人教版高中数学选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 精讲精练（含解析）

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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系精讲精练同步训练

【考点梳理】

考点一：空间中点、直线和平面的向量表示

1.空间中点的位置向量

如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．

2.空间中直线的向量表示式

直线l的方向向量为a，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使

＝＋ta，①

把＝a代入①式得

＝＋t，②

①式和②式都称为空间直线的向量表示式．

3.空间中平面的向量表示式

平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们称为空间平面ABC的向量表示式．

考点二空间中平面的法向量

平面的法向量

如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．

考点三：空间中直线、平面的平行

1.线线平行的向量表示

设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则

l1∥l2u1∥u2λ∈R，使得u1＝λu2.

2.线面平行的向量表示

设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，lα，则

l∥αu⊥nu·n＝0.

面面平行的向量表示

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则

α∥βn1∥n2λ∈R，使得n1＝λn2.

考点四：空间中直线、平面的垂直

1.线线垂直的向量表示

设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则

l1⊥l2u1⊥u2u1·u2＝0.

2.线面垂直的向量表示

设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，lα，则l⊥αu∥nλ∈R，使得u＝λn.

知识点三面面垂直的向量表示

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则

α⊥βn1⊥n2n1·n2＝0.

【题型归纳】

题型一：平面的法向量的求法

1．若直线l的方向向量为（1,0,2），平面的法向量为，则（）

A．B．C．或D．l与斜交

2．如图，在正方体ABCD中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是

A．(1，－2，4)B．(－4,1，－2)

C．(2，－2，1)D．(1，2，－2)

3．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）

A．，1，B．，1，C．，，D．，1，

题型二：空间中点、直线和平面的向量表示

4．已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（）

A．，B．，C．，D．，

5．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（）

A．在平面内B．在平面内

C．在平面内D．在平面内

6．已知光线沿向量（，，）照射，遇到直线后反射，其中是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为

A．B．

C．D．

题型三：空间中直线、平面的平行

7．已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（）

A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝

8．设平面的一个法向量为＝(1，2，－2)，平面的一个法向量为＝(－2，－4，k)，若，则k＝（）

A．-5B．-4C．－2D．4

9．如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（）

A．异面直线

B．平行直线

C．垂直不相交

D．垂直且相交

题型四：空间中直线、平面的垂直

10．已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（）

A．4B．-4C．5D．-5

11．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为（）

A．1或－B．1或

C．－1或D．－1或－

12．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，则PA与底面ABCD的关系是（）

A．相交B．垂直

C．不垂直D．成60°角

【双基达标】

一、单选题

13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）．

A．B．C．D．与相交

14．已知向量是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是l⊥α的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

15．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（）

A．，B．，

C．，D．，

16．直线的方向向量，平面α的法向量为，若直线平面，则实数的值为（）

A．B．C．D．

17．已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（）

A．B．

C．平面D．平面

18．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（）

A．平行B．重合C．平行或重合D．垂直

19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）

A．相交B．平行

C．垂直D．MN在平面BB1C1C内

20．下列命题中，正确命题的个数为（）

①若分别是平面α，β的法向量，则α∥β；

②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β；

③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；

④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．

A．1B．2C．3D．4

21．如图，在正方体中，点，，分别是线段，，的中点，则直线与，的位置关系是（）

A．与，均垂直

B．与垂直，与不垂直

C．与不垂直，与垂直

D．与，均不垂直

22．如图所示，正方体中，分别在上，且，则（）

A．至多与之一垂直B．

C．与相交D．与异面

【高分突破】

一：单选题

23．已知向量，，分别是直线、的方向向量，若，则

A．，B．，C．，D．，

24．已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是

A．B．

C．D．

25．已知向量，平面的一个法向量，若，则

A．，B．，C．D．

26．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：

；；；正确的有

A．1个B．2个C．3个D．4个

27．在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论:

①直线的一个方向向量为(0,0,1);

②直线的一个方向向量为(0,1,1);

③平面的一个法向量为(0,1,0);

④平面的一个法向量为(1,1,1).

其中正确的个数为()

A．1B．2C．3D．4

28．设空间四点O、A、B、P满足=m+n，其中m+n=1，则

A．点P一定在直线AB上

B．点P一定不在直线AB上

C．点P不一定在直线AB上

D．以上都不对

29．在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（）

A．B．

C．D．

30．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（）

A．(1，1，1)B．C．D．

二、多选题

31．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）

A．B．

C．向量与的夹角是60°D．与AC所成角的余弦值为

32．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（）

A．直线平面B．

C．三棱锥的体积为D．异面直线与所成的角为

33．（多选）下列命题是真命题的有（）.

A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直

B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则

C．平面，的法向量分别为，，则

D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则

34．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（）

A．与是共线向量B．与同向的单位向量是

C．和夹角的余弦值是D．平面的一个法向量是

35．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（）

A．B．

C．是平面ABCD的一个法向量D．

36．已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（）

A．存在某个位置，使得

B．存在某个位置，使得

C．存在某个位置，使得

D．存在某个位置，使得，、均不等于零

三、填空题

37．已知平面α经过点O（0，0，0），且＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________.

38．已知α，β为两个不重合的平面，设平面与向量＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量＝(－2，4，－8)垂直，则平面与β的位置关系是________．

39．若＝是平面α的一个法向量，且＝(－1，2，1)，＝均与平面α平行，则向量＝________.

40．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________.

41．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为________________．

42．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：

①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．

其中正确的是________．(填序号)

四、解答题

43．如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PAPBPD.点EFGH分别为PABPBCPCDPDA的重心.，求证：

（1）EFGH四点共面；

（2）平面EFGH平面ABCD.

