2023学年完整公开课版《物体的平衡》

物体的平衡第一讲物体的平衡一、力学中物体的平衡概念（一）、物体的力学平衡状态静止匀速直线运动匀速转动（绕定轴）静平衡动平衡1、恒定平衡2、瞬间的平衡（在振子运动至Δl=0处的瞬间）（在木棒从竖直倒下的瞬间）12基本知识与方法（三）物体的平衡条件质点的平衡充要条件：刚体的平衡充要条件：（对任意轴）以保证质心不产生加速度以保证质点不产生加速度以保证刚体不产生转动加速度二、应用平衡条件解题注意：（一）、质点的受力必为共点力，可利用共点力的合力为零解质点平衡问题例题1、如图，在水平天花板与竖直墙壁之间通过不计质量的软绳和光滑的轻小滑轮悬挂重物G。绳长2.5m，OA=1.5m，G=40N。求绳中张力T的大小。讨论：（1）当B固定，A缓慢左移时，T如何变化？（2）当A固定，B缓慢上移时，T如何变化？

（二）物体平衡的本质a=0β=0CGABO1.5m解：将图中虚线圆中的物体视为质点作为研究对象.TT由平衡条件有：ααCGABOα由得所以1.5m选什么作为研究对象质点？如何求α？其受力如图所示.如图，（1）当B固定，A缓慢移动左时，T如何变化？（2）当A固定，B缓慢上移时，T如何变化？A左移时，由于ACB’的长度已定，OB′必减少，α变大，则T变大。B上移时，由于ACB′的长度一定，所以B′位置不动，故α不变，题后思考在（1）、（2）情况下，滑轮如何移动？TTααCGABOα1.5m讨论：因此T不变。（二）刚体转动轴的选定是任意的但必须合理，应使尽量多的未知力（特别是不需求的）的力矩为零

例题2、

证明如图所示的三个人抬一匀质三角形木板时所用的力相等。ABC证明：木板受力如图所示。如何选转动轴较合理？以BC为转动轴，F1F2F3GOO2O1O3所以分别以AC、AB边为轴则可得到所以有α有平衡条件有：（三）正确判断受力方向（1）当刚体受三个非平行力处于平衡时，若其中的两个力的方向已知，则可准确确定第三个力的方向依据：刚体受三个非平行力作用而处于平衡时，该三力必共面共点。PF1F2F3墙壁对横杆AB

的作用力R

的方向由此得以确定。GTR1、准确确定力的方向

用“反证法”证明依据的正确性若F3

不在F1

和F2所决定的平面内，则F1

与

F2

的合力F12

就不可能与F3

反向；若F3

不过F1

与F2

的交点P，则对过P点的不与F3

平行的转动轴来说，合力矩必定不为零。如图所示，（2）若n个力平衡，其中的（n-1）个力交于一点且交点已知，则可准确确定第n个力的方向。12n-1nP依据：若n个力平衡，且其中的（n-1）个力交于一点，则第n个力的作用线必过此点。

用反证法证明依据若第n个力不过此点，则该力对过此点的转轴的力矩不为零，而其它（n-1）个力对此转轴的力矩为零，所以该n个力对此转轴的合力矩不为零。这与平衡条件矛盾。2、大致确定力的方向：（当物体受力不止三个或者受到三个力但不知道其两个力的方向时）

例题3、如图所示，已知等长匀质杆AB、BC

的重量为G1、G2。A处、B处为无摩擦的铰链连接。求为使系统平衡加在C点的力F大小和方向。ABC900G1G2Fθ解：F能否指向AC

的左边？F

能否指向BC的右边？F的方向只能夹在∠ACB之间。N你也能大致判断天花板作用于杆的力N的方向吗？先大致确定F的方向.1对BC杆，②对AB杆和BC杆组成的系统，ABC900G1G2Fθ据几何关系有③由①、②、③式解出N①在右上图中，假如杆BC

还另外受到一个已知力F’，你还能对F的方向作出判断吗？F’3、先假定力的方向，最后由计算结果判定假定的方向是否为真实的方向在上例中，即可先任意假定F的方向（如图）来求得F：ABC900G1G2FN对AB杆和BC杆组成的系统，θ对BC杆，又据几何关系有②③①由①、②、③式解出所以，F的实际方向为偏向AC右方θ角。（四）合理运用整体分析法与隔离体分析法1、有时需同时运用两种方法才能解决问题如上例。2、有时可只用隔离法或只用整体法就能解决问题

