(完整版)牛吃草问题(思维训练)

(完整版)牛吃草问题(思维训练)

牛吃草问题牛顿在《普通算术》一书中提出了牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断地、均匀地生长。这类问题被后人称为牛吃草问题或者“牛顿问题”，类似的问题还有抽水问题等。下面我们来看一道典型的牛吃草问题：牧场上长满牧草，每天牧草匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。那么，供25头牛可吃几天？分析：要想知道这些草供25头牛可吃几天，必须知道草的总量和每头牛每天吃草的量。然而题目当中并没有告诉我们这样的条件。因此我们可以假设1头牛1天吃1份的草，那么10头牛20天可以吃10×20=200份草。15头牛10天可以吃15×10=150份草。草的总量并不是固定不变的，每天都会有新的草长出来。吃的时间越长，长的草越多，草的总量也就多了。由刚才的计算我们可以看出，吃20天的草的总量比10天要多，原因就在于此。我们可以通过下面这幅图来更好地理解：从上面的图可以看出：草的总量可以分成两部分，一部分是原有的草，还有一部分是新长的草。10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量。设1头牛1天吃1份草，则10头牛20天比15头牛10天多吃10×20-15×10=50份，则这块牧场每天新长50÷10=5份牧草。因为每天长5份的草，我们可以这样考虑：安排5头牛专门吃新长的草，剩下的牛吃原有的草。什么时候才能把草吃完呢？当牛把原有的草吃完的时候，草就不再生长了，也就是把所有的草全都吃完了。因此，这块牧场供25头牛吃草的天数为100÷25=4天。在一片牧场上，有25头牛需要吃草。其中，5头牛吃新长出来的草，剩下的20头牛吃原有的草。已知原有的草可以维持25头牛吃5天。为了解决这个问题，我们可以使用“五步法”来求解。首先，我们需要求出每天长草量和原有草量这两个关键的量。然后，我们可以通过比较两种方案的“总草量”之差来获得解题思路的捷径。具体来说，我们可以利用以下关系式来求解：牛的头数×吃的天数=草场原有草量+每天长草量×吃的天数通过这个关系式，我们可以得出每天长草量为1头牛每天吃1份草，原有草量为125份草。因此，如果有11头牛需要吃草，那么可以吃草11天。考虑这部分牛的数量，因为题目已经告诉我们在吃了6天后卖了4头牛，所以我们可以把这4头牛吃的草量从原有草量中减去，剩下的草量就是余下的牛要吃的草量了。然后我们再根据剩下的草量和剩下的时间（2天）来计算剩下的牛的数量。设原有牛的数量为x，则原有草量为17x30=19x24+9(30-24)=570x，卖掉4头牛后剩下的草量为570x-4x6=546x，剩下的牛要在2天内把这546x份草吃完，所以每天要吃的草量是273x。根据每头牛每天吃1份草的假设，我们可以得到剩下的牛的数量为273x/2=136.5x，但是题目中要求是整数的牛的数量，所以我们可以把x取为2的倍数，这样算出来的剩下的牛的数量就是整数了。假设x=2，则剩下的牛的数量为136.5x=273只。所以，答案是有273只牛。牛12周吃掉36×12=432份，说明每公顷草地12周提供432÷8=54份牧草。那么第三块10公顷的草地一共提供了10×54=540份牧草。设第三块草地可以供50头牛吃x周，那么50头牛一共吃掉50x份牧草。根据题意可得出：24头牛6周吃掉的草量和36头牛12周吃掉的草量加起来等于50头牛x周吃掉的草量，即：144+432=50x。解得x=11.52周，约为11周。点评：在解决牛吃草问题时，如果遇到多块草地的情况，可以把它们转化成相同的面积，然后再进行计算。牛12周吃掉36×12=432份，说明每公顷草地12周提供432÷8=54份牧草。每公顷草地12-6=6周多提供54-36=18份牧草。说明每公顷草地每周的牧草生长量是18÷6=3份，原有草量是36-3×6=18份。10公顷草地原有18×10=180份牧草，每周新增3×10=30份，可供50头牛吃180÷（50-30）=9周。点评：对于面积不同的情况，我们先把它转化成面积相同，通常的做法是将所有的面积都转化成单位面积然后进行计算。【例7】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。问：第三块草地可供多少头牛吃80天？分析：这道题和上一道题其实是同一种类型的，这里提供几种解法给大家参考一下。（方法一）设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析：第一块草地可供10头牛30天吃掉10×30＝300份，说明：每公顷牧场30天提供300÷5＝60份草；1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量。第二块草地可供28头牛45天吃掉28×45＝1260份，说明每公顷牧场45天提供1260÷15＝84份草，1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量；每公顷牧场45－30＝15天多提供84－60＝24份草，说明1公顷牧场1天的草生长量为24÷15＝1.6份，1公顷原有草量＝60－1.6×30＝12。1天24公顷新生草＝1.6×24＝38.4；24公顷原有草＝12×24＝288。那么80天24公顷可提供草：288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。