,两边平方22222得:AC＋2AC?BC＋BC＝6,由勾股定理得:AC＋BC＝AB＝4,∴2AC?BC2,AC·BC＝1,∴S△ABC＝1AC·BC＝1×1＝1222

。应选B。

2、A剖析:如图,取AB的中点E,连结OE、DE、OD,∵OD＜OE＋DE,∴当O、D、E三点共线时,点D到点O的间隔最大,此时,∵AB＝2,BC＝1,∴OE＝AE＝1AB＝1,DE＝AD22＝22＝2,∴的最大值2AE11OD为:2＋1。

3、C剖析:∵BE、CF辩解是△ABC的高,M为BC的中点,∴在

Rt△BCE中,EM＝1BC＝4,在Rt△BCF中,FM＝1BC＝4,∴△EFM的周22

长＝EM＋FM＋EF＝4＋4＋5＝13。应选C。

4、C剖析:∵E、F、G、H辩解是BD、BC、AC、AD的中点,∴EF

＝1CD,FG＝1AB,GH＝1CD,HE＝1AB,∵AB＝CD,∴EF＝FG＝GH＝2222

HE,∴四边形EFGH是菱形,∴①EG⊥FH,正确；②四边形EFGH是矩形,过错；③HF均分∠EHG,正确；④当AD∥BC,以以以下图:E,G辩解为BD,AC中点,∴连结CD,延长EG到CD上一点N,∴EN＝1BC,GN＝1AD,∴EG22＝1（BC－AD）,唯有AD∥BC时才能够建立,而本结论中AD与BC很2明显不屈行,故本结论过错；⑤四边形EFGH是菱形,正确。综上所述,①③⑤,共3个正确。应选C。

5、D剖析:∵正方形ABCD,BE⊥ED,EA⊥FA,∴AB＝AD＝CD＝BC,∠BAD＝∠EAF＝∠90°＝∠BEF,∵∠APD＝∠EPB,∴∠EAB＝

DAF,∠EBA＝∠ADP,∵AB＝AD,∴△ABE≌△ADF,∴①正确；∵AE＝AF,BE＝DF,∴∠AEF＝∠AFE＝45°,取EF的中点M,连结AM,∴AM⊥EF,AM＝EM＝FM,∴BE∥AM,∵AP＝BP,∴AM＝BE＝ME,∴∠EMB＝∠EBM＝45°,∴∠AMB＝90°＋45°＝135°＝

FMB,∵BM＝FM,AM＝FM,∴△ABM≌△FBM,∴AB＝FB,∴②正确；∴∠BAM＝∠BFM,∵∠BEF＝90°,AM⊥EF,∴∠BAM＋∠APM＝

90°,∠EBF＋∠EFB＝90°,∴∠APF＝∠EBF,∵AB∥CD,∴∠APD＝

FDC,∴∠EBF＝∠FDC,∵BE＝DF,BF＝DC,∴△BEF≌△DFC,∴FE＝CF,∠FEB＝∠CFD＝90°,∴③正确,④正确；应选D。

6、3剖析:∵BQ均分∠ABC,BQ⊥AE,∴△BAE是等腰三角形,同理△CAD是等腰三角形,∴点Q是AE中点,点P是AD中点（三线合一）,∴PQ是△ADE的中位线,∵BE＋CD＝AB＋AC＝26－BC＝26－1016,∴DE＝BE＋CD－BC＝6,∴PQ＝1DE＝3。27、3解:连结BD、AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC平分∠BAD,∵∠BAD＝120°,∴∠BAC＝60°,∴∠ABO＝90°－60°＝30°,∵∠AOB＝90°,∴AO＝1AB＝122

×2＝1,由勾股定理得:BO＝DO

3,∵A沿EF折叠与O重合,∴EF⊥AC,EF均分

AO,∵AC⊥BD,∴EF∥BD,∴EF为△ABD的中位线,∴EF＝1BD＝1×22（3＋3）＝3,故答案为:3。

8、30cm2剖析:连结MN。∵M,N辩解是AB,AC的中点,∴MN是△ABC的中位线,∴MN∥BC,且MN＝1BC＝5cm；过点A作AF⊥BC于F。则2

AF⊥MN,AF＝12cm（勾股定理）。∵图中暗影部分的三个三角形的底长都是5cm,且高的和为12cm；∴S暗影＝12×5×12＝30cm。2

9、①②④剖析:∵AF＝BE,AB＝BC,∠BAD＝∠ABC＝

90°,∴△ABF≌△BCE,∴∠BCE＝∠ABF,∠BFA＝∠CEB,∴∠BEC＋

BCE＝∠BEH＋∠ABF＝90°,∴∠BHE＝90°,即BF⊥EC,①正确；∵四边形ABCD是正方形,∴BO⊥AC,BO＝OC,由题意,正方形ABCD中,∠ABO＝∠BCO,已证∠BCE＝∠ABF,∴∠ECO＝

∠FBO,∴△OBM≌△OCN,∴OM＝ON,即②正确；③∵△OBM≌△OCN,∴BM＝CN,唯有当H为BM的中点时,OH等于CN的一半,故③过错；④过O点作OG笔挺于OH,OG交CH于点G,在△OGCOCG＝OBH

与△OHB中,OC＝OB

GOC＝HOB

,故△OGC≌△OHB,∵OH⊥OG,∴△OHG是

等腰直角三角形,HG2OH,CHHGCG2HBH,因此结论

④正确。综上所述,①②④正确。

10、证明:（1）∵BC⊥a,DE⊥b,∴∠CBE＝∠CDB＝

90°,∴△CBE,△CDE为直角三角形,∵点M是CE的中点,∴DM＝BM＝1

2

EC,∴DM＝BM；（2）∵DM＝BM,∴△MDB为等腰三角形,又∵N为BD

的中点,

∴MN为BD边上的中线,∴MN⊥BD（三线合一）。

11、解:（1）结论:BM＝DM,∠BMD＝2∠BCD。

原由以下:∵BM、DM辩解是Rt△EBC、Rt△DEC的斜边上的中线,∴BM＝DM＝12

CE；又∵BM＝MC,∴∠MCB＝∠MBC,即∠BME