例题4、如图所示，A为无摩擦铰链，AB为长为L的轻木板.所有接触均光滑.球的半径为r，重为G.问θ多大时拉力F最小？用隔离法解：对小球：其受力如图，GN’N0对木板:其受力如图，NFLA①②GN0N’xy而由牛顿第三定律有③④先设法找出F和θ的关系。此时，FGN0N’LNA用（整体法+隔离法）解：对（木板+小球）：其受力如图，FLA①O由①、②、④解得B对小球：②GN0②代入①得N’其受力如图，则由此得到前面相同的结论。所以

题后思考能否仅用整体法解本题？试一试，若不能，想想原因。3、有时必须用隔离法才能解决问题若要求系统的内力时，则必须将两个物体隔离，从而将内力转换为外力来研究。在上例中如要求小球与木板的相互作用力N、N′时，则必须用隔离法。FGN0N’LNA4、在不需求系统内力时，往往整体法比较简单

例题5、如图所示，两小球m1、m2用绝缘等长的细线悬挂于同一点，使两球带上+q1、+q2的电量，两球因排斥使两细线偏离竖直方向α1和α2的角度。试证明：若m1＜m2,则α1＞α2.证明：因为不需求（小球m1+小球m2+两绳）系统的内力，故可用用整体法.系统受力如图.m2gm1gFLLO用隔离法也可证明本题：分别以(小球m1+右连接绳）和（小球m2+左连接绳）为研究对象，LLOm2gm1gT1T2ff受力如图。LLm2gm1gOT1T2①②由①、②得由此知在m1＜m2时，

总结凡是用整体法能解的题目，用隔离法或者“隔离加整体”法必定能解。但不一定简单。凡是用“隔离加整体”法能解的题目用隔离法必定能解。但不一定简单。1三、静平衡的稳定性反映的是处于静平衡的物体克服所遭遇的（破坏平衡的）微小扰动的性能。（一）概念：1、稳定平衡静平衡按稳定性分类：（二）2、非稳定平衡23、随遇平衡31下列处于平衡的物体，在遭遇扰动时有不同表现：1、稳定平衡2、非稳定平衡3、随遇平衡（三）物体平衡的稳定性的判定1、受力分析：看物体偏离平衡位置后，所受力是否总是使物体移向平衡位置。2、受力矩分析：看物体偏离平衡位置后，所受力矩是否总是使物体转向平衡位置。3、重心升降（如果有重心变化）分析：看物体偏离平衡位置后，其重心高度如何变化。4、势能分析：看物体偏离平衡位置后，其势能如何变化。例题6、将悬挂的均匀细木棍慢慢放入水中，当木棍浸入水中多深时，木棍开始倾斜？(设水的密度为ρ’、木棍的密度为ρ，木棍长为l，横截面积为S.)解：木棍为什么不竖直漂浮在水中而会发生倾斜？而且在浸入一定深度时才倾斜？1oCTGF扰动B在木棍的稳定平衡与非稳定平衡的转折位置处，而即①②③将②、③代入①得解出

例题7、儿童玩具“不倒翁”高h=21cm,质量M=300g，相对中心轴KD对称分布，不倒翁”的下部是半径为R=6cm的球面的一部分。如果将“不倒翁”放在倾角为α=30°的粗糙斜面上，当它的轴KD与竖直方向偏角为β=450时，刚好还能处于平衡状态。为了使它在水平桌面上失去稳定平衡，可在其头顶上K处固定塑泥。试问最少需加多少塑泥？KDhROCαKOβ解：GNOCADCfNAG1你知道“不倒翁”为什么不倒吗？2为什么放在斜面上“不倒翁”还能处于平衡呢？αKDOCβfNAG在△OCA中，由正弦定理有所以KDhROCm若在K点加上塑泥m后，使“不倒翁”的重心上升至O点，则“不倒翁”失去稳定性。所以至少需加塑泥此时（三）浮体平衡的稳定性1、浮体平衡的稳定性因扰动方式不同而不同（1）竖直扰动：稳定平衡（2）水平扰动：随遇稳定平衡（3）旋转扰动：视具体情况而定若初始时重心C在浮心B下方，则平衡是稳定的GCFBFCBGB和F的力偶距使船体复位若初始时重心C在浮心B上，则平衡可能稳定也可能不稳定。这既取决于重心高出浮心多少也取决于浮体的形状。GCFBBGC判定的方法：Ⅰ、让浮体绕重心转过一个小角度，看转动后的浮力作用线与直线BC的交点是位于B、C之间还是在B、C之外。若在B、C之外则为稳定平衡，否则即非稳定平衡。Ⅱ、让浮体绕重心转过一个小角度，看转动后的浮心位于转动后的重力作用线何方。若越过重力作用线则为稳定平衡，否则即非稳定平衡。B’’FB’FF和G的力偶距使船体倾斜增大。F和G的力偶距使船体复位。四、质点组（或刚体)的质心与重心(一）质心1、质心的概念质心是一个质点：（1）相对质点组（或刚体）位置固定（常用C表示）（2）集中了质点组(或刚体）的全部质量，其加速度等于质点组（或刚体）所受的全部外力作用于该点时所产生的加速度CF1F2FiFi-1acm1mim21、这样的C点是否存在？2、如果存在又位于何处？今后在动力学中将证明由以下公式计算所得的C点就是符合上述条件的点！！！2、质心位置的计算公式Cm1mim2xyz公式的分量式3、常见质点组（或刚体）的质心位置计算(即确定质心相对于质点组或刚体的位置）（1）单个质点的质心位置（2）两个质点组成的质点组位置lm1m2lcC（3）多个质点组成的质点组（或刚体）的质心位置到m1距离到m2距离直接由公式计算有时可结合质心组合律确定OxO质心组合律将质点组分成若干质点小组，各小组质心构成的新质点组的质心即为原质点组的质心Ⅰ、匀质细杆的质心：Ⅱ、匀质圆板或圆盘或圆环的质心：位于杆的中心位于圆心Ⅲ、匀质球体或球壳的质心：位于球心例题7、

