第五章频率响应法课件

第五章频率响应法5.1频率特性5.2典型环节和开环频率特性5.3奈奎斯特判据5.4稳定裕度5.5闭环频率特性End本章作业A(ω)称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。

基本概念（物理意义）5.1

频率特性5.25.35.45.5数学本质R1C1i1(t)稳定系统的频率特性等于输出和输入的傅立叶变换之比。求解观察线性微分方程性能指标传递函数时间响应频率响应拉氏变换拉氏反变换估算估算计算傅氏变换S=jω频率特性常用于描述频率特性的几种曲线幅相频率特性曲线：对于一个确定的频率，必有一个频率特性的幅值和一个频率特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。又称奈奎斯特曲线或极坐标图

对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。对数频率特性曲线：又称为伯德图（曲线）.其横坐标采用lgw对数分度.对数幅频曲线的纵坐标按线性分度,单位是分贝，记作dB。对数相频曲线的纵坐标按线性分度单位是度。

对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。

典型环节

比例环节：K惯性环节：1/(Ts+1)，式中T>0

一阶微分环节：(Ts+1)，式中T>0

5.2

典型环节和开环频率特性积分环节：1/s微分环节：s振荡环节：1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1];

式中ωn>0，0<ζ<1二阶微分环节：(s/ωn)2+2ζs/ωn+1;

式中ωn>0，0<ζ<15.2.1幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制

5.15.35.45.55.2.35.2.2比例环节的频率特性是G(jω)=K,幅相曲线如下左图。k

j0图5.3比例环节K的幅相曲线·

比例环节0020lgK

(dB)(o)ωω111010图5.4比例环节的

对数频率特性曲线比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：

L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0相应曲线如上右图。积分环节的对数幅频特性是L(ω)=-20lgω,而相频特性是φ(ω)=-90o。积分环节图5.61/jω和jω的对数坐标图ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jωjω

ω=0

0图5.7微分环节幅相曲线0

ω

图5.5积分环节的幅相曲线

j

微分环节

G(s)=s和G(jω)=jω=ω∠π/2L(ω)=20lgω,而相频特性是φ(ω)=90o。ω<<1/T,L(ω)≈-20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈-20lgωT=-20(lgω-lg1/T)

一阶微分环节G(s)=Ts+1

G(s)=1/(Ts+1),惯性环节ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T图5.91+jT和1/(1+jT)的对数坐标图

(o)90-9000.1110ω-1/Tjp0(a)θjω+1/T图5.8

惯性环节极点—零点图(a)和幅相曲线(b)ω=0j0ω=∞-45oω=1/T

(b)Kω<<1/T,L(ω)≈20lg1=0ω>>1/T,L(ω)≈20lgωT=20(lgω-lg1/T)

G(s)=Ts+1，振荡环节

j

ω-1/T

0

(a)

jω+1/T

ω=0

j

0ω

1(b)图5.10一阶微分环节的极点—零点图(a)和幅相曲线(b)G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]图5.11振荡环节的幅相曲线ω<<ωn时L(ω)≈0

ω>>ωn时L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lgω-lgωn)10110图5.12

振荡环节的对数坐标图ω/ωn

0.1(dB)1040-20

40dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω/ωn

20(a)(b)5.2.2开环幅相曲线的绘制频率响应法是一种图解方法，因而如何简洁而准确地作出满足工程分析和设计需要的系统开环频率特性曲线是非常重要的。幅相曲线主要用于判定闭环系统的稳定性，故只需概略绘制即可；对数频率特性曲线，工程上采用简便作图法，即利用对数运算的特点和典型环节的频率特性绘制系统开环对数幅频渐近特性绘制概略开环福相曲线根据稳定性判别的条件，概略幅相曲线应能体现系统开环频率特性的起点、终点、与负实轴的交点以及总的变化趋势。（1）开环传递函数按典型环节分解（2）确定幅相曲线的起点和终点。（3）确定幅相曲线与负实轴的交点。开环幅相曲线与负实轴的交点是判定系统闭环稳定的重要因素。穿越频率（4)根据上述确定的特征点，结合开环频率特性的变化趋势图。起点：若系统不含有积分环节，曲线起始于正实轴上某点，该点距原点的距离值为开环增益k值；若系统含有积分环节，曲线起始于无穷远处，相角为(-90。×v)，v为积分环节的个数。终点：一般，系统开环传递函数分母的阶次总是大于或等于分子的阶次，n>m时，终点在原点，且以角度（n-m)×(-90。）进入原点；n=m时，曲线终止于正实轴上某点，该点距原点的距离与各环节的时间常数等参数有关。若开环传递函数中含有在右半平面的极点或零点，幅相曲线的起点和终点不具有以上规律。对于这样的系统，尤其应注意系统的相频特性。

