高中物理模型法解题-板块模型

高中物理模型法解题——板块模型

【模型概述】板块模型是多个物体的多个过程问题，是最经典、最基本的模型之一。板块模型由木板和物块组成的相互作用的系统构成，涉及到静力学知识、牛顿运动定律、运动学规律、动能定理和能量的转化和守恒等方面的知识。板块类问题的一般解题方法包括受力分析、物体相对运动过程的分析、参考系的选择、绘制v-t图像、摩擦力做功与动能之间的关系和能量守恒定律的运用。一、含作用力的板块模型问题：【例题1】如图所示，木板静止于水平地面上，在其最右端放一可视为质点的木块。已知木块的质量为1kg，木板的质量为4kg，长为2.5m，上表面光滑，下表面与地面之间的动摩擦因数为0.2。现用水平恒力F=20N拉木板，g取10m/s²，求：（1）木板的加速度；（2）要使木块能滑离木板，水平恒力F作用的最短时间；（3）如果其他条件不变，假设木板的上表面也粗糙，其上表面与木块之间的动摩擦因数为0.3，欲使木板能从木块的下方抽出，需对木板施加的最小水平拉力是多大？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（4）若木板的长度、木块质量、木板的上表面与木块之间的动摩擦因数、木块与地面间的动摩擦因数都不变，只将水平恒力增加为30N，则木块滑离木板需要多长时间？【解题思路】（1）根据牛顿第二定律求出木板的加速度。（2）让木板先做匀加速直线运动，然后做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律，结合位移之和等于板长求出恒力F作用的最短时间。（3）根据牛顿第二定律求出木块的最大加速度，隔离对木板分析求出木板的加速度，抓住木板的加速度大于木块的加速度，求出施加的最小水平拉力。（4）应用运动学公式，根据相对加速度求所需时间。【答案】（1）木板的加速度为2.5m/s²；（2）要使木块能滑离木板，水平恒力F作用的最短时间为1s；（3）对木板施加的最小水平拉力为25N；（4）木块滑离木板需要2s。【解析】（1）木板受到的摩擦力Ff=μ(M+m)g=10N，从而得到木板的加速度为2.5m/s²。（2）设拉力F作用t时间后撤去，木板的加速度为，木板先做匀加速运动，后做匀减速运动，且a=−a′。有at²=L，解得：t=1s，即F作用的最短时间是1s。（3）设木块的最大加速度为a，根据牛顿第二定律，有a=Mgμ/(M+m)。隔离对木板分析，得到木板的加速度为a′=Ff/(M+m)，由于木板的加速度大于木块的加速度，所以施加的最小水平拉力为F=a′(M+m)=25N。（4）应用运动学公式，根据相对加速度求所需时间，得到木块滑离木板需要2s。木板的速度减小。根据速度—时间图像，可得到木板的加速度为2m/s2，物块的加速度为4m/s2。设物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与地面间的动摩擦因数为μ'，则有以下方程组：对物块：μmg=ma对木板：μ'mg-μ(m+M)g=Ma解得：μ=0.2,μ'=0.3(2)从t＝时刻到物块与木板均停止运动时，木板的位移为0.5at2，物块的位移为0.5a(t-t0)2，其中t0为物块落到木板上的时刻。将a代入即可得到物块相对于木板的位移大小为1.125m。木板和物块间的运动过程中，木板减速直到两者速度相同。根据图示，在t=0.5s时，两者速度相同。假设物块和木板在t到t1时间间隔内的加速度大小分别为a1和a2，则有以下公式：v-v1=a2t1(1)v1=a1t1(2)其中v=5m/s，v1=1m/s分别为木板在t=t1时速度的大小。假设物块和木板的质量为m，物块和木板间、木板与地面间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，则根据牛顿第二定律得：μ1mg=ma1(3)(μ1+2μ2)mg=ma2(4)联立公式(1)-(4)得到：μ1=0.20(5)μ2=0.30(6)在t1时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块与木板之间的摩擦力改变方向。设物块与木板之间的摩擦力大小为f，物块和木板的加速度大小分别为a1'和a2'，则根据牛顿第二定律得：f=ma1'(7)2μ2mg-f=ma2'(8)假设f<μ1mg，则a1'=a2'。由公式(5)-(8)得到f=μ1mg，因此a1'等于a1。物块的v-t图像如图中点划线所示。