《原子物理与量子力学》第8章-矩阵力学简介课件

原子物理与量子力学原子物理与量子力学第8章矩阵力学简介第8章矩阵力学简介§8.1

态的表象矩阵简介(Review)1.

N×M矩阵§8.1态的表象矩阵简介(Review)1.N×M矩阵《原子物理与量子力学》第8章-矩阵力学简介课件《原子物理与量子力学》第8章-矩阵力学简介课件矩阵A的共轭矩阵矩阵A的共轭矩阵例如例如表象：波函数和力学量算符的不同表示形式。常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。直角坐标系的旋转变换

平面直角坐标系Ox1x2中，两坐标轴的基矢可表示为e1、e2，其标积为平面上的任一矢量A可表示为在两个坐标轴上的分量（或投影）为表象：波函数和力学量算符的不同表示形式。直角坐标系的旋转变换（A1，A2）称为A在坐标系Ox1x2中的表示。坐标系Ox1x2沿垂直于自身平面的轴顺时针转动θ角，成为一个新的坐标系，单位基矢变为。在新坐标系中的两基矢的标积为

同一矢量A在新坐标系中的表示为

矢量A在新坐标系中的投影分量为（A1，A2）称为A在坐标系Ox1x2中的表示。

矢量A在新旧坐标系中两种表示的关系为何？应当相等，即

用新坐标系的基矢量分别对上式的后一等式作标积，有上式可用矩阵形式表示或记为矢量A在新旧坐标系中两种表示的关系为何？应当其中，是把矢量A在两坐标系中不同表示的变换矩阵，这是一个幺正矩阵。若转动角θ一旦给出，两个坐标系之间的旋转变换关系就完全确定。量子力学中态矢量的表象假定算符具有分立的本征值谱，本征方程为其中，是把矢量A在两坐标系中不同表示的变换矩阵，这是一个幺正作以下积分即，是

与各基矢（的本征态）的内积。这里的波函数也叫态矢量，属于希尔伯特空间（复数空间），可以是无穷维的。把态矢量或其转置共轭写成如下矩阵形式其归一化条件为作以下积分即，是与各基归一化条件写成矩阵形式为I是单位矩阵。态矢量在不同的表象中有不同的表示。坐标表象以坐标算符的本征态为基矢构成的表象称为坐标表象。以一维的x坐标为例，其坐标算符的本征方程为归一化条件写成矩阵形式为I是单位矩阵。态矢量在不同的表象中有相应本征函数为。任意量子态均可以按该本征函数展开动量表象以动量算符的本征态为基矢构成的表象称为动量表象。以一维的动量算符为例，其本征态（坐标表象）为任意量子态均可以按该本征函数展开相应本征函数为。任意量子态均可以按该本同一态矢量（波函数）在不同表象中的关系该问题相当于同一矢量在直角坐标下经过转动变换后的两种表示之间的关系。两种表象中的态矢量关系为表示成矩阵关系同一态矢量（波函数）在不同表象中的关系该问题相当于同算符的表象表示仍以线性空间的矢量作类比§8.1

算符的矩阵表示算符的表象表示仍以线性空间的矢量作类比§8.1算符的矩阵表令写成矩阵形式，有用e1、e2对上式作点乘，得

令写成矩阵形式，有用e1、e2对上式作点乘，得即R(θ)矢量A逆时针转动θ角的变换矩阵，容易证明是它幺正矩阵。即R(θ)矢量A逆时针转动θ角的变换矩阵，容易证明是它幺正矩与此类比，设经算符作用后变为，即以F表象（力学量F完全集的本征态）为基矢，和分别表示为如何通过上式由ak求bk?与此类比，设经算符作用后变为，即以F表象（力学量《原子物理与量子力学》第8章-矩阵力学简介课件力学量算符对态的作用可以写成矩阵L一旦确定，则所有基矢（因而任何矢量）在作用下的变化就完全确定了。力学量算符对态的作用可以写成矩阵L一旦确定，则所有基例1求一维谐振子的坐标x、动量px以及哈密顿量H在能量表象中的表示。例1求一维谐振子的坐标x、动量px以及哈密顿量H在能量表象《原子物理与量子力学》第8章-矩阵力学简介课件《原子物理与量子力学》第8章-矩阵力学简介课件《原子物理与量子力学》第8章-矩阵力学简介课件§8.3

量子力学公式的矩阵表示

在引入特定表象后，量子力学中的所有公式都可用矩阵表述，从而构成矩阵力学在F表象中，力学量L的矩阵元表示为

而量子态ψ则表示成列矢的形式，即量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式§8.3量子力学公式的矩阵表示在引入特定表象后，量薛定谔方程的矩阵表示薛定谔方程在F表象中，系数为时间t函数，薛定谔方程为作以下内积薛定谔方程的矩阵表示薛定谔方程在F表象中，系数为时间t函数，记哈密顿算符的矩阵元为薛定谔方程变为表示成矩阵形式记哈密顿算符的矩阵元为薛定谔方程变为表示成矩阵形式平均值公式的矩阵表示力学量的平均值即在自身表象中，矩阵元为代入平均值公式平均值公式的矩阵表示力学量的平均值即在自身表象中，矩阵元为代本征值方程的矩阵表示算符的本征方程为在F表象中，任意波函数按其本征态展开再代入本征方程，得用ψj作内积，得本征值方程的矩阵表示算符的本征方程为在F表象中，任意波函方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即

如表象空间的维数为N，则上式是关于L的N次方程，有个N实根。若有n个重根，则力学量L的本征态是n重简并的。即写成矩阵形式方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即如表象空用解得的根一一代入前面的代数所得方程组可以得到，并把它表成列矢的形式

这是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。用解得的根一一代入前面的代数所得方程组可以得到，并把它力学量的表象变换力学量的表象变换按照F表象中的基矢展开用对上式作内积即或按照F表象中的基矢展开用对上