2022-2023学年上海市静安区数学高二下期末考试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．若直线和椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是()A． B． C． D．3．已知定义在R上的奇函数f（x）满足，f（－2）＝－3，数列{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则f（a1）＋f（a2）＋f（a3）＋…＋f（a2018）＝（）A．－2 B．－3 C．2 D．34．已知的边上有一点满足，则可表示为()A． B．C． D．5．不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数()A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列6．二项式的展开式中项的系数为，则（）A．4 B．5 C．6 D．77．《高中数学课程标准》(2017版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（）(注:雷达图(RadarChart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(SpiderChart)，可用于对研究对象的多维分析)A．甲的数据分析素养高于乙B．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C．乙的六大素养中逻辑推理最差D．乙的六大素养整体水平优于甲8．将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为（）A． B． C． D．9．若全集U={1，2，3，4}且∁UA={2，3}，则集合A的真子集共有（）A．3个 B．5个 C．7个 D．8个10．已知实数满足，则下列说法错误的是（）A． B．C． D．11．设随机变量，若，则等于（）A． B． C． D．12．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为______．14．已知随机变量，且，则______.15．定义在上的奇函数的导函数为，且．当时，,则不等式的解为__________．16．某校有高一学生105人，高二学生126人，高三学生42人，现用分层抽样的方法从中抽取13人进行关于作息时间的问卷调查，设问题的选择分为“同意”和“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答题情况的部分信息，估计所有学生中“同意”的人数为________人同意不同意合计高一2高二4高三1三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，已知四棱锥的底面ABCD为正方形，平面ABCD，E、F分别是BC，PC的中点，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．18．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数.19．（12分）已知a>0，设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，q（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．20．（12分）某地方政府召开全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程．某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前、后生产的大量产品中各抽取了200件作为样本，检测一项质量指标值．若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．如图所示的是设备改造前样本的频率分布直方图．（1）若设备改造后样本的该项质量指标值服从正态分布，求改造后样本中不合格品的件数；（2）完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量标值与设备改造有关．0设备改造前设备改造后合计合格品件数不合格品件数合计附参考公式和数据：若，则，．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63521．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求的取值范围．22．（10分）已知直线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线C的交点为，，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

分析：函数在上有最大值无最小值，则极大值在之间，一阶导函数有根在，且左侧函数值小于1，右侧函数值大于1，列不等式求解详解：f′（x）＝3ax2+4x+1，x∈（1，2）．a＝1时，f′（x）＝4x+1＞1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．a≠1时，△＝16﹣12a．由△≤1，解得，此时f′（x）≥1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞1，解得a（a≠1），由f′（x）＝1，解得x1，x2．当时，x1＜1，x2＜1，因此f′（x）≥1，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a＜1时，x1＞1，x2＜1，∵函数f（x）＝ax3+2x2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f′（x1）＝1，∴12，a＜1．解得：a．综上可得：a．故选：C．点睛：极值转化为最值的性质：1、若上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为的最小值；2、若上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为的最大值；2、B【解析】

根据椭圆1（b＞0）得出≠3，运用直线恒过（0，2），得出1，即可求解答案．【详解】椭圆1（b＞0）得出≠3，∵若直线∴直线恒过（0，2），∴1,解得，故实数的取值范围是故选：B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．3、B【解析】

分析：利用函数的奇偶性和对称性推出周期，求出前三项的值，利用周期化简式子即可．详解：定义在R上的奇函数满足，故周期,数列是等差数列，若，,故，所以：，点睛：函数的周期性，对称性，奇偶性知二推一，已知奇函数，关于轴对称，则，令代入2式，得出，由奇偶性，故周期.4、D【解析】

由，结合题中条件即可得解.【详解】由题意可知.故选D.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.5、B【解析】由已知条件，可得由②③得代入①，得＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差数列，故选B.6、C【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．【考点定位】二项式定理．7、D【解析】

根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生解决问题的能力.8、C【解析】

利用“左加右减”的平移原则，求得平移后解析式，即可求得对称轴方程.【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到，令，解得，令，解得.故选：C.【点睛】本题考查函数图像的平移，以及函数对称轴的求解，属综合基础题.9、A【解析】