根据运动学公式，物块和木板相对于地面的运动距离分别为：s1=2a1t1^2(10)s2=t1(v+v1)/2+1/2a2t1^2(11)物块相对于木板的位移的大小为：s=s2-s1(12)联立公式(1)-(6)、(10)-(12)得到：s=1.125m(13)在暴雨时，山体滑坡或泥石流等地质灾害可能发生。在某地，有一倾角为θ=37°的山坡C，上面有一质量为m的石板B，其上下表面有一碎石堆A(含有大量泥土)，A和B均处于静止状态。假设某次暴雨中，A浸透遇水后总质量也为m，在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ1减少，B、C间的动摩擦因数μ2减少0.5，A、B开始运动，此时刻为计时起点。在2s末，B的上表面突然变光滑，μ2保持不变。已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=27m，C足够长，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取重力加速度大小g=10m/s2。求：(1)在0-2s时间内A和B加速度的大小；(2)A在B上总的运动时间。如图，在光滑的水平面上静止放有一质量为$M=4kg$的长木板，现有一质量为$m=1kg$的小物块（视为质点）以$v=10m/s$的初速度从木板的左端滑上木板，已知物块与木板间的动摩擦因数$\mu=0.4$，要使物块不能从木板上滑下，求木板的长度至少为多少？【解析】设木板长度为$L$，物块在木板上滑行的距离为$s$，在$t$时间内滑行的平均速度为$v'$，物块在木板上的加速度为$a$，木板和物块之间的摩擦力为$f$。根据牛顿第二定律，物块在水平方向上的合力为$F=ma$，合力的方向与加速度方向相反，即$F=-f$。根据动摩擦定律，摩擦力$f=\muN$，其中$N$为物块所受的支持力，由于物块和木板之间没有相对运动，所以$N=mg$，其中$g$为重力加速度。综合上述公式可得：$$ma=-\mumg$$$$a=-\mug=-3.92m/s^2$$在$t$时间内，物块在水平方向上的位移为：$$s=v't$$根据匀变速直线运动的位移与时间的关系，可得：$$s=\frac{1}{2}at^2+v_0t$$由于物块在$t$时间内刚好停下来，所以$v'=0$，代入上式可得：$$s=\frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}(-3.92)t^2$$将$s$代入下式可得：$$s\leqL$$$$\frac{1}{2}(-3.92)t^2\leqL$$解得：$$L\geq\frac{1}{2}(-3.92)t^2=0.98m$$所以，木板的长度至少为$0.98m$。滑块滑到木板最右端时不会掉下，因为此时滑块和木板的速度相同。根据动量守恒定律，可以得到滑块和木板的速度关系为$mv=(M+m)v$。根据能量守恒定律，可以得到木板的最小长度为$L=10m$。在此问题中，需要综合运用动量守恒定律和能量守恒定律，同时考虑摩擦产生的热量。临界条件是滑块和木板速度相等。一质量为500kg的木箱放于质量为2000kg的平板车的后部，木箱到驾驶室的距离为$L=1.6m$。已知木箱和平板车间的动摩擦因数为$u=0.484$，平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的0.2倍。平板车以$Vo=22m/s$的恒定速率行驶，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动。为了避免木箱撞击驾驶室，取$g=10$。问题一需要求从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间。在此过程中，平板车和箱子都做匀减速运动。由牛顿第二定律和运动学公式，可以求得箱子和车子的加速度大小，并联立求解时间$t$。问题二需要求驾驶员刹车时的制动力不能超过多少。由牛顿第二定律，可以求解刹车时的制动力。问题一的解答：从刹车开始到平板车完全停止，至少需要经过$4.4s$的时间。在此过程中，平板车刹车的加速度大小为$a_{car}$，木箱的加速度大小为$a_{box}$。对木箱，有$μm_{box}g=m_{box}a_{box}$，可得$a_{box}=μg=4.84m/s^2$。为了避免撞击驾驶室，箱子和车子的位移之差恰好等于$L$，联立求解时间$t$，得到$t=4.4s$。