（方法二）除了按照最小公倍数统计外也可以统计为单位量“1”：原条件：5公顷10头牛30天，15公顷28头牛45天，可转化为：相当于把5公顷草地分割成5块每块一公顷有2头牛来吃，所以吃的时间不变；相当于把15公顷草地分割成15块每块一公顷有28头牛来吃，所以吃的时间不变。5公顷1公顷2头牛30天2×30＝60：1公顷原有草量＋30天1公顷新生草量。15公顷1公顷28头牛45天×45＝84：1公顷原有草量＋45天1公顷新生草量。15头牛45天多吃的草是24份，说明每公顷牧场1天的草生长量为24÷15＝1.6份，1公顷原有草量＝60－1.6×30＝12。1天24公顷新生草＝1.6×24＝38.4；24公顷原有草＝12×24＝288。那么80天24公顷可提供草：288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。经过修改后的文章：根据公式：1天1公顷新生草量＝（84－60）÷（45－30）＝1.6；1公顷原有草量＝60－30×1.6＝12；那么80天24公顷可提供草：12×24＋1.6×24×80＝3360；所以共需要牛的头数：3360÷80＝42（头）。（方法三）现在有三块面积不同的草地，要解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来就可以了！将条件转化为如下形式方便分析：5公顷10头牛30天，15公顷28头牛45天，可转化为：120公顷240头牛30天。根据公式，1天120公顷新生草量＝192；120公顷原有草量＝7200－30×192＝1440；则1天24公顷新生草量＝192÷5＝38.4，24公顷原有草量＝1440÷5＝288；那么80天24公顷可提供草：288＋38.4×80＝3360；所以共需要牛的头数是：3360÷80＝42（头）牛。有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的三倍。30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地的草。问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？分析：这道题有一个变化，两块草地的面积不同，但没有具体告诉我们面积是多少，只是告诉我们面积的倍数关系。在前面我们讲过，如果有好几种动物，各种动物之间有倍数关系，我们可以转化为同一种动物来计算。那么这道题我们能不能把两块草地转化为一块草地来计算呢？同学们试试就可以发现答案是肯定的，具体操作如下：设1头牛1天的吃草量为“1”，将条件转化为如下形式方便分析：甲：30头牛12天30×12＝360：甲原有草量＋12天甲地自然增加的草量，甲转化为：10头牛12天10×12＝120：乙原有草量＋12天乙地自然增加的草量；乙：20头牛4天20×4＝80：乙原有草量＋4天乙地自然增加的草量。从上表中可以看出（12－4）＝8天乙地长草量为（120－80）＝40，即1天乙地长草量为40÷8＝5；因为甲草地的面积是乙草地面积的三倍，所以1天甲地长草量为5÷3＝1.67。因此，10天两块草地上的草能被同时吃完的牛的头数为（360＋80）÷（10×1.67＋10×5）＝6.25（头），约为6头。乙地原有草量为60，甲、乙两地1天的新生草量为20，原有草量为240。10天后甲、乙两地共提供青草440，需要44头牛。这道题有三种动物，但是不知道它们之间的数量关系，因此需要用三元一次方程的思想，最终的目的是将它们转化为同一种动物。设1头牛1天吃草量为“1”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析：牛和羊45天，牛和羊吃草量=原有草量+45天新长草量（1）牛和鹅60天，牛和鹅吃草量=原有草量+60天新长草量（2）鹅和羊（相当于1牛）90天，牛（鹅和羊）吃草量=原有草量+90天新长草量（3）由（1）×2－（3）可得：90天羊吃草量=原有草量，羊每天吃草量=原有草量÷90；由（3）分析得知：90天鹅吃草量=90天新长草量，鹅每天吃草量=每天新长草量；将分析的结果带入（2）得：原有草量为60，带入（3）得90天羊吃草量为60，羊每天吃草量为2/3。因此，如果牛、羊和鹅一起吃，可以让鹅去吃新生草，牛和羊吃原有草，可以吃：60÷（1+2/3+1/2）=36（天）。拓展训练：1.现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？2.12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草。多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？3.画展9点开门，但早就有人排队等候入场了。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队了，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队了。那么第一个观众到达的时间是8点几分？4.甲、乙、丙三个仓库存放着相同数量的面粉。甲仓库有一台皮带输送机和12个工人，他们可以在5小时内将面粉搬完。乙仓库有一台皮带输送机和28个工人，他们可以在3小时内将面粉搬完。