辽宁省丹东市世纪中学高三数学理摸底试卷含解析

辽宁省丹东市世纪中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在区间上为增函数且以π为周期的函数是（）A． B．y=sinx C．y=﹣tanx D．y=﹣cos2x参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性．【分析】求出选项中的每个函数在区间上为增函数且以π为周期的函数即可．【解答】解：在区间上为增函数且以4π为周期的函数，不合题意；y=sinx在区间上为增函数且以2π为周期的函数，不合题意；y=﹣tanx不满足在区间上为增函数且以π为周期的函数．y=﹣cos2x在区间上为增函数且以π为周期的函数，满足题意，正确．故选D．2.已知全集为R，A={x≤0}，B={x|x＞0}，则?R（A∩B）=（）A．（﹣∞，0]∪（1，+∞）B．（﹣∞，0][1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]参考答案：A考点：交、并、补集的混合运算．

专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B交集的补集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x≤1，即A=（﹣1，1]，∵B=（0，+∞），∴A∩B=（0，1]，则?R（A∩B）=（﹣∞，0]∪（1，+∞），故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.已知关于x的方程的两根分别为，则的取值范围是

A．

B．

C．

D．参考答案：B4.已知等差数列中，为其前n项和，若，，则当取到最小值时n的值为（

）A．5

B．7

C．8

D．7或8参考答案：D略5.设函数，则下列结论正确的是A.的图像关于直线对称

B.的图像关于点对称C.把的图像向左平移个单位，得到一个偶函数的图像D.的最小正周期为，且在上为增函数参考答案：C把函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，此函数为偶函数，因此选C。6.函数图象交点的横坐标所在区间是（

）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）参考答案：C7.对函数f（x）=，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都为某个三角形的三边长，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的值．【分析】当m=2时，f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长；当m＞2时，只要即可，当m＜2时，只要即可，由此能求出结果．【解答】解：当m=2时，f（x）==1，此时f（a）=f（b）=f（c）=1，是等边三角形的三边长，成立；当m＞2时，，只要即可，解得2＜m＜5；当m＜2时，，只要即可，解得，综上．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．8.已知函数分f（x）＝3sin（ωx－）（ω＞0）和g（x）＝3cos（2x＋）（｜｜＜π）的图象的对称中心完全相同，则的值为

A．

B．

C．或－

D．－或

参考答案：C9.已知为等差数列，若，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A因为为等差数列，若，则，选A10.在复平面内，复数z=（其中为虚数单位）对应的点不可能位于（

）A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

▲

．参考答案：12.用斜二测画法画一个边长为的正三角形的直观图，则此直观图面积的为_____.参考答案：略13.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线和直线，所围成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为；由同时满足，，，的点构成的平面图形，绕轴旋转一周所得到的旋转体为，根据祖暅原理等知识，通过考察可以得到的体积为

．参考答案：．作出两曲线所表示的可行区域知，的轴截面为一半径为的半圆内切两半径为的小圆所形成，面积近似为的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又的体积为，于是所表示几何体的体积应为．故填．【解题探究】本题以数学史中祖暅原理为命题背景，考查旋转体的体积求解和类比推理能力．解题时首先由问题给出的图形旋转，求出旋转体的体积，然后利用祖暅原理分析出旋转体的体积与旋转体的体积之间的关系，进而得到的体积．14.（2009福建卷理）若（i为虚数单位，

）则_________

参考答案：2解析：由，所以故。15.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①；

②；③；

④．其中是“垂直对点集”的序号是

．参考答案：③④考点：1.集合的概念；2.新定义问题；3.函数的图象和性质.16.在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且的三边所在直线

的斜率满足

（1）求点P的轨迹C的方程

（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，

问：是否存在点P，使得PQA和PAM的面积满足

？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

参考答案：解：（1）设点为所求轨迹上的任意一点，则由，得

，整理得轨迹的方程为且

--------4分（没有注明限制条件给2分）（2）设,由

,可知直线∥

则

,故，即，

直线OP的方程为，①

直线QA的斜率为，

直线QA的方程为，

即，②

联立①②得

，点的横坐标为定值由，得到，因为∥，所以,由，得，的坐标为

……12分略17.在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足||=||，则?的取值范围是．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；转化思想；平面向量及应用．【分析】如图所示，设P（x，1），Q（2，y）（0≤x≤2，﹣2≤y≤0）．由于||=||，可得|x|=|y|，x=﹣y．可得?=x2﹣2x﹣y+1=x2﹣x+1，再利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，设P（x，1），Q（2，y）（0≤x≤2，﹣2≤y≤0）．∵||=||，∴|x|=|y|，∴x=﹣y．∵=（﹣x，﹣11），=（2﹣x，y﹣1），则?=﹣x（2﹣x）﹣（y﹣1）=x2﹣2x﹣y+1=x2﹣x+1=+=f（x），∴当x=时，则f（x）取得最小值．又f（0）=1，f（2）=3，∴f（x）的最大值为3．∴则?的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．(Ⅰ)解不等式；(Ⅱ)，，求a的取值范围．参考答案：解法一：(Ⅰ)①当时，，得；

………2分②

时，，得；

………3分③

时，，得；

………4分综上所述，不等式解集为．

………5分(Ⅱ)依题意，

其图象如图所示，

………………7分的图象为过定点的直线，

………………8分由图象可知，当直线的斜率时，，．

故的取值范围为.

………………10分19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中点．（Ⅰ）证明：ND∥面PAB；（Ⅱ）求AN与面PND所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PB中点M，连结AM，MN，证明：四边形AMND是平行四边形，得出ND∥AM，即可证明ND∥面PAB；（Ⅱ）在面PAD内过A做AF⊥PD于F，则CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，连接NF，则∠ANF是AN与面PND所成的角，即可求AN与面PND所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取PB中点M，连结AM，MN．∵MN是△BCP的中位线，∴MN平行且等于BC．

依题意得，AD平行且等于BC，则有AD平行且等于MN∴四边形AMND是平行四边形，∴ND∥AM∵ND?面PAB，AM?面PAB，∴ND∥面PAB（Ⅱ）解：取BC的中点E，则，所以四边形AECD是平行四边形，所以CD∥AE，又因为AB=AC，所以AE⊥BC，所以CD⊥BC，又BC∥AD，所以CD⊥ADPA⊥面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD又PA∩AD=A，所以CD⊥面PAD．在面PAD内过A做AF⊥PD于F，则CD⊥AF，又CD∩PD=D，AF⊥面PDC，连接NF，则∠ANF是AN与面PND所成的角．在Rt△ANF中，，，，所以AN与面PND所成角的正弦值为20.已知（1）求的最大值，及当取最大值时x的取值集合。（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）………………2分……4分

（Ⅱ）因为对定义域内任一x有

∴=最大为

21.如图所示，四棱锥A﹣BCDE，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，DE∥BC，BC=2DE=6，AB=4，∠ABC=30°．（1）求证：AC⊥BE；（2）若∠BCE=45°，求三棱锥A﹣CDE的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用余弦定理计算AC，得出BC⊥AC，再利用面面垂直的性质得出AC⊥平面BCDE，故而AC⊥BE；（2）过E作EF⊥BC，垂足为F，利用三角形知识求出EF，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB=4，BC