如图所示，由七根粗细相同的匀质杆构成的衍架，求其质心C的位置。xy解：为简便计，建立如图所示的坐标系.设杆的线密度为ρ.C(x、y)AODEH2.5m2.5m2.5m3.0m2.0m2.0m1.5m可以断定，质心C必在衍架所在的平面内！！例题8

如图，有一挖了一圆孔的匀质薄圆板，求其质心。OO1rRxO2由对称性分析可知，所求的质心必在O、O1的连线上。建立如图所示的坐标系.设想将挖去的部分填补上，将有孔的圆板还原为完整的圆板。则（质心在O1的小圆板+质心在O2的有孔的圆板）系统的质心在O点。质心O的坐标为即解得解：

题后总结此种求质心的方法称为填补法：将不规则的形状填补为规则的形状,从而便于求得形状不规则物体的质心。这种处理问题的思想在物理学其他方面也有应用。(二）重心1、重心的概念质点组（或刚体）各部分的重力的合力的作用点C。G1G2G3G4G5GC2、重心的计算一般而言，质点组（或刚体）各部分的重力是平行力，所以求重心就是求同向平行力的合力的作用点。（1）各部分重力作用点在一条支线上F各部分重力的合力建立一维坐标系，设想在该直线上另加一力F使质点组（或刚体）处于平衡。GCCG1G2G3Gix2xcxOx1x3xi所以（2）一般情况下重心的计算（推导过程略）总结在各部分重力为平行力的一般情况下，重心与质心位置是重合的。3、重心和质心的区别（1）是两个完全不同的概念（2）在各部分重力非平行时，二者的位置并不重合。

想一想在引力为零的地方，物体的重心在何处？？质心在何处？？想一想研究地球上一对超级大哑铃的重心与质心位置！？mm已经不算大的地球已经不算小的物体五、摩擦力（一）摩擦力的方向判定注意应以物体间相互接触的部位为研究对象，研究其相对运动情况。这在物体各部位运动情况不同时尤应如此。1、用力蹬自行车时前、后车轮受的摩擦（滑动或静摩擦）2、将未转动的轮子向前抛向粗糙的地面时轮子受的摩擦（滑动或静摩擦）3、将转动着的轮子放在粗糙地面上时轮子受的摩擦（滑动摩擦）vffv

例题9、A、B为两个半径均为r的圆柱形滚筒，两筒的轴线相互平行且在同一水平面上，两筒轴线的间距为a，两筒各自以角速度ω反向匀速转动。半径为R、质量为m的圆柱体C置于两圆柱滚筒上。设滚筒与圆柱间的摩擦系数为μ，问需要多大的力F才能推着圆柱体以速度v0匀速向内移动？ωωf∥f⊥f⊥f⊥