丙仓库有2台皮带输送机，如果要在2小时内将面粉搬完，需要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，皮带输送机和工人一起搬运面粉）5.一桶酒因桶有裂缝每天都会漏掉相同的酒量。如果这桶酒给6个人喝，他们可以在4天内喝完；如果给4个人喝，他们可以在5天内喝完。每天漏掉的酒量可以供几个人一天喝？如果桶没有裂缝，需要几天让4个人喝完这桶酒？6.一批砖在建筑工地开工前运进来，之后每天运进相同数量的砖。如果派15个工人砌砖墙，他们可以在14天内将所有砖用完。如果派20个工人，他们可以在9天内将所有砖用完。现在派了一些工人砌了6天后，调走了6名工人，其余工人再工作4天才能将砖用完。问最初有多少工人来砌墙？7.一片牧草以匀速生长。如果让马和牛去吃，15天内可以将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天内可以将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天内可以将草吃尽。已知牛和羊每天吃草的总量等于马每天吃草的量。现在让马、牛、羊一起去吃草，需要多少天才能将这片牧草吃尽？8.一块2000平方米的牧场上长满了牧草，牧草每天以匀速生长。这片牧场可以供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天。在牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可以供多少头牛吃6天？9.120头牛需要28天才能吃完10公顷牧场上的全部牧草，210头牛需要63天才能吃完30公顷牧场上的全部牧草。假设每公顷牧场上原有的牧草相等，每公顷每天新生长的草量也相同，那么多少头牛需要126天才能吃完72公顷牧场上的全部牧草？10.一块正方形的草地被分成四块和中间的阴影部分。牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。在这两天内其他草地的草正常生长。之后他让一半的牛在②号草地吃草，另一半在③号草地吃草，6天后又将这两个草地的草吃光。然后牧民把剩下的牛放在阴影部分和④号草地上吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完。如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，需要多少天才能将这些草吃完？3、将这道入口问题转化为牛吃草问题来思考。4、尽管这道题看起来不像牛吃草问题，但实际上它是三块草地牛吃草问题的一个变例。5、这是一个经典的牛吃草问题的变例。6、需要注意的是，这道题中人数发生了变化。7、这是一个多种动物的牛吃草问题，而且我们还不知道各种动物之间的倍比关系。8、这是一道两块草地上牛吃草的问题，而且直接给出了两块草地的数量。9、这是一道三块草地上牛吃草问题。10、这是一个结合平面图形的牛吃草问题。深度提示：1、可以使用五步法，注意求出原有草量与每天长草量。2、需要将三块草地转换为1公亩，然后进行处理。3、我们可以将人数增加想象成每分钟都在长草，将入口想象成人。4、将甲、乙、丙想象成三块草地，然后参照第2题的做法就可以解决。5、需要注意每天漏掉的酒相当于草在减少。6、可以假设人数没有变，那么草的总量应该相应增加。7、可以参照解三元一次方程来处理这道题。8、需要注意2000平米与6000平米之间的关系。9、可以参照第2题的解法。10、需要注意观察平面图形的特征。全解过程：1、假设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（6×20-8×10）÷（20-10）=4单位。池塘中原有水量为：6×20-4×20=40单位。若要5天内抽干水，需要12台抽水机。2、假设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量为：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3份。每公亩牧场上的原有草量为：21×63÷30-0.3×63=25.2份。则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536份，可供养36头牛。3、假设一个入口1分钟入场的人数为1份，3个入场口9分钟进入了27份观众，5个入场口5分钟进入了25份观众，说明4分钟来的观众人数是27-25=2份，即每分钟来0.5份。因为9点5分时共来了25份，来25份需要25÷0.5=50分钟，所以第一个观众到达的时间是8点15分。4、假设1个工人1小时搬1份面粉。甲仓库中12个工人5小时搬了12×5=60份，乙仓库中28个工人3小时搬了28×3=84份，说明甲仓库的传送机5－3=2小时多输送了84－60=24份面粉，即每小时输送24÷2=12份。仓库中共有面粉(12+12)×5=120份。1.仓库中有120份面粉需要在2小时内搬完，每小时需要搬60份，因此需要36名工人。2.喝酒人相当于“牛”，漏掉酒相当于草在减少。设1人1天喝酒量为“1”，6人4天喝掉了24份酒，4人5天喝掉了20份酒。计算得出每天减少的酒量为4份，原有酒量为40份，需要4个人喝10天。3.开工前运进的砖相当于“原有草”，开工后每天运进相同数量的砖相当于“草的生长速度”，工人砌砖相当于“牛在吃草”。设1名工人1天砌砖数量为“1”，计算得出15人14天砌出210块砖，20