由题意首先确定集合A，然后由子集个数公式求解其真子集的个数即可.【详解】由题意可得：，则集合A的真子集共有个.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查补集的定义，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10、A【解析】

设，证明单调递增，得到，构造函数根据单调性到正确，取，，则不成立，错误，得到答案.【详解】设，则恒成立，故单调递增，，即，即，.取，，则不成立，错误；设，则恒成立，单调递增，故，就，正确；同理可得：正确.故选：.【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.11、C【解析】由于,则由正态分布图形可知图形关于对称，故，则，故选C.12、B【解析】令,,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为本题选择B选项.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出原函数的导函数，得到（e），再求出（e）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【详解】由，得，（e）．即曲线在点，（e）处的切线的斜率为2，又（e）．曲线在点，（e）处的切线方程为，即．故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．14、0.9【解析】

根据正态分布性质计算概率．【详解】由正态分布密度曲线知，又，所以，所以.【点睛】本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若，则，．15、【解析】

当时，由可得，在上递增，根据奇偶性可得在上递减，，等价于，结合的单调性与，分类讨论解不等式即可.【详解】当时，由，可得，在上递增，为偶函数，在上递减，，，等价于，或可得或，的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.16、126【解析】

根据抽样比求出各个年级抽取的人数，然后填表格，最后根据“同意的”比例求所有学生中“同意”的人数.【详解】一共人，抽样比高一学生：人，高二学生：人，高三学生人，同意不同意合计高一325高二246高三112同意的共有6人，同意的共有人.故答案为：126【点睛】本题考查分层抽样和统计的初步知识，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）（2）以A为原点，如图所示建立直角坐标系，，设平面FAE法向量为，则，，18、(1)的单调递增区间为，的单调递减区间为.(2)或，函数有个零点，或时，函数有两个零点.【解析】分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）对分三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，利用单调性结合函数图象以及零点存在定理可得，或，函数有个零点，或时，函数有两个零点.详解：（1）当时，令，得，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，的单调递减区间为（2）当时，的定义域为，当时，即时，在上单调递增，易知所以函数有个零点当时，即时，令，得，，且，所以在，上单调递增，在上单调递减由，知，所以，则，因为，所以所以所以当时，函数有个零点当时，的定义域为令，得，，所以在上单调递减，在上单调递增，令，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（当且仅当时等号成立）①当时，，而，，由单调性知，所以内存在零点，即函数在定义内有个两点②当时，，而，，同理内存在零点，即函数值定义域内存在个零点③当时，，所以函数在定义域内有一个零点综上：或，函数有个零点，或时，函数有两个零点点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.19、（1）2<x<3；（2）4【解析】

（1）先解出命题p、q的不等式，由p∧q为真，得知命题p与q均为真命题，再将两个不等式对应的范围取交集可得出答案；（2）解出命题p中的不等式，由题中条件得知命题q中的不等式对应的集合是命题p中不等式对应集合的真子集，因此得出两个集合的包含关系，列不等式组解出实数a的取值范围。【详解】（1）由x2-4ax+3a2>0当a=1时，1<x<3，即p为真时，实数x的取值范围是1<x<3.由x-3<1，得2<x<4，即q为真时，实数x的取值范围是2<x<4因为p∧q为真，所以p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3；（2）由x2-4ax+3a所以，p为真时实数x的取值范围是a<x<3a.因为p是q的必要不充分条件，所以a≤2且4≤3a所以实数a的取值范围为：43【点睛】本题考查第（1）问考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，转化为两个命题为真假时参数取值范围的交集，第（2）问考查由命题的充分必要性求参数的取值范围，转化为集合的包含关系，考查转化与化归的数学思想的应用，属于中等题。20、（1）10；（2）列联表见解析，有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关．【解析】

（1）设备改造后该项质量指标服从正态分布，得，，然后，然后即可求出（2）由设备改造前样本的频率分布直方图，可知不合格频数为，然后填表，再算出即可【详解】解：（1）∵设备改造后该项质量指标服从正态分布，得，，又∵，∴设备改造后不合格的样本数为．（2）由设备改造前样本的频率分布直方图，可知不合格频数为．得2×2列联表如下设备改造前设备改造后合计合格