多自由度耦合系统振动概述

1.3

两个自由度耦合系统的振动第一章集中参数机械振动系统的振动内容提要一、两自由度耦合振动系统的强迫振动二、两自由度耦合振动系统的自由振动三、多自由度振动系统阻抗型类比电路：一、两自由度耦合振动系统的强迫振动1~m1

j(m1

C

)Z01

R1其四端等效网络为：其中：1~m

2

j(m2

C

)Z02

R21~m3Z0

j

C一、两自由度耦合振动系统的强迫振动对于四端网络，一般分析时定义：（1）输入阻抗：Z11，Z22看进去的阻抗1|

~~~F2

0UF1Z11

~222|

~~~F端1

0短F路1时，从U2FZ

~

~F2端短路时，从

F端12~端看进F去的阻抗一、两自由度耦合振动系统的强迫振动2~

|

~~F

0U2F1Z12

21~

|~~F1

0U1F2Z

（3）自阻抗：2——F开路时，从F1看进去的阻抗121~~U

2

0UF1Z

1

~

|

~2—|

~—F开路时，从F看进去的阻抗~~~U

1

0UF2Z

2

（4）耦合阻抗：Z0

1

jCm3一、两自由度耦合振动系统的强迫振动（2）转移阻抗（传输阻抗）Z12，Z21~

~如果取：~Z1

Z01

Z0~

~

~Z2

Z02

Z0~

~

~

~

~F1

Z1

U1

Z0

U2~

~

~

~

~F2

Z2

U2

Z0

U1据‘网络理论’有：一、两自由度耦合振动系统的强迫振动例：简单情况，单端激励时，~F2

0上式化为：~

~~

~

~F1

Z1

U1~

~~

Z0

U1

Z0

U20

~

UZ2

22111~0~2~~1~2ZZUF|

Z1

F

01)消去U2得：Z12)消去U得：0212~~~

~

~

~22ZUF1Z1

Z2

Z0|

Z

F

0传输阻抗输入阻抗一、两自由度耦合振动系统的强迫振动12的频率特征）（1

归结为分析1/Z2~~Z12F0201

~2~

~

~Z

ZZ

ZZ12

1

1~Z1

R1

j(m1

C

)

jCm1

m31~Cm

21jCm3Z2

R2

j(m2

)

1~m3Z0

jC若令：1

1m1

m

3C

C1122m

3m

2C

C

)

m

(U

其中：X

m

(

1

1

)

;

X一、两自由度耦合振动系统的强迫振动在此情况下分析m2的振动：则：11

22

212m3m3

R

R

)}{(R1

X1

R2

X1

)

j(

X1

X

2

CZ

C又，若阻相对较小，即：R1R2<<X1X2，则有：)}12

2m312

m3

C{(R1

X1

R2

X1

)

j(

X1

X

2

Z

C分析：上式虚部为0时，系统中的m2振速的幅值达到最大；（振速共振），有：11

222

2

2

2

2

212

2

0

(

2

)(

)

k

0

CX1

X

2

m

3（其中k，见后）一、两自由度耦合振动系统的强迫振动11

1

1C

C

Cm

01

m1

m3

D为简化表示，令：2Cm

02

Cm

2

Cm3

1

1

1

D3Cm3

D112mRm1

222mRm

2

1121mD2222mD131DD

1k

232DDk

1

2;;;;

k

k

k;;;一、两自由度耦合振动系统的强迫振动解上式可得：此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时，

m2的振速共振频率。可推知，它也是m1的振速共振频率。显然：

max(1,2

)

min(1,2

)2

2

21

2222212221121)

(

4k

(

)

222

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2212

21(

)

4k

(

)

一、两自由度耦合振动系统的强迫振动一、两自由度耦合振动系统的强迫振动两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2（或m2）的幅频特性曲线：（双峰结构）下面由运动方程，求解自由振动：（1）运动方程：111(x1

x2

)

