第三章矩阵的初等变换1课件

第三章矩阵的初等变换与线性方程组本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法。

再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．2023/7/231§1矩阵的初等变换与一、线性方程组求解矩阵初等变换2023/7/232引例消元法解线性方程求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．2023/7/233解2023/7/234用“回代”的方法求出解：2023/7/235于是解得（2）2023/7/236小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把每一个方程看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（与相互替换）（以替换）（以替换）2023/7/2373．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．2023/7/238因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(称为方程组（1）的增广矩阵）的变换．2023/7/239定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换2023/7/2310定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换2023/7/2311等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为分类关系．例如，两个线性方程组同解，两个线性方程组对应的矩阵等价2023/7/2312求解线性方程组方程的增广矩阵为：2023/7/2313用矩阵的初等行变换解方程组（1）：2023/7/23142023/7/23152023/7/23162023/7/2317特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．2023/7/23182023/7/2319例如，行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．2023/7/2320特点：

所有与矩阵等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中最简单的矩阵.2023/7/2321三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换2023/7/23223.矩阵的等价标准型2023/7/2323思考题已知四元齐次方程组及另一四元齐次方程组的通解为2023/7/2324思考题解答解2023/7/2325§2

矩阵的秩2023/7/2326一、矩阵秩的概念矩阵的秩2023/7/23272023/7/2328例1解2023/7/2329例2解2023/7/2330例3解计算A的3阶子式，2023/7/2331另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！2023/7/2332问题：经过变换矩阵的秩变吗？证二、矩阵秩的求法2023/7/23332023/7/23342023/7/2335经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．2023/7/2336证毕2023/7/2337初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解2023/7/23382023/7/23392023/7/23402023/7/2341由阶梯形矩阵有三个非零行可知2023/7/2342则这个子式便是的一个最高阶非零子式.2023/7/23432023/7/2344例5解分析：2023/7/23452023/7/23462023/7/2347三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);2023/7/2348思考题(放到齐次方程组后)2023/7/2349经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe写在最后ThankYou