解：AB研究滚筒对圆柱C的摩擦作用。Cv∥=v0v⊥=rωvfθ知需加外力大小为①而所以据圆柱水平轴向受力平衡，F由圆柱体在竖直方向受力平衡有mgαNN有几何关系ωωff∥f⊥f⊥f⊥ABCv∥=v0v⊥=rωvθFαmgNN①所以有②由②解出N代入①得a（二）静摩擦角1、静摩擦角的概念（1）定义：（2）几何意义：最大静摩擦力fm和正压力N的合力与正压力N夹角。Nf(φ0是全反力R与N的最大夹角。)全反力（3）静摩擦角概念的应用Ⅰ、分析自锁现象θFθF自锁现象的原因：在这些机械系统中，R与N的夹角始终小于φ0。fmRθF现象：当θ角在一定范围时，无论F多大，物体都能静止。注意：φ0的大小仅由两接触面的材料性质所决定物体静平衡时：Ⅱ、利用静摩擦角解题有时会很方便（但并非总是）

例题10、如图所示，有一长为l，重为W0匀质杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙壁的静摩擦系数为μ。B端用一强度足够而不可伸长的轻绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁的C点。木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ。（1）求杆能保持平衡时μ与θ应满足的条件;（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在：若在P点与A点之间的任一点悬挂一重物，则当重物的总量W足够大时总可以使平衡被破坏;而在P点与B点之间的任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一点P与A点的距离。解：（1）杆未挂重物时受力如图TθABCW0你能否确定R的方向？由力的平衡条件及几何关系知φRNf既然杆能保持平衡，所以应有即θABCTW0（2）杆挂上重物W时重物挂在何处能使1、R和N的夹角φ＞φ02、R和N的夹角φ≤φ0P作出墙壁和杆间的静摩擦角φ0

=∠BAD。又作DP⊥AB，所得交点P即为所求。若重物W挂在P、B之间：WWDD2W2W1D1RR无论W多大，均有φ≤φ0若重物W挂在P、A之间：当W足够大时，就能使φ＞φ0由几何关系得由此解得如何计算AP=?W用常规分析法解：θABCW0挂上重物W（W可以为零）后，杆受力如图①②③由于杆未滑动，故④由①、②消去T得：⑤TfWNPd由③、⑤消去f得：⑥将③、⑥代入④得：按W、W0整理后得：⑦按W、W0整理后得：⑦通过讨论W和d对此式的影响来回答问题：（1）若不挂重物（W=0）：则有所以⑧（2）在⑧成立时挂重物（W＞0)：此时⑦式左端Ⅰ、此时只要⑦式右端的则无论W多大，⑦式均成立。θABCTW0fWNPd于是得Ⅱ、此时如果⑦式右端的则当W足够大时，可使⑦不成立。于是得综上可知：

例题11、人对均匀细杆的一端施力，力的方向垂直于杆。要将杆从地面慢慢地无滑动地抬到竖直为止，试求杆与地面之间的最小静摩擦系数。F解：在抬起过程中，杆的受力如图。只要任何时候①则杆就不会滑动。因为杆被慢慢抬起，所以在抬起过程中满足一般的平衡条件。取过F和G的作用线的交点0的垂直屏幕的直线为轴，则有②由①、②消去f、N即得：因为所以当有最小值。F由得代入得用摩擦角方法解：作出全反力R，如图所示。需要杆不滑动，即于是有

题后思考本例中杆在什么方位最容易滑动？？根据以上两例总结用摩擦角解题的思路。综合例题例题11、

木棒长为L，质量为m，粗细均匀，靠在光滑的墙壁和光滑地面上，绳一端系在棒的中心，一端系在墙角（木棒、绳在同一竖直平面内）。判定棒能否处于平衡？若不能，说明理由；若能，求出绳中的张力。解：木棒受力如图。ABCODTGN1N2由矩形对角线的性质知张力T作用线也必过D点。由此可知N1、N2作用线交于D点，构成矩形ABCD。所以棒不能处于平衡。

题后总结解本题利用的是平衡条件的必要性！想一想绳系在棒的其他部位能否使棒平衡？

例题12、在竖直平面内有一个半径为R的光滑固定圆环，圆环内放一个斜边长为2R、一条短边长为R的匀质直角三角板。三角板的三个顶点都靠在环的内壁上。试求平衡时三角板的斜边与圆环水平直径的夹角φ。ABCOG解：（1）由几何关系知三角板的斜边AB必过圆心O（2）由弹力和圆的性质知三角板各顶点A、B、C受的压力必过圆心O（3）由刚体平衡条件知重力G也必过圆心O（4）由三角形重心性质知三角板的重心必在OC直线上OC就是重力作用线OC铅直向下BACOG还有另外一种情况的平衡!此时的φ=？平衡稳定吗？例题13、