44．如图,在等腰梯形中,,,,平面,,且,,Q分别是线段,AB的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：PQ平面．

45．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．

46．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

47．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．

（1）求证：ADBF；

（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；

【答案详解】

1．C

∵，，

∴，即或.

故选：C.

2．B

设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），

∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）

设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量

则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2

∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量

因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量

故选B．

3．A

在单位正方体中，

以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，

，0，，，1，，，1，，

，1，，，0，，

设平面的法向量是，，，

则，取，得，1，，

平面的法向量是，1，.

故选：.

4．A

因为，，

所以

，

因为为平面的法向量，

所以，即，

解得：，所以，的值分别为，，

故选：A.

5．C

因为

，所以，，，四点共面

6．B

不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中，则向量时，向量.故选B.

7．D

由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.

8．D

因为，所以，则，解之得，

故选：D

9．B

设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后如图所示：

则，，，，，

＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，

设＝(a，b，c)，

则

取＝(1，1，－1)，

∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，

∴∥，

∴PQ∥BD1.

故选：B

10．D

解：由平面α的法向量为，平面β的法向量为，

∵α⊥β，∴，

∴.

∴.

故选：D.

11．D

【详解】

由题意知，a⊥b，

∴3λ＋1＋2λ2＝0，

∴λ＝－1或－.

12．B

解：因为，所以；

因为，所以，

又，

所以平面ABCD．

故选：B．

13．B

，

由已知可得，则，因此，.

故选：B.

14．B

【详解】

当不共线时，由且，可推出l⊥α；当为共线向量时，由且，不能够推出，所以且是l⊥α的不充分条件；

若，则一定有且，所以且是l⊥α的必要条件.

故选：.

15．D

【详解】

由题意得，若使l∥α，那么就要使，即.

对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：D.

16．D

因为直线的方向向量，平面α的法向量为，

直线平面，

所以，即，解得：

故选：D.

17．B

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设（，

则，，

因为，所以不可能平行，即不可能平行，

又，，因此可以垂直，即与可能垂直．

，，

设平面的一个法向量为，

则，取，则，

与不可能平行，因此与平面不可能垂直，

，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，

故选：B．

18．C

平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，

，

平面与平面的关系是平行或重合．

故选：C．

19．B

以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由于A1M＝AN＝，则

又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．

因为，所以，又平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.

故选：B

20．C

①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确

故选：C

21．A

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，

则，，

，即

，即

所以直线与，均垂直，

故选：A

22．B

如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为3，则，，，，，，，.

，，，

，，，，∴A错误，B正确；

，，，

，即，∴C，D错误.

故选：B.

23．D

【详解】

∵∥，

∴∥，

∴，

∴．选D．

24．D

设，若点与点共面,,则，只有选项D满足，.故选D.

25．A

因为，所以，由，得，.

故选A

【点睛】

本题考查了空间法向量的定义，空间向量共线的坐标表示，属于基础题．

26．B

∵平面，不重合；

平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；

正确；

直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；

都错误．

故选B．

27．C

DD1∥AA1,=(0,0,1)，故①正确；

BC1∥AD1,=(0,1,1),故②正确；

直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0).故③正确；

点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故④错.

28．A

由可得：，结合题意可知：

，

即：，，

据此可知：APB三点共线，点P一定在直线AB上.

29．A

，，设平面的一个法向量为，

由则，解得，．

又，因此，平面的一个法向量为.

故选：A.

30．C

设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．

31．AB

以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，

可设棱长为1,则

而

，所以A正确.

=0,所以B正确.

向量,

显然为等边三角形，则.

所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确

又，

则，

所以，所以D不正确.

故选：AB

32．ABD

解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，

，，，

所以，即，所以，故B正确；

，，，

设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；

设平面的法向量为，则，即，取，

则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；

，故C错误；

故选：ABD

33．AD

∵，，

∴，则，

∴直线与垂直，故A正确；

，，则，

则，∴或，故B错误；

∵，，∴与不共线，

∴不成立，故C错误；

∵点，，，

∴，.

∵向量是平面的法向量，∴，

即，解得，故D正确.

故选：AD

34．BD

对于A，，，可知，与不共线，A错误；

对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；

对于C，，，

即和夹角的余弦值为，C错误；

对于D，设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

即平面的一个法向量为，D正确.

故选：BD.

35．ABC

因为，所以，A正确；

因为，所以，B正确；

由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；

BD在平面ABCD内，可得，D错误．

故选：ABC．

36．AD

在矩形中，分别过点、作、，垂足分别为点、.

由已知条件，，.

对于A选项，若存在某个位置，使得，

，，平面，平面，则，

在中，斜边，存在，故A正确；

对于B选项，若存在某个位置，使得，

，，平面，平面，则，

在中，斜边，矛盾，故B错误；

对于C选项，若存在某个位置，使得，

，，平面，平面，，

，在平面内，过点能作两条直线与垂直，矛盾，故C错误；

对于D选项，取平面平面，

，平面平面，平面，平面，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

，，则，

，，则，

，，则，D选项正确.

故选：AD.

37．x＋2y－3z＝0

解：由题意得⊥，，

则，

所以x，y，z满足的关系式是x＋2y－3z＝0.

故答案为：x＋2y－3z＝0.

38．平行

，，，

所以，又分别是平面的法向量，

所以.

故答案为：平行

39．

解析由题意，知

即解得

所以.

故答案为：

40．PM⊥AM

【详解】

解：以点为原点，、、为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

可得，．

，，

由此可得，

即，可得．

故答案为：

41．(－2，4，1)或(2，－4，－1)

【详解】

据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2)．

设(x，y，z)，∵与平面ABC垂直，

即可得

，，

解得或．

当时，，；当时，，．

∴的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1)．

故答案为：(－2，4，1)