0C

x

1dt

Cdx

1

R

1dt

2d

2

xmm3m1m1112 2

(x2

x1

)

0Cx

dt

Cdx

1

R

2

dt

2d

2

xmm3m

2m

2二、两自由度耦合振动系统的自由振动111

1C

C

Cm3m1m

01为简化表示，令：2

1

1

1

C

CCm3m

2m

02

D31Cm3

D112mRm1

222mRm

2

1121mD2222mD131DD232DDk

1

2k

k

k21

2211x

0dx

1d

x1

x1

k1

222

2

122

2x

0dtdtdx

2dt

2dt

2d

2

x2x

k

2

2二、两自由度耦合振动系统的自由振动方程可化为：2；；；

D

；k

；；；2

21

1

1x

2

0x1d

2

x1

k

222

x2

2

2

1dt

2dt

2d

2

x2

k

x

0代入方程，则方程化为

：解之，令：x

Ae

t1x

Be

t221

121B(

2

22222

2)

B)

A

k

0

0

k

A

(*二、两自由度耦合振动系统的自由振动（2）简正振动：为使问题简单，分析无阻尼情况（δ1＝0，δ2＝0）；有因为，A，B不同时为0（？），则据线性代数方程理论知，A，B的系数行列式为0，即：22

221

1122

22

2

0(

)

k

(

)

k

此方程称为频率方程或特征方程。解之可得λ的值，它有四个值：

j

j二、两自由度耦合振动系统的自由振动b、若k≠0，则：分析：a、若k=0（无耦合），则：

1

2

max(1

,2

)

min(1

,2

)2

2

2

2

21

222122212121(

)

4k

(

)

2

2

2

2

21

2221221

212

21(

)

4k

(

)

二、两自由度耦合振动系统的自由振动所以，可得方程的解为：j

A

ej

t

A'

e

jt

t

A'

e

jtx1

(t)

Aej

B

ej

t

B'

e

jt

t

B'

e

jtx2

(t)

Be其中A+，A+`，A-，A-`，B+，B+`，B-，B-`有关系（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，并且这4个独立量由初条件确定。二、两自由度耦合振动系统的自由振动AA

B

21

122121

12121

1

21) 0

B

k

k

(2

)(2

A

k

B

j

j

AA

B

21

122121

12121

1

21k

k

(2

)(2

)

A

k

B

0

B

j

j

21

1221A`B`k

21

1221A`B`k

21

121(

2

)

A

k

B

02222

2

2

k

A

(

)

B

0上式中，取第一个等式，得：二、两自由度耦合振动系统的自由振动cos(21

12121

1221

x

(t)

a

t

)k

2cos(

t

)

ak

2x1

(t)

a

cos(

t

)

a

cos(

t

)其中：

a

,

a

,

由

,初条

件确定。二、两自由度耦合振动系统的自由振动又若，实初条件，经过运算可得：结论：两个自由度无阻尼耦合系统的自由振动，每一个质量的振动均为两个谐合振动的迭加。定义：简正振动，是多自由度耦合振动系统自由振动的方式。多自由度耦合振动系统在自由振动时，在每一个自由度上的振动，可分解成多个简谐振动的迭加形式，其中的每一个简谐振动称为该系统的一个简正振动，其频率称为该系统的一个简正频率。简正振动的频率决定于系统参数，振幅决定于初条件。简正频率是多自由度系统自由振动的固有频率，小阻尼条件下，在数值上与该系统受迫振动的速度共振频率相等。二、两自由度耦合振动系统的自由振动（3）能量在二振子间的传递则可得：初条件：t=0时：x1=A，x2=0x，1

0x2

0222222221t)

t)sin(2

sin(x1(t)

Acos(

t)cos(

t)

A

22222m

2m1x

(t

)

2

A

t

)

sin(

t

)

sin(

2莫尔斯《振动与声》中称之为“耦合系数”。m1m2D在3式中，

二、两自由度耦合振动系统的自由振动，形成拍振动。能量在二振子间“流动