数列求和常见的种方法

数列求和的基本方法和技巧利用等差、等比数列求和公式求和和求和分段求和法(合并法求和)通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.n212n2n6kklogxxxxxn+...的前n项和.3log32解：由logx=一1亭logx=一log2亭x=13log33322n(利用常用公式)2[例2]设S＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)=Sn的最大值.n(n+32)Sn+1n2n2(利用常用公式)n+34+64(n8)2+5050nnmax50求和数列{a·b}的前n项和，其中{a}、{b}分别是等差数列和等比数列.nnnnnn(设制错位)n(错位相减)∴n222232nn1n12n2n2462n设S=+++...+…………………①n222232n12462nS=+++...+………………②2n2223242n+1(设制错位)2n22223242n2n+1(错位相减)、反序相加法求和 (反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a+a).nnnn证明：设S=C0+3C1+5C2+...+(2n+1)Cn…………..①nnnnn把①式右边倒转过来得SnCn(2n1)Cn1+...+3C1+C0nnnnn(反序)nnnnnnn(反序相加)∴nnnnnnn (反序)(反序相加)(1)证明：；(2)(2)求解：(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知，所以所以.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.aaan1将其每一项拆开再重新组合得(分组)n22(分组求和)1annnaannnn112a12aakkk+1)=2k3+3k2+kknkk=1nkkk(分组)(分组求和)这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项(1)a=f(n+1)f(n)nnn(n+1)nn+1 nn(n+1)nn+1 (4)a=(2n)2=1+1(11)n(2n1)(2n+1)22n12n+1 (5)a== (5)a==[]nn(n1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)(6)a=n+2.1=2(n+1)n.1=11,则S=11nn(n+1)2nn(n+1)2nn.2n1(n+1)2nn(n+1)2n (7)a=1=1(11)n(An+B)(An+C)CBAn+BAn+C1 (8)a==n+1nnn+n+1解：设a=n11+1=nn+1(裂项)六、分段求和法(合并法求和)1nnS=n1nnS=n+3(裂项求和)＝n+1112n12n，又b=nnnaan.n+1nn+1nnaan.n+1nnnnnn+1n+1n+12∴b==∴b==8()nnn+1nn+1.22(裂项)n11S=8[(1)+()+()+...+(11n22334nn+1(裂项求和)n+1111解：设S=++...+(裂项)1++...++...+ (裂项求和)＝((合合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在n.sn(找特殊性质项)∴S＝(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+(cos3°+ncos177°)+···coscos°)+cos90°(合并求和)解：设S＝a+a+a+...+a20021232002由a=1,a=3,a=2,a=aa可得123n+2n+1n∵a+a+a+a+a+a=0(找6k+16k+26k+36k+46k+56k+6特殊性质项)∴S＝a+a+a+...+a20021232002(合并求和)＝(a+a+a+...a)+(a+a+...a)+...+(a+a+...+a)123678126k+16k+26k+6＝a+a+a+a6k+16k+26k+36k+4比数列中，若aa=9,求loga+loga+...+loga的值.3132310解：设S=loga+loga+...+logan3132310由等比数列的性质m+n=p+qaa=aamnpq(找特殊性质项)S=(loga+loga)+(loga+loga)+...+(loga+loga)n3131032393536＝(loga.a)+(loga.a)+...+(loga.a)356333七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数[例15]求1+11+111+...+111...1之和.99kk个1(找通项及特征)∴1+11+111+...+111...19999(分组求和)99n[例16]已知数列{a}：a=8,求(n+1)(aa)的值.nn(n+1)(n+3)nn+1解：∵(n+1)(aa)=