如图所示，将质量为M的匀质链条套在一表面光滑的圆锥上。设圆锥底面在某水平面上，链条静止时成一水平圆，其张力为T.试求圆锥的顶角α。解：本题该用隔离法还是整体法？取一小段链条为研究对象，TTG=ΔMg其受力如图。由竖直方向合外力为零得①由水平面上合外力为零得即②由①、②解出：所以

题后总结隔离也可针对物体的一部分。解本题利用了小量近似的方法，这种方法今后还将专门研究。例题14、一环形圆管沿一直径截成两部分，一半竖立在铅垂面内，管口连线在一水平面上。向管内装入与管壁相切的小滚珠，左、右侧第一个滚珠都与圆管截面相切。已知单个滚珠重W，共有2n个。求从右边起第k个和第（k+1）个滚珠之间的压力Nk。假设系统中处处无摩擦。12n-12nkWNKNK-1Nxy解：研究第k个珠子,其受力如图。β由几何关系知如何利用这一递推关系？β1对第K=2个珠：对第K=3个珠：对第K-1个珠：对第K个珠：各式相加得：现在需着重研究第一个珠子——找出N1！！!对第K=4个珠：对第K=5个珠：由N1WNxy对第1个珠子：于是有：所以此式能否求和？112n-12nO另解：研究前（1—K）个珠子其中rR而于是而代入化简即得…………1

题后总结都是隔离法但却又不同！对三角变换有较高的要求！所以KNKWKW1

例题15、三个完全相同的圆柱体，如图叠放在水平桌面上。将C叠放上去之前，A、B两柱体之间接触而无挤压。假定桌面和柱体之间的静摩擦系数为μ。

.柱体和柱体之间的静摩擦系数为μ.若系统处于平衡，μ0和μ必须满足什么条件？ABC解：其受力如图。f1f1N1N1Pxyxy由平衡条件列出方程：PN1f2f1N2对圆柱C:对柱体A:由以上四方程解出：要不滑动，必须满足：即所以试一试利用静摩擦角解答本题，可行否？方便否？研究A、C两柱体，

例题16、如图，半径为r、质量为m的三个相同刚性球两两接触放在水平桌面上，用一个高为1.5r的圆柱形刚性圆筒（上下无底）将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁间均保持接触但无相互作用力。现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中。设四个球的表面、圆筒的内壁均由相同材料构成，其间的静摩擦系数均为（约为0.775）.问：R取何值时，用手轻轻向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？ABDAD解：研究系统已被提起的平衡状态对D球:①f2N2mgf2mgN2N1f1只需研究球A和D球就行了！对所有的四个球：⑤其受力如图14对A球：②③④其受力如图23①②③④⑤ABDADf2f2mgmgN2N2N1f1由③、⑤得⑥⑥代入④（或者①）得⑦⑥、⑦代入②得⑧为使各物体间无滑动，需满足：即⑨⑩⑨⑩由于所以只要⑩成立⑨必定成立。ABDADf2f2mgmgN2N2N1f1θ和R是对应的，通过确定θ就能确定R.由几何关系知O由此可得11解式得：11rABCOABCrO为使D球不从中空处掉下去，R还需满足综上可知题后总结列平衡方程时：必须注意方程的独立性还须考虑方程的简便性

例题17、五根质量与长度均相同的匀质细棒用质量与线度均可忽略不计的光滑铰链两两首尾连成一个五边形。今将其一个顶点挂在天花板下。试求平衡时此五边形的五个顶角。又若在最下边的细棒的中点再悬挂一重物，能否使五根细棒构成一个等腰三角形？解：设每根棒质量为m，长为l.TTTmgmg隔离研究左边两棒的受力情况：将二者的链接处的受力进行分解，其受力如图所示。对左边上面的棒：对左边下面的棒：又由几何关系得将此三方程简化为OK只需求出图中的φ1、φ2即可。TOKTTTTmgmg由①、②两式得即④③代入④化简后，令利用计算器进行一元高次方程的逼近求解将此三方程简化为①②③OKTTTTmgmg0.10.20.150.170.1710.17150.5-0.240.160.0110.0031-0.00085取使f(x)最接近零的x值：x=0.1715由计算器查得：φ1=9.9°,Φ2=19.20°所以五边形的上方内顶角为2φ1=19.8°侧方内顶角为下方内顶角为于是有假设能构成等腰三角形，看其是否满足平衡条件.对左侧上面的棒，对右边的棒，由此两式得解得m=0这表明在五根细棒质量不为零时不可能构成等腰三角形。

题后总结需掌握利用计算器逼近求解一元高次方程的方法本题的假定法研究非