问题二的解答：刹车时刻动力最大为$F$，则$F-μm_{box}g+0.2(m_{box}+m_{car})g=m_{car}a_{car}$，可得$F=7420N$。本题需要综合运用牛顿第二定律和运动学公式，挖掘出隐含的临界条件：两者位移之差等于$L$。如图所示，进行惯性演示实验，将小砝码置于桌面上的薄纸板上，用水平向右的拉力将纸板迅速抽出。若砝码和纸板的质量分别为m1和m2，各接触面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g。(1)当纸板相对砝码运动时，砝码和纸板之间的摩擦力为f1=μm1g，桌面对纸板的摩擦力为f2=μ(m1+m2)g。纸板所受摩擦力的大小为f=f1+f2=μ(2m1+m2)g。(2)要使纸板相对砝码运动，需要拉力的大小为F＞2μ(m1+m2)g。设砝码的加速度为a1，纸板的加速度为a2，则有f1=m1a1，F-f1-f2=m2a2。发生相对运动需要纸板的加速度大于砝码的加速度，即a2＞a1。因此F=f1+f2+m2a2＞f1+f2+m2a1=μm1g+μ(m1+m2)g+μm2g=2μ(m1+m2)g。(3)在本实验中，m1=0.5kg，m2=0.1kg，μ=0.2，砝码与纸板左端的距离d=0.1m，取g=10m/s2。若砝码移动的距离超过l=0.002m，人眼就能感知。为确保实验成功，纸板所需的拉力至少为22.4N。纸板抽出前，砝码运动的距离为d，纸板运动的距离为x1，纸板抽出后，砝码在桌面上运动的距离为x2。由题意知a1=a3，a1t1=a3t2，解得t1=0.1s，t2=0.02s，代入数据联立得F=22.4N。点评：这道题考查了连接体的运动，应用隔离法分别受力分析，列运动方程，难度较大。需要注意格式错误和明显有问题的段落，同时对于题干中的公式和符号需要正确使用。如图所示，一块质量为5kg、长为5m的薄板A放在水平桌面上，右端与桌边相齐。在距右端3m处放置一质量为2kg的物体B（可看成质点）。已知A、B间动摩擦因数为0.1，A与桌面间和B与桌面间的动摩擦因数均为0.2，原系统静止。现在在板的右端施加一大小一定的水平力F持续作用在A上直到将A从B下抽出才撤去，且使B最后停于桌的右边缘。求：（1）B运动的时间。（2）力F的大小。解析：对于B，在未离开A时，根据牛顿第二定律得加速度为aB1=1m/s^2。设经过时间t1后B离开A，根据牛顿第二定律得离开A后B的加速度为aB2=-2m/s^2。设物体B离开A时的速度为vB，根据运动学公式有vB=aB1t1，aB1t1^2=s，代入数据解得t1=2s，t2=1s。所以B运动的时间是t=t1+t2=3s。设A的加速度为aA，则根据相对运动的位移关系得aA*t1^2-aB1*t1^2=L-s。解得：aA=2m/s^2。由牛顿第二定律得F-μ1mg-μ2(m+M)g=MaA，代入数据得：F=26N。答案：（1）B运动的时间是3s。（2）力F的大小是26N。点评：解决本题的关键能够正确地进行受力分析，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解。$$F-f_g=Ma$$其中$f_g$为物体所受重力，$f_f$为木板和物体之间的动摩擦力，$a$为木板和物体的共同加速度，解得$a=\frac{F}{M+m\mu}$，为使物体不发生滑动，$f_f$的最大值为$f_f=\muf_g=0.1mg$，代入上式得$F\leq4N$，即为所求．（2）物体离开木板时，木板和物体的加速度不同，分别设为$a_1$和$a_2$，由牛顿第二定律有：$$F-f_g-f_f=Ma_1$$$$f_f=ma_2$$由位移关系得$M+m=L$，联立以上三式解得：$$a_1=\frac{F-mg}{M+m\mu}$$$$a_2=\frac{F-mg}{m}-\mua_1$$由位移关系得物体离开木板的时间为$t=\frac{L}{a_1}$，代入速度时间公式$v=a_2t$，代入数据解得$v=4m/s$，即为所求．【答案】（1）$F\leq4N$；（2）$v=4m/s$．【点评】本题考查牛顿第二定律和加速度的计算，需要注意隔离分析和整体分析的结合运用．题目中没有明显的格式错误和有问题的段落，所以不需要删除和改写。以下是整理后的文章：根据牛顿第二定律，有$F=(M+m)a$。小物块的加速度由木块对它的静摩擦力提供，即$f=ma≤μmg$，解得$F≤μ(M+m)g=4N$。物体滑过木板所用时间为$t$，由位移关系得$1=at$，解得$t=1s$。