苏教版高中数学选择性必修第一册数列、导数及其应用(第4～5章)阶段测试（含答案）

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数列、导数及其应用(第4～5章)阶段测试

(满分150分，时间120分钟)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数f(x)＝xsinx，则f′的值为()

A．－1B．0

C．1D．

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a8＝16，则S11等于()

A．64B．78

C．88D．108

3．曲线y＝lnx在点(e，f(e))处的切线方程为()

A．x－ey＝0B．x－y－e＝0

C．ex－y－e＝0D．y－1＝0

4．已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a3＝4，a2a6＝64，则S5等于()

A．31B．32

C．63D．64

5．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图所示．设y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()

(第5题)

A．∪[2,3]B．∪

C．∪[1,2)D．∪∪

6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()

A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)

C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1,3,6,10，前后两项之差得到新数列2,3,4，新数列2,3,4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24，则该数列的第19项为()

A．160B．174

C．184D．188

8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)＜＋的解集为()

A．{x|－1＜x＜1}B．{x|x＜－1}

C．{x|x＜－1或x＞1}D．{x|x＞1}

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝8，则()

A．Sn＝2n2－6nB．Sn＝n2－3n

C．an＝4n－8D．an＝2n

10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”下列说法中正确的有()

A．此人第三天走了四十八里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C．此人第二天走的路程占全程的

D．此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍

11．下列曲线中与直线l：2x－y＋3＝0相切的是()

A．曲线C1：y2＝24xB．曲线C2：y＝ln(2x)＋4

C．曲线C3：x2－＝1D．曲线C4：y＝2x3－5x2＋6x＋2

12．设函数f(x)＝lnx，且x0，x1，x2∈(0，＋∞)，下列说法中正确的有()

A．若x1＜x2，则＞

B．存在x0∈(x1，x2)，x1＜x2，使得＝

C．若x1＞1，x2＞1，则＜1

D．对任意的x1，x2，都有f＞

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第13题第一个空2分、第二个空3分．

13．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝9，a6＝243，则a9＝________，S12＝________.

14．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是________.

15．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(guǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则立冬的日影子长为________尺．

16．已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若函数g(x)＝x＋m－lnx的保值区间是[e，＋∞)，则实数m的值为________.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)已知函数f(x)＝x3＋2mx2＋nx＋m在x＝－1处取得极值－1.

(1)求m，n的值；

(2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

18．(12分)在等比数列{an}中，a1＝1,2a2是a3和4a1的等差中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足bn＝2n＋a，求{bn}的前n项和Sn.

19．(12分)已知函数f(x)＝x3－4x＋3.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在区间[－3,5]上的最大值与最小值．

20．(12分)给出如下条件：①a3＋a8＝－2；②S7＝－28；③a2，a4，a5成等比数列．请在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

设数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，________.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求Sn的最小值并指明相应的n的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

21．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1.

(1)求证：{Sn＋1}为等比数列．并求出{an}的通项公式．

(2)若bn＝，求{bn}的前n项和Tn.是否存在正整数n，使得Tn·2n－1＝n＋50成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．

22．(12分)已知函数f(x)＝＋lnx，g(x)＝x3＋x2－x.

(1)若m＝3，求f(x)的极值；

(2)若对于任意的s，t∈，都有f(s)≥g(t)，求实数m的取值范围．

参考答案与解析

1．C2.C3.A4.A5.A6.B提示f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．由题意得f′(x)＝0有两个不同的实数解，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，解得a>6或a1}9.AC10.ABD提示设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1、公比为q＝的等比数列，所以S6＝＝＝378，解得a1＝192.a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正确．S6－a1＝378－192＝186,192－186＝6，所以B正确．a2＝a1q＝192×＝96，S6＝94.5＜96，所以C不正确．a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，则后3天走的路程为378－336＝42,42×8＝336，所以D正确11.ABD提示将y＝2x＋3代入y2＝24x，得4x2－12x＋9＝0，则Δ＝(－12)2－4×4×9＝0，所以直线l与曲线C1相切．对于y＝ln(2x)＋4，y′＝，令＝2，解得x＝，代入y＝2x＋3，可得切点为，在曲线C2上，故直线l与曲线C2相切．曲线C3：x2－＝1的一条渐近线为y＝2x，和直线l平行，故直线l与曲线C3相交于一点，不相切．对于y＝2x3－5x2＋6x＋2，y′＝6x2－10x＋6，令6x2－10x＋6＝2，解得x＝或x＝1.将x＝代入y＝2x＋3，可得切点为，不在曲线上；将x＝1代入y＝2x＋3，可得切点为(1,5)，在曲线上．故直线l与曲线C4相切

(第12题)

12．BCD提示f′(x)＝.如图，曲线在点B处的切线斜率小于割线AB的斜率，所以，故D正确13.3814.(－∞，2ln2－2]15.10.5提示设夏至的日影长为a1，公差为d，则解得所以立冬的日影子长为a10＝1.5＋9＝10.5(尺)16.1提示由题意得g(x)＝x＋m－lnx的定义域为[e，＋∞)，值域也为[e，＋∞)．g′(x)＝1－＝(x>0)，易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)在[e，＋∞)上单调递增，从而g(x)≥g(e)，于是g(e)＝e，即e＋m－lne＝e，解得m＝117.(1)f′(x)＝3x2＋4mx＋n.由题意知即解得当m＝3，n＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝－3.易知当x－1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－30，f(x)单调递增；当－22时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以函数f(x)的增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；减区间为(－2,2)(2)由(1)知函数f(x)在[－3，－2)上单调递增，在[－2,2]上单调递减，在(2,5]上单调递增，又f(－3)＝×(－3)3－4×(－3)＋3＝6，f(2)＝×23－4×2＋3＝－，f(－2)＝×(－2)3－4×(－2)＋3＝，f(5)＝×53－4×5＋3＝，所以函数f(x)在区间[－3,5]上的最大值为，最小值为－20.(1)因为Sn＋1＝Sn＋an＋2，所以an＋1－an＝2，从而数列{an}是公差d＝2的等差数列．选择条件①：因为a3＋a8＝－2，所以2a1＋9d＝－2，解得a1＝－10.所以an＝2n－12.选择条件②：因为S7＝－28，所以7a1＋d＝－28，解得a1＝－10.所以an＝2n－12.选择条件③：因为a2，a4，a5成等比数列，所以a＝a2a5，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋4d)，解得a1＝－10.所以an＝2n－12(2)解法1：令即解得5≤n≤6，所以a1，a2，a3，a4，a50.所以当n＝5或n＝6时，Sn可取得最小值，最小值为S5＝S6＝(－10)＋(－8)＋…＋(－2)＝－30.解法2：因为Sn＝－10n＋×2＝n2－11n(n∈N*)，所以当n＝5或n＝6时，Sn取得最小值，最小值为S5＝S6＝52－11×5＝－3021.(1)因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)．由a1＝S1＝1，可推出Sn＋1>0，故＝2，即{Sn＋1}为等比数列．因为S1＋1＝2，公比为2，所以Sn＋1＝2n，即Sn＝2n－1.当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1(2)因为bn＝＝，Tn＝＋＋…＋，所以Tn＝＋＋…＋，两式相减得Tn＝＋＋…＋－＝2－，即Tn＝4－，代入Tn·2n－1＝n＋50，得2n－n－26＝0.令f(x)＝2x－x－26(x≥1)，f′(x)＝2xln2－1>0在x∈[1，＋∞)恒成立，所以f(x)＝2x－x－26在[1，＋