0-25Im[G(jω)]Re[G(jω)]例题5.1绘制

的幅相曲线。解：求交点：

曲线如图所示：开环幅相曲线的绘制令.064,056,0)]j(GRe[222=+w=w+w-=w无实数解，与虚轴无交点开环对数幅频渐近特性的绘制根据对数运算特点，将组成开环系统的各典型环节的对数频率特性叠加，即获得系统的开环对数频率特性。绘制对数幅频渐近特性的一般步骤：（1）开环传递函数按典型环节进行分解，并将交换频率按从小到大顺序排列为w1，w2。。。。。。

wl，并标注在w轴上。（2）绘制w1左边的低频渐近线。低频渐近线为一直线，其斜率为－20×vdB/dec,取决于系统微分环节或积分环节的个数。根据三种方法确定渐近线上的一点。

a）任选w0值，则渐进线（w0<w1)或其延长线过点

b)渐进线或其延长线在w=1处的值

c）渐进线或其延长线与零分贝线的交点为（3）自w1点起，渐进线斜率发生变化，斜率变化的数值取决与w1对应的典型环节的种类。同样，在后面的各交接频率处，渐进线斜率都相应地改变。每两个相邻交接频率间，渐进线为一直线。绘制L(ω)例题100.2210.1L(ω)dBω0dB2040-40-2020100[-20][-40]绘制的L(ω)曲线低频段：时为38db时为52db转折频率：0.5230斜率：-20+20-20[-20][-40]已知系统开环传递函数为试绘出开环对数渐近幅频曲线。例5.15.2.3最小相角系统和非最小相角系统的区别最小相角(相位)系统的零点、极点均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零点或极点的系统是非最小相角系统。20-20ωL(dB)10L(dB)50-20-40100ωL(dB)ω-40-40-20ω1ωcω2幅频特性相同，但对数相频曲线却不相同。

最小相角系统的幅频特性和相频特性一一对应，只要根据其对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。5.2.15.2.2已知最小相角系统开环对数渐近幅频曲线，求开环传递函数。例5.3传递函数的试验确定测得系统频率特性后，经过数据处理，可确定被测系统的传递函数（1）根据测试数据在半对数坐标上画出对数幅频特性和对数相频特性曲线。（2）求取对数幅频渐近特性，即用若干直线（斜率为的整数倍）逼近对数幅频曲线。（3）根据低频渐近斜率确定v；根据v和低频渐近线上任一点确定k。由渐进线获得各交接频率，并根据交接频率处斜率的变化确定零点、极点、或者共轭复数零极点。（4）根据高频段处相角变化情况确定是否存在延迟环节。高频段若存在一定的相角变化率，则该相角变化率为延迟环节的延迟时间。（5）可根据两个相邻交接频率间相角的变化确定交接频率对应的典型环节的种类。5.3

奈奎斯特判据幅角原理5.15.45.55.2P:在右半平面开环特征根数;Z:在右半平面闭环特征根数;N:

在[G]平面，从0，幅相曲线绕（-1，j0)点逆时针转过的圈数。奈氏判据

Z=P-2N；Z=0时稳定。辅助函数F(s)三个特点：

1.零、极点分别为闭、开环特征根;2.零、极点个数相等;3.与G(s)H(s)相差为1。奈氏稳定判据例5.4

判断以下系统的闭环稳定性。从=0+开始，逆时针补画90°、半径为无穷大的圆弧。对数频率稳定判据

为（-1，j0)点或零分贝值以左的穿越次数。穿越时：相角增大为正穿越N+，

相角减小为负穿越N-,

未穿透为半次穿越,（-）（+）（+）（-）0dB-180ocωxωcx∠

G(jωc)20lg–γ–180o=γ=180+∠

G(jωc)相角裕度:幅值裕度:hdB=－20lg稳定裕度的定义续2设单位反馈系统的开环传递函数如下所示，试绘制系统概略幅相曲线并判断闭环系统的稳定性。设反馈系统开环幅相曲线如图所示，此时K=500。已知系统在S右半平面的开环极点数为0。确定使系统闭环稳定的K值范围。5.4频域稳定裕度Z=P-R当穿过（－1，j0)点时，闭环系统临界稳定。临界点相对稳定性（稳定裕度）j01ωcωxγG(jω)G(jωx)∠G(jωc)∠G(j